Theorem upwrdfi 46869

Description: There is a finite number of strictly increasing sequences of a given length over finite alphabet. Trivially holds for invalid lengths where there're zero matching sequences. (Contributed by Ender Ting, 5-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
upwrdfi	⊢ (𝑆 ∈ Fin → {𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑇,𝑎

Proof of Theorem upwrdfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdnfi 14592	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → {𝑎 ∈ Word 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)
2		upwordisword 46863	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ UpWord 𝑆 → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
3	2	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑇)) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
4	3	rabss3d 4094	. . . 4 ⊢ (⊤ → {𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇})
5	4	mptru 1546	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇}
6		ssfi 9221	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ Word 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇}) → {𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ ({𝑎 ∈ Word 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin → {𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)
8	1, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → {𝑎 ∈ UpWord 𝑆 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ⊆ wss 3966  ‘cfv 6569  Fincfn 8993  ♯chash 14375  Word cword 14558  UpWord cupword 46860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-dju 9948  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-word 14559  df-upword 46861

This theorem is referenced by: (None)