Theorem tsmscls 23642

Description: One half of tgptsmscls 23654, true in any commutative monoid topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscls.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscls.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmscls.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscls.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscls.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmscls.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tsmscls	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmscls

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmscls.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		tsmscls.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmscls.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦}) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})
6		tsmscls.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
7		tsmscls.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		tsmscls.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	tsmsval 23635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))))
10	2, 3	istps 22436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
11	6, 10	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})
13	4, 12, 5, 7	tsmsfbas 23632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
14		fgcl 23382	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
16		tsmscls.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
17	2, 4, 16, 7, 8	tsmslem1 23633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
18	17	fmpttd 7115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
19		flfval 23494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) → ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))))
20	11, 15, 18, 19	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))))
21	9, 20	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))))
22	1, 21	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))))
23		flimsncls 23490	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))) → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))))
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦})))))
25	24, 21	sseqtrrd 4024	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ↾ cres 5679  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367   Σ_g cgsu 17386  CMndccmn 19648  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  TopOnctopon 22412  TopSpctps 22434  clsccl 22522  Filcfil 23349   FilMap cfm 23437   fLim cflim 23438   fLimf cflf 23439   tsums ctsu 23630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-fil 23350  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631

This theorem is referenced by:  tgptsmscls  23654