MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmscls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmscls 22891
Description: One half of tgptsmscls 22903, true in any commutative monoid topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscls.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscls.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmscls.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmscls.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmscls.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmscls.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmscls.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmscls (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmscls
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmscls.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2 tsmscls.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmscls.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4 eqid 2738 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5 eqid 2738 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})
6 tsmscls.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
7 tsmscls.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
8 tsmscls.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8tsmsval 22884 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))))
102, 3istps 21687 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
116, 10sylib 221 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})
134, 12, 5, 7tsmsfbas 22881 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
14 fgcl 22631 . . . . . . 7 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
16 tsmscls.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
172, 4, 16, 7, 8tsmslem1 22882 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
1817fmpttd 6891 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
19 flfval 22743 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) → ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
2011, 15, 18, 19syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
219, 20eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
221, 21eleqtrd 2835 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
23 flimsncls 22739 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))) → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
2422, 23syl 17 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
2524, 21sseqtrrd 3918 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3057  cin 3842  wss 3843  𝒫 cpw 4488  {csn 4516  cmpt 5110  ran crn 5526  cres 5527  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7172  Fincfn 8557  Basecbs 16588  TopOpenctopn 16800   Σg cgsu 16819  CMndccmn 19026  fBascfbas 20207  filGencfg 20208  TopOnctopon 21663  TopSpctps 21685  clsccl 21771  Filcfil 22598   FilMap cfm 22686   fLim cflim 22687   fLimf cflf 22688   tsums ctsu 22879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-seq 13463  df-hash 13785  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-fbas 20216  df-fg 20217  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-cld 21772  df-ntr 21773  df-cls 21774  df-nei 21851  df-fil 22599  df-flim 22692  df-flf 22693  df-tsms 22880
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  22903
  Copyright terms: Public domain W3C validator