MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum 26856
Description: If 𝑛 ∈ [𝑀, +∞) ↦ 𝐴(𝑛) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum Σ𝑛, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) is convergent, with the partial sum Σ𝑛 ≀ π‘₯, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) within 𝑂(𝐴(𝑀)) of the limit 𝑇. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrisum.2 (𝑛 = π‘₯ β†’ 𝐴 = 𝐡)
dchrisum.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dchrisum.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
dchrisum.6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑐,𝑑, 1   𝐹,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐴,𝑐,𝑑,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐡,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,π‘₯   𝐷,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐿,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑑)   𝑍(𝑑,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables π‘š 𝑒 𝑖 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13886 . . 3 (0..^𝑁) ∈ Fin
2 fzofi 13886 . . . . . . 7 (0..^𝑒) ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^𝑒) ∈ Fin)
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
10 elfzoelz 13579 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0..^𝑒) β†’ π‘š ∈ β„€)
1110adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ π‘š ∈ β„€)
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
133, 12fsumcl 15625 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
1413abscld 15328 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
1514ralrimivw 3148 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
16 fimaxre3 12108 . . 3 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
171, 15, 16sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
18 rpvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1918adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
20 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
218adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
22 dchrisum.n1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
2322adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑋 β‰  1 )
24 dchrisum.2 . . 3 (𝑛 = π‘₯ β†’ 𝐴 = 𝐡)
25 dchrisum.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2625adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
27 dchrisum.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
29 dchrisum.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
30293adant1r 1178 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
31 dchrisum.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
3231adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
33 dchrisum.7 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· 𝐴))
34 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
35 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
36 2fveq3 6852 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
3736cbvsumv 15588 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))
38 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑖 β†’ (0..^𝑒) = (0..^𝑖))
3938sumeq1d 15593 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑖 β†’ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
4037, 39eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑖 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
4140fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑖 β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) = (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))))
4241breq1d 5120 . . . . 5 (𝑒 = 𝑖 β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ))
4342cbvralvw 3228 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ)
4435, 43sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ)
455, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 44dchrisumlem3 26855 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
4617, 45rexlimddv 3159 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„+crp 12922  [,)cico 13273  ..^cfzo 13574  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  abscabs 15126   ⇝ cli 15373   β‡π‘Ÿ crli 15374  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-phi 16645  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  26857  dchrvmasumlema  26864  dchrisum0lema  26878
  Copyright terms: Public domain W3C validator