MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum 27554
Description: If 𝑛 ∈ [𝑀, +∞) ↦ 𝐴(𝑛) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum Σ𝑛, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) is convergent, with the partial sum Σ𝑛𝑥, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) within 𝑂(𝐴(𝑀)) of the limit 𝑇. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisum (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐴,𝑐,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐵,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑀,𝑐,𝑛,𝑥   𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑡)   𝑍(𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables 𝑚 𝑢 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 14025 . . 3 (0..^𝑁) ∈ Fin
2 fzofi 14025 . . . . . . 7 (0..^𝑢) ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝑢) ∈ Fin)
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑋𝐷)
10 elfzoelz 13716 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (0..^𝑢) → 𝑚 ∈ ℤ)
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑚 ∈ ℤ)
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 27307 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
133, 12fsumcl 15781 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
1413abscld 15485 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
1514ralrimivw 3156 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
16 fimaxre3 12241 . . 3 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
171, 15, 16sylancr 586 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
18 rpvmasum.a . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1918adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
218adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋𝐷)
22 dchrisum.n1 . . . 4 (𝜑𝑋1 )
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋1 )
24 dchrisum.2 . . 3 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
25 dchrisum.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2625adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑀 ∈ ℕ)
27 dchrisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 dchrisum.5 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
30293adant1r 1177 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
31 dchrisum.6 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
33 dchrisum.7 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
34 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
35 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
36 2fveq3 6925 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑚)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
3736cbvsumv 15744 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))
38 oveq2 7456 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑖 → (0..^𝑢) = (0..^𝑖))
3938sumeq1d 15748 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4037, 39eqtrid 2792 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4140fveq2d 6924 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑖 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
4241breq1d 5176 . . . . 5 (𝑢 = 𝑖 → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟))
4342cbvralvw 3243 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟)
4435, 43sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟)
455, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 44dchrisumlem3 27553 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
4617, 45rexlimddv 3167 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wex 1777  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  wrex 3076   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  cle 11325  cmin 11520  cn 12293  cz 12639  +crp 13057  [,)cico 13409  ..^cfzo 13711  cfl 13841  seqcseq 14052  abscabs 15283  cli 15530  𝑟 crli 15531  Σcsu 15734  Basecbs 17258  0gc0g 17499  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nczn 21536  DChrcdchr 27294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-phi 16813  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540  df-dchr 27295
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  27555  dchrvmasumlema  27562  dchrisum0lema  27576
  Copyright terms: Public domain W3C validator