Theorem dchrisum 27380

Description: If 𝑛 ∈ [𝑀, +∞) ↦ 𝐴(𝑛) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum Σ𝑛, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) is convergent, with the partial sum Σ𝑛 ≤ 𝑥, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) within 𝑂(𝐴(𝑀)) of the limit 𝑇. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐴,𝑐,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐵,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑀,𝑐,𝑛,𝑥   𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑡)   𝑍(𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum

Dummy variables 𝑚 𝑢 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 13945	. . 3 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
2		fzofi 13945	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑢) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑢) ∈ Fin)
4		rpvmasum.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6		rpvmasum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		rpvmasum.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8		dchrisum.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
10		elfzoelz 13638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (0..^𝑢) → 𝑚 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑚 ∈ ℤ)
12	4, 5, 6, 7, 9, 11	dchrzrhcl 27133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
13	3, 12	fsumcl 15685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ∈ ℝ)
15	14	ralrimivw 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ∈ ℝ)
16		fimaxre3 12164	. . 3 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)
17	1, 15, 16	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)
18		rpvmasum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		rpvmasum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
21	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
22		dchrisum.n1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋 ≠ 1 )
24		dchrisum.2	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
25		dchrisum.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑀 ∈ ℕ)
27		dchrisum.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		dchrisum.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
30	29	3adant1r 1174	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
31		dchrisum.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) ⇝𝑟 0)
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) ⇝𝑟 0)
33		dchrisum.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
34		simprl 768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
35		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)
36		2fveq3 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
37	36	cbvsumv 15648	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))
38		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (0..^𝑢) = (0..^𝑖))
39	38	sumeq1d 15653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
40	37, 39	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
41	40	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))))
42	41	breq1d 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑟))
43	42	cbvralvw 3228	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑟)
44	35, 43	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑟)
45	5, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 44	dchrisumlem3 27379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
46	17, 45	rexlimddv 3155	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12980  [,)cico 13332  ..^cfzo 13633  ⌊cfl 13761  seqcseq 13972  abscabs 15187   ⇝ cli 15434   ⇝_𝑟 crli 15435  Σcsu 15638  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  ℤRHomczrh 21386  ℤ/nℤczn 21389  DChrcdchr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-phi 16708  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-dchr 27121

This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  27381  dchrvmasumlema  27388  dchrisum0lema  27402