MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum 25760
Description: If 𝑛 ∈ [𝑀, +∞) ↦ 𝐴(𝑛) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum Σ𝑛, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) is convergent, with the partial sum Σ𝑛𝑥, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) within 𝑂(𝐴(𝑀)) of the limit 𝑇. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisum (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐴,𝑐,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐵,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑀,𝑐,𝑛,𝑥   𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑡)   𝑍(𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables 𝑚 𝑢 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13150 . . 3 (0..^𝑁) ∈ Fin
2 fzofi 13150 . . . . . . 7 (0..^𝑢) ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝑢) ∈ Fin)
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
98adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑋𝐷)
10 elfzoelz 12847 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (0..^𝑢) → 𝑚 ∈ ℤ)
1110adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑚 ∈ ℤ)
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 25513 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
133, 12fsumcl 14940 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
1413abscld 14647 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
1514ralrimivw 3127 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
16 fimaxre3 11380 . . 3 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
171, 15, 16sylancr 578 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
18 rpvmasum.a . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1918adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
218adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋𝐷)
22 dchrisum.n1 . . . 4 (𝜑𝑋1 )
2322adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋1 )
24 dchrisum.2 . . 3 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
25 dchrisum.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2625adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑀 ∈ ℕ)
27 dchrisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantlr 702 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 dchrisum.5 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
30293adant1r 1157 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
31 dchrisum.6 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
3231adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
33 dchrisum.7 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
34 simprl 758 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
35 simprr 760 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
36 2fveq3 6498 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑚)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
3736cbvsumv 14903 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))
38 oveq2 6978 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑖 → (0..^𝑢) = (0..^𝑖))
3938sumeq1d 14908 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4037, 39syl5eq 2820 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4140fveq2d 6497 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑖 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
4241breq1d 4933 . . . . 5 (𝑢 = 𝑖 → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟))
4342cbvralv 3377 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟)
4435, 43sylib 210 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟)
455, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 44dchrisumlem3 25759 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
4617, 45rexlimddv 3230 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wrex 3083   class class class wbr 4923  cmpt 5002  cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  +∞cpnf 10463  cle 10467  cmin 10662  cn 11431  cz 11786  +crp 12197  [,)cico 12549  ..^cfzo 12842  cfl 12968  seqcseq 13177  abscabs 14444  cli 14692  𝑟 crli 14693  Σcsu 14893  Basecbs 16329  0gc0g 16559  ℤRHomczrh 20339  ℤ/nczn 20342  DChrcdchr 25500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-rp 12198  df-ico 12553  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-dvds 15458  df-gcd 15694  df-phi 15949  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-0g 16561  df-imas 16627  df-qus 16628  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-nsg 18051  df-eqg 18052  df-ghm 18117  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-rnghom 19180  df-subrg 19246  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-lidl 19658  df-rsp 19659  df-2idl 19716  df-cnfld 20238  df-zring 20310  df-zrh 20343  df-zn 20346  df-dchr 25501
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  25761  dchrvmasumlema  25768  dchrisum0lema  25782
  Copyright terms: Public domain W3C validator