MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum 27380
Description: If 𝑛 ∈ [𝑀, +∞) ↦ 𝐴(𝑛) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum Σ𝑛, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) is convergent, with the partial sum Σ𝑛 ≀ π‘₯, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) within 𝑂(𝐴(𝑀)) of the limit 𝑇. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrisum.2 (𝑛 = π‘₯ β†’ 𝐴 = 𝐡)
dchrisum.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dchrisum.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
dchrisum.6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑐,𝑑, 1   𝐹,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐴,𝑐,𝑑,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐡,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,π‘₯   𝐷,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐿,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑑)   𝑍(𝑑,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables π‘š 𝑒 𝑖 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13945 . . 3 (0..^𝑁) ∈ Fin
2 fzofi 13945 . . . . . . 7 (0..^𝑒) ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^𝑒) ∈ Fin)
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
10 elfzoelz 13638 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0..^𝑒) β†’ π‘š ∈ β„€)
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ π‘š ∈ β„€)
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 27133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
133, 12fsumcl 15685 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
1413abscld 15389 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
1514ralrimivw 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
16 fimaxre3 12164 . . 3 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
171, 15, 16sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
18 rpvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
20 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
218adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
22 dchrisum.n1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
2322adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑋 β‰  1 )
24 dchrisum.2 . . 3 (𝑛 = π‘₯ β†’ 𝐴 = 𝐡)
25 dchrisum.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2625adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
27 dchrisum.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantlr 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
29 dchrisum.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
30293adant1r 1174 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
31 dchrisum.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
3231adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
33 dchrisum.7 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· 𝐴))
34 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
35 simprr 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
36 2fveq3 6890 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
3736cbvsumv 15648 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))
38 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑖 β†’ (0..^𝑒) = (0..^𝑖))
3938sumeq1d 15653 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑖 β†’ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
4037, 39eqtrid 2778 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑖 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
4140fveq2d 6889 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑖 β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) = (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))))
4241breq1d 5151 . . . . 5 (𝑒 = 𝑖 β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ))
4342cbvralvw 3228 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ)
4435, 43sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ)
455, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 44dchrisumlem3 27379 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
4617, 45rexlimddv 3155 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„+crp 12980  [,)cico 13332  ..^cfzo 13633  βŒŠcfl 13761  seqcseq 13972  abscabs 15187   ⇝ cli 15434   β‡π‘Ÿ crli 15435  Ξ£csu 15638  Basecbs 17153  0gc0g 17394  β„€RHomczrh 21386  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-phi 16708  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  27381  dchrvmasumlema  27388  dchrisum0lema  27402
  Copyright terms: Public domain W3C validator