MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum 27453
Description: If 𝑛 ∈ [𝑀, +∞) ↦ 𝐴(𝑛) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum Σ𝑛, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) is convergent, with the partial sum Σ𝑛 ≀ π‘₯, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) within 𝑂(𝐴(𝑀)) of the limit 𝑇. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrisum.2 (𝑛 = π‘₯ β†’ 𝐴 = 𝐡)
dchrisum.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dchrisum.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
dchrisum.6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑐,𝑑, 1   𝐹,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐴,𝑐,𝑑,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐡,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,π‘₯   𝐷,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝐿,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑛,π‘₯   𝑋,𝑐,𝑛,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑑,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑑)   𝑍(𝑑,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables π‘š 𝑒 𝑖 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13981 . . 3 (0..^𝑁) ∈ Fin
2 fzofi 13981 . . . . . . 7 (0..^𝑒) ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^𝑒) ∈ Fin)
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
10 elfzoelz 13674 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0..^𝑒) β†’ π‘š ∈ β„€)
1110adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ π‘š ∈ β„€)
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 27206 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0..^𝑒)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
133, 12fsumcl 15721 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
1413abscld 15425 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
1514ralrimivw 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
16 fimaxre3 12200 . . 3 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
171, 15, 16sylancr 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
18 rpvmasum.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1918adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
20 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
218adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
22 dchrisum.n1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
2322adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑋 β‰  1 )
24 dchrisum.2 . . 3 (𝑛 = π‘₯ β†’ 𝐴 = 𝐡)
25 dchrisum.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2625adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
27 dchrisum.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
29 dchrisum.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
30293adant1r 1174 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
31 dchrisum.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
3231adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ 𝐴) β‡π‘Ÿ 0)
33 dchrisum.7 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· 𝐴))
34 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
35 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)
36 2fveq3 6907 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
3736cbvsumv 15684 . . . . . . . 8 Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))
38 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑖 β†’ (0..^𝑒) = (0..^𝑖))
3938sumeq1d 15689 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑖 β†’ Σ𝑛 ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
4037, 39eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑖 β†’ Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
4140fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑖 β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) = (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))))
4241breq1d 5162 . . . . 5 (𝑒 = 𝑖 β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ))
4342cbvralvw 3232 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ)
4435, 43sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (0..^𝑖)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›))) ≀ π‘Ÿ)
455, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 44dchrisumlem3 27452 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0..^𝑁)(absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (0..^𝑒)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
4617, 45rexlimddv 3158 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   Β· cmul 11153  +∞cpnf 11285   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  β„€cz 12598  β„+crp 13016  [,)cico 13368  ..^cfzo 13669  βŒŠcfl 13797  seqcseq 14008  abscabs 15223   ⇝ cli 15470   β‡π‘Ÿ crli 15471  Ξ£csu 15674  Basecbs 17189  0gc0g 17430  β„€RHomczrh 21439  β„€/nβ„€czn 21442  DChrcdchr 27193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13372  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-phi 16744  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-imas 17499  df-qus 17500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-nsg 19093  df-eqg 19094  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21158  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-zn 21446  df-dchr 27194
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  27454  dchrvmasumlema  27461  dchrisum0lema  27475
  Copyright terms: Public domain W3C validator