MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum 26080
Description: If 𝑛 ∈ [𝑀, +∞) ↦ 𝐴(𝑛) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum Σ𝑛, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) is convergent, with the partial sum Σ𝑛𝑥, 𝑋(𝑛)𝐴(𝑛) within 𝑂(𝐴(𝑀)) of the limit 𝑇. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisum (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐴,𝑐,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐵,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝑀,𝑐,𝑛,𝑥   𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥,𝑡)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑡)   𝑍(𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables 𝑚 𝑢 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13341 . . 3 (0..^𝑁) ∈ Fin
2 fzofi 13341 . . . . . . 7 (0..^𝑢) ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝑢) ∈ Fin)
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
98adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑋𝐷)
10 elfzoelz 13037 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (0..^𝑢) → 𝑚 ∈ ℤ)
1110adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → 𝑚 ∈ ℤ)
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 25833 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (0..^𝑢)) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
133, 12fsumcl 15086 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
1413abscld 14792 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
1514ralrimivw 3153 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
16 fimaxre3 11579 . . 3 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
171, 15, 16sylancr 590 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
18 rpvmasum.a . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1918adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
218adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋𝐷)
22 dchrisum.n1 . . . 4 (𝜑𝑋1 )
2322adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑋1 )
24 dchrisum.2 . . 3 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
25 dchrisum.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2625adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑀 ∈ ℕ)
27 dchrisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 dchrisum.5 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
30293adant1r 1174 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
31 dchrisum.6 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
33 dchrisum.7 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
34 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
35 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)
36 2fveq3 6654 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑚)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
3736cbvsumv 15049 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))
38 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑖 → (0..^𝑢) = (0..^𝑖))
3938sumeq1d 15054 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4037, 39syl5eq 2848 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚)) = Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛)))
4140fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑖 → (abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))))
4241breq1d 5043 . . . . 5 (𝑢 = 𝑖 → ((abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟))
4342cbvralvw 3399 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟)
4435, 43sylib 221 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑖)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑟)
455, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 44dchrisumlem3 26079 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑚 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 𝑟)) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
4617, 45rexlimddv 3253 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  cle 10669  cmin 10863  cn 11629  cz 11973  +crp 12381  [,)cico 12732  ..^cfzo 13032  cfl 13159  seqcseq 13368  abscabs 14589  cli 14837  𝑟 crli 14838  Σcsu 15038  Basecbs 16479  0gc0g 16709  ℤRHomczrh 20197  ℤ/nczn 20200  DChrcdchr 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-phi 16097  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-imas 16777  df-qus 16778  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943  df-rsp 19944  df-2idl 20002  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20201  df-zn 20204  df-dchr 25821
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  26081  dchrvmasumlema  26088  dchrisum0lema  26102
  Copyright terms: Public domain W3C validator