Theorem fsequb2 13899

Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsequb2	⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem fsequb2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13895	. . 3 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
2		ffvelcdm 7026	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
3	2	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
4		fimaxre3 12088	. . 3 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
5	1, 3, 4	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
6		ffn 6662	. . . 4 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
7		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
8	7	ralrn 7033	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
10	9	rexbidv 3160	. 2 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
11	5, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℝcr 11025   ≤ cle 11167  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fseqsupubi  13901