MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsequb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsequb2 13944
Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsequb2 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦

Proof of Theorem fsequb2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13940 . . 3 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
2 ffvelcdm 7076 . . . 4 ((𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
32ralrimiva 3140 . . 3 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4 fimaxre3 12161 . . 3 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
51, 3, 4sylancr 586 . 2 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
6 ffn 6710 . . . 4 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn (𝑀...𝑁))
7 breq1 5144 . . . . 5 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
87ralrn 7082 . . . 4 (𝐹 Fn (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
96, 8syl 17 . . 3 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
109rexbidv 3172 . 2 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
115, 10mpbird 257 1 (𝐹:(𝑀...𝑁)βŸΆβ„ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  ran crn 5670   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„cr 11108   ≀ cle 11250  ...cfz 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488
This theorem is referenced by:  fseqsupubi  13946
  Copyright terms: Public domain W3C validator