Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege77 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege77 40276
Description: If 𝑌 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence, if property 𝐴 is hereditary in the 𝑅-sequence, and if every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝑋 has the property 𝐴, then 𝑌 has property 𝐴. Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. (Contributed by RP, 29-Jun-2020.) (Revised by RP, 2-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege77.x 𝑋𝑈
frege77.y 𝑌𝑉
frege77.r 𝑅𝑊
frege77.a 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
frege77 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem frege77
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege77.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege77.y . . 3 𝑌𝑉
3 frege77.r . . 3 𝑅𝑊
41, 2, 3dffrege76 40275 . 2 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
5 frege77.a . . . 4 𝐴𝐵
65frege68c 40267 . . 3 ((∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌[𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓))))
7 sbcimg 3818 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓[𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓))))
85, 7ax-mp 5 . . . 4 ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓[𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)))
9 sbcheg 40115 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓))
105, 9ax-mp 5 . . . . . 6 ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓)
11 csbconstg 3900 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 / 𝑓𝑅 = 𝑅)
125, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐴 / 𝑓𝑅 = 𝑅
13 csbvarg 4381 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 / 𝑓𝑓 = 𝐴)
145, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐴 / 𝑓𝑓 = 𝐴
15 heeq12 40112 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝑓𝑅 = 𝑅𝐴 / 𝑓𝑓 = 𝐴) → (𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓𝑅 hereditary 𝐴))
1612, 14, 15mp2an 690 . . . . . 6 (𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓𝑅 hereditary 𝐴)
1710, 16bitri 277 . . . . 5 ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝑅 hereditary 𝐴)
18 sbcimg 3818 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓)))
195, 18ax-mp 5 . . . . . 6 ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓))
20 sbcal 3831 . . . . . . . 8 ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎[𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓))
21 sbcimg 3818 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎[𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓)))
225, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎[𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓))
23 sbcg 3845 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎𝑋𝑅𝑎))
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎𝑋𝑅𝑎)
25 sbcel2gv 3839 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓𝑎𝐴))
265, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓𝑎𝐴)
2724, 26imbi12i 353 . . . . . . . . . 10 (([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎[𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓) ↔ (𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
2822, 27bitri 277 . . . . . . . . 9 ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ (𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
2928albii 1813 . . . . . . . 8 (∀𝑎[𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
3020, 29bitri 277 . . . . . . 7 ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
31 sbcel2gv 3839 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓𝑌𝐴))
325, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 ([𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓𝑌𝐴)
3330, 32imbi12i 353 . . . . . 6 (([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴))
3419, 33bitri 277 . . . . 5 ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴))
3517, 34imbi12i 353 . . . 4 (([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓[𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
368, 35bitri 277 . . 3 ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
376, 36syl6ib 253 . 2 ((∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴))))
384, 37ax-mp 5 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wal 1528   = wceq 1530  wcel 2107  [wsbc 3770  csb 3881   class class class wbr 5057  cfv 6348  t+ctcl 14337   hereditary whe 40108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-frege1 40126  ax-frege2 40127  ax-frege8 40145  ax-frege52a 40193  ax-frege58b 40237
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-trcl 14339  df-relexp 14372  df-he 40109
This theorem is referenced by:  frege78  40277  frege85  40284
  Copyright terms: Public domain W3C validator