Theorem frege77 42676

Description: If 𝑌 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence, if property 𝐴 is hereditary in the 𝑅-sequence, and if every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝑋 has the property 𝐴, then 𝑌 has property 𝐴. Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. (Contributed by RP, 29-Jun-2020.) (Revised by RP, 2-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege77.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege77.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege77.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
frege77.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
frege77	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem frege77

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege77.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
2		frege77.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		frege77.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
4	1, 2, 3	dffrege76 42675	. 2 ⊢ (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
5		frege77.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐵
6	5	frege68c 42667	. . 3 ⊢ ((∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → [𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))))
7		sbcimg 3827	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → [𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓))))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → [𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)))
9		sbcheg 42515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 ↔ ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑅 hereditary ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑓))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 ↔ ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑅 hereditary ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑓)
11		csbconstg 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑅 = 𝑅)
12	5, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑅 = 𝑅
13		csbvarg 4430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑓 = 𝐴)
14	5, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑓 = 𝐴
15		heeq12 42512	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑅 = 𝑅 ∧ ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑓 = 𝐴) → (⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑅 hereditary ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝐴))
16	12, 14, 15	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑅 hereditary ⦋𝐴 / 𝑓⦌𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝐴)
17	10, 16	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝐴)
18		sbcimg 3827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓)))
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓))
20		sbcal 3840	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝐴 / 𝑓]∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑎[𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
21		sbcimg 3827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎 → [𝐴 / 𝑓]𝑎 ∈ 𝑓)))
22	5, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎 → [𝐴 / 𝑓]𝑎 ∈ 𝑓))
23		sbcg 3855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑎))
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎 ↔ 𝑋𝑅𝑎)
25		sbcel2gv 3848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑎 ∈ 𝑓 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
26	5, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝐴 / 𝑓]𝑎 ∈ 𝑓 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴)
27	24, 26	imbi12i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎 → [𝐴 / 𝑓]𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴))
28	22, 27	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴))
29	28	albii 1821	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎[𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴))
30	20, 29	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ([𝐴 / 𝑓]∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴))
31		sbcel2gv 3848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
32	5, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([𝐴 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴)
33	30, 32	imbi12i 350	. . . . . 6 ⊢ (([𝐴 / 𝑓]∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴))
34	19, 33	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴))
35	17, 34	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ (([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓 → [𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)))
36	8, 35	bitri 274	. . 3 ⊢ ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)))
37	6, 36	imbitrdi 250	. 2 ⊢ ((∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝑌 ∈ 𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴))))
38	4, 37	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  [wsbc 3776  ⦋csb 3892   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  t+ctcl 14928   hereditary whe 42508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-frege1 42526  ax-frege2 42527  ax-frege8 42545  ax-frege52a 42593  ax-frege58b 42637

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-trcl 14930  df-relexp 14963  df-he 42509

This theorem is referenced by:  frege78  42677  frege85  42684