Theorem fz0sn0fz1 13682

Description: A finite set of sequential nonnegative integers is the union of the singleton containing 0 and a finite set of sequential positive integers. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0sn0fz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))

Proof of Theorem fz0sn0fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 13661	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2		fzsplit 13587	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
3		0p1e1 12386	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
4	3	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
5	4	uneq2i 4175	. . . 4 ⊢ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((0...0) ∪ (1...𝑁))
6	2, 5	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ (1...𝑁)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ (1...𝑁)))
8		0z 12622	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzsn 13603	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
10	8, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...0) = {0})
11	10	uneq1d 4177	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...0) ∪ (1...𝑁)) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
12	7, 11	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961  {csn 4631  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30274  f1resfz0f1d  35098  isubgr3stgrlem4  47872