Theorem fz0sn0fz1 13614

Description: A finite set of sequential nonnegative integers is the union of the singleton containing 0 and a finite set of sequential positive integers. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0sn0fz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))

Proof of Theorem fz0sn0fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 13594	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2		fzsplit 13523	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
3		0p1e1 12330	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
4	3	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
5	4	uneq2i 4159	. . . 4 ⊢ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((0...0) ∪ (1...𝑁))
6	2, 5	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ (1...𝑁)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ (1...𝑁)))
8		0z 12565	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzsn 13539	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
10	8, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...0) = {0})
11	10	uneq1d 4161	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...0) ∪ (1...𝑁)) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
12	7, 11	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945  {csn 4627  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  29487  f1resfz0f1d  34091