Theorem fz0sn0fz1 13650

Description: A finite set of sequential nonnegative integers is the union of the singleton containing 0 and a finite set of sequential positive integers. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fz0sn0fz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))

Proof of Theorem fz0sn0fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 13630	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2		fzsplit 13559	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
3		0p1e1 12364	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
4	3	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
5	4	uneq2i 4159	. . . 4 ⊢ ((0...0) ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((0...0) ∪ (1...𝑁))
6	2, 5	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ (1...𝑁)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ((0...0) ∪ (1...𝑁)))
8		0z 12599	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzsn 13575	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
10	8, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...0) = {0})
11	10	uneq1d 4161	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...0) ∪ (1...𝑁)) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
12	7, 11	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3945  {csn 4629  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ...cfz 13516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30054  f1resfz0f1d  34723