Theorem elnnz1 12517

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12509	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nnge1 12173	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
4		0lt1 11659	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
5		0re 11134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 11132	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		zre 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		ltletr 11225	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
9	5, 6, 7, 8	mp3an12i 1467	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
10	4, 9	mpani 696	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
11	10	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
12		elnnz 12498	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
13	11, 12	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	3, 13	impbii 209	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-z 12489

This theorem is referenced by:  znnnlt1  12518  nnzrab  12519  eluz2b2  12834  elfznn  13469  elfz1b  13509  flge1nn  13741  gcdcllem3  16428  4sqlem11  16883  ovolunlem1a  25453  ovoliunlem1  25459  ppinncl  27140  bcmono  27244  zabsle1  27263  gausslemma2dlem1a  27332  gausslemma2dlem4  27336  axlowdimlem16  29030  nndiffz1  32866  tgoldbachgnn  34816  poimirlem7  37824  lcmineqlem13  42291  unitscyglem2  42446  unitscyglem4  42448  fz1eqin  43007  lzenom  43008  dirkertrigeqlem3  46340  ceilhalfnn  47578  difltmodne  47584  gpg3kgrtriexlem4  48328  gpg3kgrtriexlem6  48330