Theorem elnnz1 12548

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12540	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nnge1 12200	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
4		0lt1 11667	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
5		0re 11141	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 11139	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		zre 12523	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		ltletr 11233	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
9	5, 6, 7, 8	mp3an12i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
10	4, 9	mpani 697	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
11	10	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
12		elnnz 12529	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
13	11, 12	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	3, 13	impbii 209	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕcn 12169  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-z 12520

This theorem is referenced by:  znnnlt1  12549  nnzrab  12550  eluz2b2  12866  elfznn  13502  elfz1b  13542  flge1nn  13775  gcdcllem3  16465  4sqlem11  16921  ovolunlem1a  25477  ovoliunlem1  25483  ppinncl  27155  bcmono  27258  zabsle1  27277  gausslemma2dlem1a  27346  gausslemma2dlem4  27350  axlowdimlem16  29044  nndiffz1  32878  tgoldbachgnn  34823  poimirlem7  37968  lcmineqlem13  42500  unitscyglem2  42655  unitscyglem4  42657  fz1eqin  43221  lzenom  43222  dirkertrigeqlem3  46552  ceilhalfnn  47806  difltmodne  47814  gpg3kgrtriexlem4  48580  gpg3kgrtriexlem6  48582