Theorem fzosplitsn 13796

Description: Extending a half-open range by a singleton on the end. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsn	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		eluzelz 12867	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		uzid 12872	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
4		peano2uz 12922	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵))
6		elfzuzb 13540	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
7	1, 5, 6	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)))
8		fzosplit 13714	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...(𝐵 + 1)) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))))
10		fzosn 13757	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵..^(𝐵 + 1)) = {𝐵})
11	2, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵..^(𝐵 + 1)) = {𝐵})
12	11	uneq2d 4148	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (𝐵..^(𝐵 + 1))) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
13	9, 12	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by:  fzosplitpr  13797  fzosplitsni  13799  fzisfzounsn  13800  cats1un  14744  bitsinv1  16466  bitsinvp1  16473  gsmsymgrfixlem1  19413  gsmsymgreqlem2  19417  efgsp1  19723  pgpfaclem1  20069  tgcgr4  28515  wlkp1lem8  29665  wlkp1  29666  crctcshwlkn0lem7  29803  clwlkclwwlklem2a1  29978  clwwlkel  30032  clwwlkwwlksb  30040  wwlksext2clwwlk  30043  eupthp1  30202  fzodif2  32773  chnccats1  33000  fiunelros  34210  signsplypnf  34587  prodfzo03  34640  reprsuc  34652  breprexplema  34667  breprexplemc  34669  nnsum4primeseven  47781  nnsum4primesevenALTV  47782  gpgprismgr4cycllem7  48067