Theorem fzosplitprm1 13497

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitprm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitprm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12363	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
4		zltlem1 12373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
5	4	biimp3a 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
6		eluz2 12588	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
7	1, 3, 5, 6	syl3anbrc 1342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		fzosplitpr 13496	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
10		zcn 12324	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		1cnd 10970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12051	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	subadd23d 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 2) = (𝐵 + (2 − 1)))
14		2m1e1 12099	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 + (2 − 1)) = (𝐵 + 1)
16	13, 15	eqtr2di 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) = ((𝐵 − 1) + 2))
17	16	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)))
18		npcan1 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
20	19	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
21	20	preq2d 4676	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → {(𝐵 − 1), 𝐵} = {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})
22	21	uneq2d 4097	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
23	17, 22	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
24	23	3ad2ant2 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
25	9, 24	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by: (None)