Theorem fzosplitprm1 13770

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitprm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitprm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12600	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
4		zltlem1 12610	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
5	4	biimp3a 1480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
6		eluz2 12831	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
7	1, 3, 5, 6	syl3anbrc 1353	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		fzosplitpr 13769	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
10		zcn 12559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		1cnd 11161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	subadd23d 11550	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 2) = (𝐵 + (2 − 1)))
14		2m1e1 12328	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	oveq2i 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 + (2 − 1)) = (𝐵 + 1)
16	13, 15	eqtr2di 2804	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) = ((𝐵 − 1) + 2))
17	16	oveq2d 7397	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)))
18		npcan1 11598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
20	19	eqcomd 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
21	20	preq2d 4689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → {(𝐵 − 1), 𝐵} = {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})
22	21	uneq2d 4112	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
23	17, 22	eqeq12d 2768	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
24	23	3ad2ant2 1143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
25	9, 24	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ∪ cun 3893  {cpr 4574   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11202   ≤ cle 11203   − cmin 11400  2c2 12258  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12825  ..^cfzo 13645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646

This theorem is referenced by: (None)