MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitprm1 13782
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12643 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
323ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
4 zltlem1 12653 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
54biimp3a 1465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
6 eluz2 12866 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
71, 3, 5, 6syl3anbrc 1340 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
8 fzosplitpr 13781 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
10 zcn 12601 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 1cnd 11247 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
12 2cnd 12328 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
1310, 11, 12subadd23d 11631 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 2) = (𝐵 + (2 − 1)))
14 2m1e1 12376 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1514oveq2i 7437 . . . . . 6 (𝐵 + (2 − 1)) = (𝐵 + 1)
1613, 15eqtr2di 2785 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) = ((𝐵 − 1) + 2))
1716oveq2d 7442 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)))
18 npcan1 11677 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
1910, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
2019eqcomd 2734 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
2120preq2d 4749 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → {(𝐵 − 1), 𝐵} = {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})
2221uneq2d 4164 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
2317, 22eqeq12d 2744 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
24233ad2ant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
259, 24mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3947  {cpr 4634   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11144  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  2c2 12305  cz 12596  cuz 12860  ..^cfzo 13667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator