Theorem fzosplitprm1 13782

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitprm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitprm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12643	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
4		zltlem1 12653	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
5	4	biimp3a 1465	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
6		eluz2 12866	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
7	1, 3, 5, 6	syl3anbrc 1340	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		fzosplitpr 13781	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
10		zcn 12601	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		1cnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnd 12328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	subadd23d 11631	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 2) = (𝐵 + (2 − 1)))
14		2m1e1 12376	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	oveq2i 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 + (2 − 1)) = (𝐵 + 1)
16	13, 15	eqtr2di 2785	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) = ((𝐵 − 1) + 2))
17	16	oveq2d 7442	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)))
18		npcan1 11677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
20	19	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
21	20	preq2d 4749	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → {(𝐵 − 1), 𝐵} = {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})
22	21	uneq2d 4164	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
23	17, 22	eqeq12d 2744	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
24	23	3ad2ant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
25	9, 24	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3947  {cpr 4634   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   ≤ cle 11287   − cmin 11482  2c2 12305  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668

This theorem is referenced by: (None)