Theorem gsumpropd2 18830

Description: A stronger version of gsumpropd 18828, working for magma, where only the closure of the addition operation on a common base is required, see gsummgmpropd 18831. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpropd2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
gsumpropd2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
gsumpropd2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
gsumpropd2.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
gsumpropd2.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
gsumpropd2.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
gsumpropd2.n	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
gsumpropd2.r	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsumpropd2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡   𝐻,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑡, 𝑠)   𝑊(𝑡, 𝑠)   𝑋(𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem gsumpropd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpropd2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		gsumpropd2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		gsumpropd2.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
4		gsumpropd2.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
5		gsumpropd2.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
6		gsumpropd2.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
7		gsumpropd2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
8		gsumpropd2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
9		eqid 2760	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑡 ∈ (Base‘𝐺)((𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡(+g‘𝐺)𝑠) = 𝑡)})) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑡 ∈ (Base‘𝐺)((𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡(+g‘𝐺)𝑠) = 𝑡)}))
10		eqid 2760	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑠 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∀𝑡 ∈ (Base‘𝐻)((𝑠(+g‘𝐻)𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡(+g‘𝐻)𝑠) = 𝑡)})) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑠 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∀𝑡 ∈ (Base‘𝐻)((𝑠(+g‘𝐻)𝑡) = 𝑡 ∧ (𝑡(+g‘𝐻)𝑠) = 𝑡)}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	gsumpropd2lem 18829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ^◡ccnv 5646  ran crn 5648   “ cima 5650  Fun wfun 6521  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389   Σ_g cgsu 17572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-seq 14113  df-0g 17573  df-gsum 17574

This theorem is used by:  gsummgmpropd  18831  esumpfinvallem  34639  sge0tsms  47312