Theorem gsumply1subr 21405

Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
subrgply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
subrgply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumply1subr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumply1subr	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1subr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsumply1subr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		subrgply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
4		subrgply1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		subrgply1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
6		subrgply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	subrgply1 21404	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		subrgsubg 20030	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9		subgsubm 18777	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
11	2, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
12		gsumply1subr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
13		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
14	1, 11, 12, 13	gsumsubm 18473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹))
15	12, 1	fexd 7103	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
16		ovexd 7310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ V)
17	5	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20	6	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑈))
21	3, 4, 5, 19, 2, 20	ressply1bas 21400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
22	21	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
23	13	subrgring 20027	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
25		ringmgm 19794	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
26	2, 24, 25	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
27		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝜑)
28	3, 4, 5, 6, 2, 13	ressply1bas 21400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
29	28	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = 𝐵)
30	29	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ 𝐵))
31	30	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
33	32	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
34	29	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑡 ∈ 𝐵))
35	34	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
36	35	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
37	36	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
38	3, 4, 5, 6, 2, 13	ressply1add 21401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
39	27, 33, 37, 38	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
40	39	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g‘𝑈)𝑡))
41	12	ffund 6604	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
42	12	frnd 6608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
43	42, 28	sseqtrd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
44	15, 16, 18, 22, 26, 40, 41, 43	gsummgmpropd 18365	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
45	14, 44	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ran crn 5590  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962   Σ_g cgsu 17151  Mgmcmgm 18324  SubMndcsubmnd 18429  SubGrpcsubg 18749  Ringcrg 19783  SubRingcsubrg 20020  Poly₁cpl1 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353

This theorem is referenced by: (None)