MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1subr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1subr 22156
Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
subrgply1.u π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
subrgply1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
gsumply1subr.s (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
gsumply1subr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumply1subr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
Assertion
Ref Expression
gsumply1subr (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g 𝐹) = (π‘ˆ Ξ£g 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1subr.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 gsumply1subr.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
3 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
4 subrgply1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
5 subrgply1.u . . . . 5 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
6 subrgply1.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
73, 4, 5, 6subrgply1 22155 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
8 subrgsubg 20515 . . . . 5 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
9 subgsubm 19102 . . . . 5 (𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘†))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘†))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘†))
12 gsumply1subr.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
13 eqid 2725 . . 3 (𝑆 β†Ύs 𝐡) = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
141, 11, 12, 13gsumsubm 18786 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g 𝐹) = ((𝑆 β†Ύs 𝐡) Ξ£g 𝐹))
1512, 1fexd 7233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
16 ovexd 7448 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ V)
175fvexi 6904 . . . 4 π‘ˆ ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
19 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
206oveq2i 7424 . . . . 5 (𝑆 β†Ύs 𝐡) = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘ˆ))
213, 4, 5, 19, 2, 20ressply1bas 22151 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
2221eqcomd 2731 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2313subrgring 20512 . . . . 5 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring)
247, 23syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring)
25 ringmgm 20183 . . . 4 ((𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Mgm)
262, 24, 253syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Mgm)
27 simpl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ πœ‘)
283, 4, 5, 6, 2, 13ressply1bas 22151 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
2928eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) = 𝐡)
3029eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ↔ 𝑠 ∈ 𝐡))
3130biimpcd 248 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
3231adantr 479 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
3332impcom 406 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
3429eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ↔ 𝑑 ∈ 𝐡))
3534biimpcd 248 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡))
3635adantl 480 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡))
3736impcom 406 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
383, 4, 5, 6, 2, 13ressply1add 22152 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑠(+gβ€˜π‘ˆ)𝑑) = (𝑠(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑑))
3927, 33, 37, 38syl12anc 835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ (𝑠(+gβ€˜π‘ˆ)𝑑) = (𝑠(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑑))
4039eqcomd 2731 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ (𝑠(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑑) = (𝑠(+gβ€˜π‘ˆ)𝑑))
4112ffund 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4212frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
4342, 28sseqtrd 4014 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
4415, 16, 18, 22, 26, 40, 41, 43gsummgmpropd 18635 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύs 𝐡) Ξ£g 𝐹) = (π‘ˆ Ξ£g 𝐹))
4514, 44eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g 𝐹) = (π‘ˆ Ξ£g 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  ran crn 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  +gcplusg 17227   Ξ£g cgsu 17416  Mgmcmgm 18592  SubMndcsubmnd 18733  SubGrpcsubg 19074  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20505  Poly1cpl1 22099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-ply1 22104
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator