Theorem gsumply1subr 22134

Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
subrgply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
subrgply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumply1subr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumply1subr	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1subr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsumply1subr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		subrgply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
4		subrgply1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		subrgply1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
6		subrgply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	subrgply1 22133	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		subrgsubg 20480	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9		subgsubm 19045	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
10	2, 7, 8, 9	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
11		gsumply1subr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
13	1, 10, 11, 12	gsumsubm 18727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹))
14	11, 1	fexd 7167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		ovexd 7388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ V)
16	5	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	6	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑈))
20	3, 4, 5, 18, 2, 19	ressply1bas 22129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
21	20	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
22	12	subrgring 20477	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
23		ringmgm 20147	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
24	2, 7, 22, 23	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝜑)
26	3, 4, 5, 6, 2, 12	ressply1bas 22129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
27	26	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = 𝐵)
28	27	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ 𝐵))
29	28	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
31	30	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
32	27	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑡 ∈ 𝐵))
33	32	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
35	34	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
36	3, 4, 5, 6, 2, 12	ressply1add 22130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
37	25, 31, 35, 36	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
38	37	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g‘𝑈)𝑡))
39	11	ffund 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
40	11	frnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
41	40, 26	sseqtrd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
42	14, 15, 17, 21, 24, 38, 39, 41	gsummgmpropd 18573	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
43	13, 42	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ran crn 5624  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179   Σ_g cgsu 17362  Mgmcmgm 18530  SubMndcsubmnd 18674  SubGrpcsubg 19017  Ringcrg 20136  SubRingcsubrg 20472  Poly₁cpl1 22077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-psr 21834  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-psr1 22080  df-ply1 22082

This theorem is referenced by: (None)