MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1subr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1subr 20321
Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
subrgply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumply1subr.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumply1subr (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1subr.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 gsumply1subr.s . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
4 subrgply1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
5 subrgply1.u . . . . 5 𝑈 = (Poly1𝐻)
6 subrgply1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
73, 4, 5, 6subrgply1 20320 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 subrgsubg 19463 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9 subgsubm 18233 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
12 gsumply1subr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
13 eqid 2825 . . 3 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
141, 11, 12, 13gsumsubm 17984 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹))
15 fex 6987 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
1612, 1, 15syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
17 ovexd 7186 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ V)
185fvexi 6680 . . . 4 𝑈 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
20 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
216oveq2i 7162 . . . . 5 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s (Base‘𝑈))
223, 4, 5, 20, 2, 21ressply1bas 20316 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
2322eqcomd 2831 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
2413subrgring 19460 . . . . 5 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
257, 24syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
26 ringmgm 19229 . . . 4 ((𝑆s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
272, 25, 263syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) ∈ Mgm)
28 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝜑)
293, 4, 5, 6, 2, 13ressply1bas 20316 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
3029eqcomd 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝐵)) = 𝐵)
3130eleq2d 2902 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑠𝐵))
3231biimpcd 250 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑠𝐵))
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑠𝐵))
3433impcom 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑠𝐵)
3530eleq2d 2902 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ↔ 𝑡𝐵))
3635biimpcd 250 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) → (𝜑𝑡𝐵))
3736adantl 482 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵))) → (𝜑𝑡𝐵))
3837impcom 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → 𝑡𝐵)
393, 4, 5, 6, 2, 13ressply1add 20317 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵)) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4028, 34, 38, 39syl12anc 834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡))
4140eqcomd 2831 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g𝑈)𝑡))
4212ffund 6514 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
4312frnd 6517 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
4443, 29sseqtrd 4010 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆s 𝐵)))
4516, 17, 19, 23, 27, 41, 42, 44gsummgmpropd 17882 . 2 (𝜑 → ((𝑆s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
4614, 45eqtrd 2860 1 (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557   Σg cgsu 16706  Mgmcmgm 17842  SubMndcsubmnd 17945  SubGrpcsubg 18205  Ringcrg 19219  SubRingcsubrg 19453  Poly1cpl1 20264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-subrg 19455  df-psr 20057  df-mpl 20059  df-opsr 20061  df-psr1 20267  df-ply1 20269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator