Theorem gsumply1subr 22430

Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
subrgply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
subrgply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumply1subr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumply1subr	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1subr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsumply1subr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		subrgply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
4		subrgply1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		subrgply1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
6		subrgply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	subrgply1 22429	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		subrgsubg 20713	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9		subgsubm 19246	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
10	2, 7, 8, 9	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
11		gsumply1subr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
13	1, 10, 11, 12	gsumsubm 18925	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹))
14	11, 1	fexd 7232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		ovexd 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ V)
16	5	fvexi 6902	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
18		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	6	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑈))
20	3, 4, 5, 18, 2, 19	ressply1bas 22425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
21	20	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
22	12	subrgring 20710	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
23		ringmgm 20357	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
24	2, 7, 22, 23	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
25		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝜑)
26	3, 4, 5, 6, 2, 12	ressply1bas 22425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
27	26	eqcomd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = 𝐵)
28	27	eleq2d 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ 𝐵))
29	28	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
31	30	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
32	27	eleq2d 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑡 ∈ 𝐵))
33	32	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
34	33	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
35	34	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
36	3, 4, 5, 6, 2, 12	ressply1add 22426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
37	25, 31, 35, 36	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
38	37	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g‘𝑈)𝑡))
39	11	ffund 6717	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
40	11	frnd 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
41	40, 26	sseqtrd 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
42	14, 15, 17, 21, 24, 38, 39, 41	gsummgmpropd 18768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
43	13, 42	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ran crn 5667  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  +_gcplusg 17335   Σ_g cgsu 17518  Mgmcmgm 18721  SubMndcsubmnd 18871  SubGrpcsubg 19217  Ringcrg 20346  SubRingcsubrg 20705  Poly₁cpl1 22374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-psr 22096  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-ply1 22379

This theorem is used by: (None)