MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1subr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumply1subr 22126
Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
subrgply1.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
subrgply1.u π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
subrgply1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
gsumply1subr.s (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
gsumply1subr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumply1subr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
Assertion
Ref Expression
gsumply1subr (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g 𝐹) = (π‘ˆ Ξ£g 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1subr.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 gsumply1subr.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
3 subrgply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
4 subrgply1.h . . . . 5 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
5 subrgply1.u . . . . 5 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
6 subrgply1.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
73, 4, 5, 6subrgply1 22125 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
8 subrgsubg 20498 . . . . 5 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
9 subgsubm 19087 . . . . 5 (𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘†))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘†))
112, 7, 103syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘†))
12 gsumply1subr.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
13 eqid 2727 . . 3 (𝑆 β†Ύs 𝐡) = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
141, 11, 12, 13gsumsubm 18772 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g 𝐹) = ((𝑆 β†Ύs 𝐡) Ξ£g 𝐹))
1512, 1fexd 7233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
16 ovexd 7449 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ V)
175fvexi 6905 . . . 4 π‘ˆ ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
19 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
206oveq2i 7425 . . . . 5 (𝑆 β†Ύs 𝐡) = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘ˆ))
213, 4, 5, 19, 2, 20ressply1bas 22121 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
2221eqcomd 2733 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2313subrgring 20495 . . . . 5 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring)
247, 23syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring)
25 ringmgm 20168 . . . 4 ((𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Mgm)
262, 24, 253syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Mgm)
27 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ πœ‘)
283, 4, 5, 6, 2, 13ressply1bas 22121 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
2928eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) = 𝐡)
3029eleq2d 2814 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ↔ 𝑠 ∈ 𝐡))
3130biimpcd 248 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
3231adantr 480 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
3332impcom 407 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
3429eleq2d 2814 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ↔ 𝑑 ∈ 𝐡))
3534biimpcd 248 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡))
3635adantl 481 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡))
3736impcom 407 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
383, 4, 5, 6, 2, 13ressply1add 22122 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑠(+gβ€˜π‘ˆ)𝑑) = (𝑠(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑑))
3927, 33, 37, 38syl12anc 836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ (𝑠(+gβ€˜π‘ˆ)𝑑) = (𝑠(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑑))
4039eqcomd 2733 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))) β†’ (𝑠(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑑) = (𝑠(+gβ€˜π‘ˆ)𝑑))
4112ffund 6720 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4212frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
4342, 28sseqtrd 4018 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
4415, 16, 18, 22, 26, 40, 41, 43gsummgmpropd 18626 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύs 𝐡) Ξ£g 𝐹) = (π‘ˆ Ξ£g 𝐹))
4514, 44eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g 𝐹) = (π‘ˆ Ξ£g 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  +gcplusg 17218   Ξ£g cgsu 17407  Mgmcmgm 18583  SubMndcsubmnd 18724  SubGrpcsubg 19059  Ringcrg 20157  SubRingcsubrg 20488  Poly1cpl1 22070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-psr 21822  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-ply1 22075
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator