Theorem hhba 31316

Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 31118 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhba	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem hhba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31309	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30696	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 31149	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6699	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 30670	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhva 31315	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	7, 9	bafval 30753	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran +ℎ
11	6, 10	eqtr4i 2787	1 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4587   × cxp 5643  ran crn 5646  ‘cfv 6517  GrpOpcgr 30638  AbelOpcablo 30693  BaseSetcba 30735   ℋchba 31068   +_ℎ cva 31069   ·_ℎ csm 31070  norm_ℎcno 31072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-hilex 31148  ax-hfvadd 31149  ax-hvcom 31150  ax-hvass 31151  ax-hv0cl 31152  ax-hvaddid 31153  ax-hfvmul 31154  ax-hvmulid 31155  ax-hvmulass 31156  ax-hvdistr1 31157  ax-hvdistr2 31158  ax-hvmul0 31159  ax-hfi 31228  ax-his1 31231  ax-his2 31232  ax-his3 31233  ax-his4 31234

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-grpo 30642  df-gid 30643  df-ablo 30694  df-vc 30708  df-nv 30741  df-va 30744  df-ba 30745  df-hnorm 31117  df-hvsub 31120

This theorem is referenced by:  hhvs  31319  hhmet  31323  hhmetdval  31325  hhip  31326  hhcau  31347  hhlm  31348  hhhl  31353  hhlnoi  32049  hhnmoi  32050  hh0oi  32052