Theorem hhba 31775

Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 31577 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhba	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem hhba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31768	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 31155	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 31608	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6722	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 31129	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhva 31774	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	7, 9	bafval 31212	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran +ℎ
11	6, 10	eqtr4i 2786	1 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   × cxp 5648  ran crn 5651  ‘cfv 6539  GrpOpcgr 31097  AbelOpcablo 31152  BaseSetcba 31194   ℋchba 31527   +_ℎ cva 31528   ·_ℎ csm 31529  norm_ℎcno 31531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-hilex 31607  ax-hfvadd 31608  ax-hvcom 31609  ax-hvass 31610  ax-hv0cl 31611  ax-hvaddid 31612  ax-hfvmul 31613  ax-hvmulid 31614  ax-hvmulass 31615  ax-hvdistr1 31616  ax-hvdistr2 31617  ax-hvmul0 31618  ax-hfi 31687  ax-his1 31690  ax-his2 31691  ax-his3 31692  ax-his4 31693

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-grpo 31101  df-gid 31102  df-ablo 31153  df-vc 31167  df-nv 31200  df-va 31203  df-ba 31204  df-hnorm 31576  df-hvsub 31579

This theorem is used by:  hhvs  31778  hhmet  31782  hhmetdval  31784  hhip  31785  hhcau  31806  hhlm  31807  hhhl  31812  hhlnoi  32508  hhnmoi  32509  hh0oi  32511