Theorem hhba 31263

Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 31065 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhba	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem hhba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31256	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30643	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 31096	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6673	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 30617	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhva 31262	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	7, 9	bafval 30700	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran +ℎ
11	6, 10	eqtr4i 2766	1 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4568   × cxp 5623  ran crn 5626  ‘cfv 6492  GrpOpcgr 30585  AbelOpcablo 30640  BaseSetcba 30682   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   ·_ℎ csm 31017  norm_ℎcno 31019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103  ax-hvdistr1 31104  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179  ax-his3 31180  ax-his4 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-grpo 30589  df-gid 30590  df-ablo 30641  df-vc 30655  df-nv 30688  df-va 30691  df-ba 30692  df-hnorm 31064  df-hvsub 31067

This theorem is referenced by:  hhvs  31266  hhmet  31270  hhmetdval  31272  hhip  31273  hhcau  31294  hhlm  31295  hhhl  31300  hhlnoi  31996  hhnmoi  31997  hh0oi  31999