Theorem hhba 31428

Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 31230 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhba	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem hhba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31421	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30808	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		ax-hfvadd 31261	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
5	4	fdmi 6707	. . 3 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
6	3, 5	grporn 30782	. 2 ⊢ ℋ = ran +ℎ
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
8		hhnv.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
9	8	hhva 31427	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
10	7, 9	bafval 30865	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran +ℎ
11	6, 10	eqtr4i 2791	1 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591   × cxp 5650  ran crn 5653  ‘cfv 6525  GrpOpcgr 30750  AbelOpcablo 30805  BaseSetcba 30847   ℋchba 31180   +_ℎ cva 31181   ·_ℎ csm 31182  norm_ℎcno 31184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvmulass 31268  ax-hvdistr1 31269  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his1 31343  ax-his2 31344  ax-his3 31345  ax-his4 31346

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-hnorm 31229  df-hvsub 31232

This theorem is referenced by:  hhvs  31431  hhmet  31435  hhmetdval  31437  hhip  31438  hhcau  31459  hhlm  31460  hhhl  31465  hhlnoi  32161  hhnmoi  32162  hh0oi  32164