HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhba 29578
Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 29380 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
Assertion
Ref Expression
hhba β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)

Proof of Theorem hhba
StepHypRef Expression
1 hilablo 29571 . . . 4 +β„Ž ∈ AbelOp
2 ablogrpo 28958 . . . 4 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 +β„Ž ∈ GrpOp
4 ax-hfvadd 29411 . . . 4 +β„Ž :( β„‹ Γ— β„‹)⟢ β„‹
54fdmi 6642 . . 3 dom +β„Ž = ( β„‹ Γ— β„‹)
63, 5grporn 28932 . 2 β„‹ = ran +β„Ž
7 eqid 2736 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 hhnv.1 . . . 4 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
98hhva 29577 . . 3 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
107, 9bafval 29015 . 2 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = ran +β„Ž
116, 10eqtr4i 2767 1 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βŸ¨cop 4571   Γ— cxp 5598  ran crn 5601  β€˜cfv 6458  GrpOpcgr 28900  AbelOpcablo 28955  BaseSetcba 28997   β„‹chba 29330   +β„Ž cva 29331   Β·β„Ž csm 29332  normβ„Žcno 29334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999  ax-hilex 29410  ax-hfvadd 29411  ax-hvcom 29412  ax-hvass 29413  ax-hv0cl 29414  ax-hvaddid 29415  ax-hfvmul 29416  ax-hvmulid 29417  ax-hvmulass 29418  ax-hvdistr1 29419  ax-hvdistr2 29420  ax-hvmul0 29421  ax-hfi 29490  ax-his1 29493  ax-his2 29494  ax-his3 29495  ax-his4 29496
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-grpo 28904  df-gid 28905  df-ablo 28956  df-vc 28970  df-nv 29003  df-va 29006  df-ba 29007  df-hnorm 29379  df-hvsub 29382
This theorem is referenced by:  hhvs  29581  hhmet  29585  hhmetdval  29587  hhip  29588  hhcau  29609  hhlm  29610  hhhl  29615  hhlnoi  30311  hhnmoi  30312  hh0oi  30314
  Copyright terms: Public domain W3C validator