Theorem expadd 14077

Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
expadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expadd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
2	1	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
4	3	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
5	2, 4	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0))))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))))
7		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
10	9	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))
11	8, 10	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))))
13		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
16	15	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
17	14, 16	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
20	19	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
22	21	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
23	20, 22	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
24	23	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
25		nn0cn 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	25	addridd 11421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
28	27	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴↑𝑀))
29		expcl 14052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
30	29	mulridd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · 1) = (𝐴↑𝑀))
31	28, 30	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
32		exp0 14038	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
34	33	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
35	31, 34	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
36		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
37		nn0cn 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		addass 11203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
40	38, 39	mp3an3 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
41	25, 37, 40	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
42	41	adantll 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
43	42	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45		nn0addcl 12514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
46	45	adantll 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47		expp1 14041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
48	44, 46, 47	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
49	43, 48	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50		expp1 14041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52	51	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
53	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
54		expcl 14052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
56	53, 55, 44	mulassd 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
57	52, 56	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
58	49, 57	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴)))
59	36, 58	imbitrrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
60	59	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
61	60	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
62	6, 12, 18, 24, 35, 61	nn0ind 12664	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
63	62	expdcom 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
64	63	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  ℕ₀cn0 12479  ↑cexp 14034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14078  expaddz  14079  expmul  14080  expaddd  14120  i4  14175  faclbnd4lem1  14260  fallrisefac  15976  fsumcube  16011  ef01bndlem  16134  modxai  17008  numexp2x  17019  2exp5  17026  2exp11  17030  expmhm  21303  quart1lem  26701  log2ublem2  26793  bposlem8  27137  3lexlogpow5ineq1  41386  3exp4mod41  46743