Theorem expadd 14170

Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
expadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expadd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
2	1	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
4	3	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
5	2, 4	eqeq12d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0))))
6	5	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))))
7		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
10	9	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))
11	8, 10	eqeq12d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))))
13		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
16	15	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
17	14, 16	eqeq12d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
20	19	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
22	21	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
23	20, 22	eqeq12d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
24	23	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
25		nn0cn 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	25	addridd 11437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
27	26	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
28	27	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴↑𝑀))
29		expcl 14145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
30	29	mulridd 11253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · 1) = (𝐴↑𝑀))
31	28, 30	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
32		exp0 14131	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
34	33	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
35	31, 34	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
36		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
37		nn0cn 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		addass 11214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
40	38, 39	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
41	25, 37, 40	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
42	41	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
43	42	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45		nn0addcl 12566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
46	45	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47		expp1 14134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
48	44, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
49	43, 48	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50		expp1 14134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52	51	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
53	29	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
54		expcl 14145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
56	53, 55, 44	mulassd 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
57	52, 56	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
58	49, 57	eqeq12d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴)))
59	36, 58	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
60	59	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
61	60	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
62	6, 12, 18, 24, 35, 61	nn0ind 12719	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
63	62	expdcom 420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
64	63	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℕ₀cn0 12531  ↑cexp 14127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-exp 14128

This theorem is used by:  expaddzlem  14171  expaddz  14172  expmul  14173  expaddd  14214  i4  14270  faclbnd4lem1  14359  fallrisefac  16116  fsumcube  16150  ef01bndlem  16276  modxai  17164  numexp2x  17174  2exp5  17181  2exp11  17185  expmhm  21653  quart1lem  27093  log2ublem2  27185  bposlem8  27528  3lexlogpow5ineq1  42922  goldpolyfactor  47747  3exp4mod41  48521