Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
expadd ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
21oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
43oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))
52, 4eqeq12d 2814 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0))))
65imbi2d 344 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))))
7 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
87oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
109oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)))
118, 10eqeq12d 2814 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘))))
1211imbi2d 344 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)))))
13 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
1413oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1615oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
1714, 16eqeq12d 2814 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 344 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
2019oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
2221oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
2320, 22eqeq12d 2814 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
2423imbi2d 344 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))))
25 nn0cn 11913 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
2625addid1d 10847 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2726adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
2827oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴𝑀))
29 expcl 13463 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
3029mulid1d 10665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · 1) = (𝐴𝑀))
3128, 30eqtr4d 2836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · 1))
32 exp0 13449 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3332adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
3433oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴𝑀) · 1))
3531, 34eqtr4d 2836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑0)))
36 oveq1 7152 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴))
37 nn0cn 11913 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10602 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
39 addass 10631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4038, 39mp3an3 1447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4125, 37, 40syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4241adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
4342oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45 nn0addcl 11938 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
4645adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47 expp1 13452 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
4844, 46, 47syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
4943, 48eqtr3d 2835 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50 expp1 13452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5150adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5251oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
5329adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
54 expcl 13463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5554adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5653, 55, 44mulassd 10671 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴𝑀) · ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
5752, 56eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴))
5849, 57eqeq12d 2814 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) · 𝐴)))
5936, 58syl5ibr 249 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
6059expcom 417 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
6160a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
626, 12, 18, 24, 35, 61nn0ind 12085 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
6362expdcom 418 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))))
64633imp 1108 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549  ℕ0cn0 11903  ↑cexp 13445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-seq 13385  df-exp 13446 This theorem is referenced by:  expaddzlem  13488  expaddz  13489  expmul  13490  expaddd  13528  i4  13583  faclbnd4lem1  13669  fallrisefac  15391  fsumcube  15426  ef01bndlem  15549  modxai  16414  numexp2x  16425  2exp5  16432  expmhm  20181  quart1lem  25485  log2ublem2  25577  bposlem8  25919  2exp11  44286  3exp4mod41  44302
 Copyright terms: Public domain W3C validator