Theorem expadd 13677

Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
expadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expadd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
2	1	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
4	3	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
5	2, 4	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0))))
6	5	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))))
7		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
10	9	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))
11	8, 10	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))))
12	11	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))))
13		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
16	15	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
17	14, 16	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
20	19	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21		oveq2 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
22	21	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
23	20, 22	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
24	23	imbi2d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
25		nn0cn 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	25	addid1d 11032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
27	26	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
28	27	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴↑𝑀))
29		expcl 13653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
30	29	mulid1d 10850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · 1) = (𝐴↑𝑀))
31	28, 30	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
32		exp0 13639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
33	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
34	33	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
35	31, 34	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
36		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
37		nn0cn 12100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		addass 10816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
40	38, 39	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
41	25, 37, 40	syl2an 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
42	41	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
43	42	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45		nn0addcl 12125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
46	45	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47		expp1 13642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
48	44, 46, 47	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
49	43, 48	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50		expp1 13642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52	51	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
53	29	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
54		expcl 13653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
56	53, 55, 44	mulassd 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
57	52, 56	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
58	49, 57	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴)))
59	36, 58	syl5ibr 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
60	59	expcom 417	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
61	60	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
62	6, 12, 18, 24, 35, 61	nn0ind 12272	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
63	62	expdcom 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
64	63	3imp 1113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  ℕ₀cn0 12090  ↑cexp 13635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636

This theorem is referenced by:  expaddzlem  13678  expaddz  13679  expmul  13680  expaddd  13718  i4  13773  faclbnd4lem1  13859  fallrisefac  15587  fsumcube  15622  ef01bndlem  15745  modxai  16621  numexp2x  16632  2exp5  16639  2exp11  16643  expmhm  20432  quart1lem  25738  log2ublem2  25830  bposlem8  26172  3lexlogpow5ineq1  39796  3exp4mod41  44741