Theorem expadd 14066

Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
expadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expadd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
2	1	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
4	3	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
5	2, 4	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0))))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))))
7		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
10	9	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))
11	8, 10	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))))
13		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
16	15	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
17	14, 16	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
20	19	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
22	21	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
23	20, 22	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
24	23	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
25		nn0cn 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	25	addridd 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
28	27	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴↑𝑀))
29		expcl 14041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
30	29	mulridd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · 1) = (𝐴↑𝑀))
31	28, 30	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
32		exp0 14027	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
34	33	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
35	31, 34	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
36		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
37		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		addass 11125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
40	38, 39	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
41	25, 37, 40	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
42	41	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
43	42	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45		nn0addcl 12472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
46	45	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47		expp1 14030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
48	44, 46, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
49	43, 48	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50		expp1 14030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52	51	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
53	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
54		expcl 14041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
56	53, 55, 44	mulassd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
57	52, 56	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
58	49, 57	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴)))
59	36, 58	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
60	59	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
61	60	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
62	6, 12, 18, 24, 35, 61	nn0ind 12624	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
63	62	expdcom 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
64	63	3imp 1111	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14067  expaddz  14068  expmul  14069  expaddd  14110  i4  14166  faclbnd4lem1  14255  fallrisefac  15990  fsumcube  16025  ef01bndlem  16151  modxai  17039  numexp2x  17049  2exp5  17056  2exp11  17060  expmhm  21416  quart1lem  26819  log2ublem2  26911  bposlem8  27254  3lexlogpow5ineq1  42493  3exp4mod41  48073