MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipval2 30530
Description: Expansion of the inner product value ipval 30526. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
dipfval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipval2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 dipfval.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 dipfval.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 dipfval.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipfval.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval 30526 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) / 4))
7 ax-icn 11198 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30529 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
97, 8mpan2 690 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
10 mulcl 11223 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
117, 9, 10sylancr 586 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
12 neg1cn 12357 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30529 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1412, 13mpan2 690 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1511, 14subcld 11602 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
16 negicn 11492 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30529 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1816, 17mpan2 690 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
19 mulcl 11223 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
207, 18, 19sylancr 586 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
2115, 20negsubd 11608 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
2214mulm1d 11697 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))
2322oveq2d 7436 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
2411, 14negsubd 11608 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
2523, 24eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
26 mulneg1 11681 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) = -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
277, 18, 26sylancr 586 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) = -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
2825, 27oveq12d 7438 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
29 subdi 11678 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
307, 29mp3an1 1445 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
319, 18, 30syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3231oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
3311, 20, 14sub32d 11634 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3432, 33eqtrd 2768 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3521, 28, 343eqtr4d 2778 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
361, 3nvsid 30450 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
3736oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(1𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺𝐡))
3837fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡)))
3938oveq1d 7435 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
40393adant2 1129 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4140oveq2d 7436 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)) = (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 30528 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ ℝ)
4342recnd 11273 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ β„‚)
4443mullidd 11263 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4541, 44eqtrd 2768 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4635, 45oveq12d 7438 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
47 nnuz 12896 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
48 df-4 12308 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
49 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 4 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑4))
50 i4 14200 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
5149, 50eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (π‘˜ = 4 β†’ (iβ†‘π‘˜) = 1)
5251oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 4 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
5352oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 4 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))
5453fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 4 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡))))
5554oveq1d 7435 . . . . . . 7 (π‘˜ = 4 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))
5651, 55oveq12d 7438 . . . . . 6 (π‘˜ = 4 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)))
57 nnnn0 12510 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
58 expcl 14077 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
597, 57, 58sylancr 586 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
6059adantl 481 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30529 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
6259, 61sylan2 592 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
6360, 62mulcld 11265 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
64 df-3 12307 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
65 oveq2 7428 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 3 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑3))
66 i3 14199 . . . . . . . . 9 (i↑3) = -i
6765, 66eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 3 β†’ (iβ†‘π‘˜) = -i)
6867oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 3 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (-i𝑆𝐡))
6968oveq2d 7436 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 3 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))
7069fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡))))
7170oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 3 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))
7267, 71oveq12d 7438 . . . . . . 7 (π‘˜ = 3 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
73 df-2 12306 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
74 oveq2 7428 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 2 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑2))
75 i2 14198 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
7674, 75eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ (iβ†‘π‘˜) = -1)
7776oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 2 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (-1𝑆𝐡))
7877oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 2 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
7978fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
8079oveq1d 7435 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))
8176, 80oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 2 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
82 1z 12623 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
83 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑1))
84 exp1 14065 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ β„‚ β†’ (i↑1) = i)
857, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑1) = i
8683, 85eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ (iβ†‘π‘˜) = i)
8786oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 1 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (i𝑆𝐡))
8887oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))
8988fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))))
9089oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2))
9186, 90oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
9291fsum1 15726 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„€ ∧ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
9382, 11, 92sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
94 1nn 12254 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
9593, 94jctil 519 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2))))
96 eqidd 2729 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 15748 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))))
98 eqidd 2729 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 15748 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (3 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
100 eqidd 2729 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))))
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 15748 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)))))
102101simprd 495 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))))
10343, 14subcld 11602 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
1049, 18subcld 11602 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
105 mulcl 11223 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
1067, 104, 105sylancr 586 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
107103, 106addcomd 11447 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
108106, 14, 43subadd23d 11624 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
109107, 108eqtr4d 2771 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) = (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
11046, 102, 1093eqtr4d 2778 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
111110oveq1d 7435 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) / 4) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
1126, 111eqtrd 2768 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   Β· cmul 11144   βˆ’ cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  β„•cn 12243  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589  ...cfz 13517  β†‘cexp 14059  Ξ£csu 15665  NrmCVeccnv 30407   +𝑣 cpv 30408  BaseSetcba 30409   ·𝑠OLD cns 30410  normCVcnmcv 30413  Β·π‘–OLDcdip 30523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-grpo 30316  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-nmcv 30423  df-dip 30524
This theorem is referenced by:  4ipval2  30531  ipval3  30532  ipidsq  30533  dipcj  30537  dip0r  30540
  Copyright terms: Public domain W3C validator