Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dipfval.1 |
. . 3
β’ π = (BaseSetβπ) |
2 | | dipfval.2 |
. . 3
β’ πΊ = ( +π£
βπ) |
3 | | dipfval.4 |
. . 3
β’ π = (
Β·π OLD βπ) |
4 | | dipfval.6 |
. . 3
β’ π =
(normCVβπ) |
5 | | dipfval.7 |
. . 3
β’ π =
(Β·πOLDβπ) |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | ipval 29687 |
. 2
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΄ππ΅) = (Ξ£π β (1...4)((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) / 4)) |
7 | | ax-icn 11115 |
. . . . . . . . 9
β’ i β
β |
8 | 1, 2, 3, 4, 5 | ipval2lem4 29690 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ i β β) β ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β β) |
9 | 7, 8 | mpan2 690 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β β) |
10 | | mulcl 11140 |
. . . . . . . . 9
β’ ((i
β β β§ ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β β) β (i
Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β
β) |
11 | 7, 9, 10 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β
β) |
12 | | neg1cn 12272 |
. . . . . . . . 9
β’ -1 β
β |
13 | 1, 2, 3, 4, 5 | ipval2lem4 29690 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ -1 β β) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2) β β) |
14 | 12, 13 | mpan2 690 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2) β β) |
15 | 11, 14 | subcld 11517 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) β
β) |
16 | | negicn 11407 |
. . . . . . . . 9
β’ -i β
β |
17 | 1, 2, 3, 4, 5 | ipval2lem4 29690 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ -i β β) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2) β β) |
18 | 16, 17 | mpan2 690 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2) β β) |
19 | | mulcl 11140 |
. . . . . . . 8
β’ ((i
β β β§ ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2) β β) β (i
Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)) β
β) |
20 | 7, 18, 19 | sylancr 588 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)) β
β) |
21 | 15, 20 | negsubd 11523 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + -(i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) = (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
22 | 14 | mulm1d 11612 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) = -((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) |
23 | 22 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + -((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) |
24 | 11, 14 | negsubd 11523 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + -((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) |
25 | 23, 24 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) |
26 | | mulneg1 11596 |
. . . . . . . 8
β’ ((i
β β β§ ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2) β β) β (-i
Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)) = -(i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) |
27 | 7, 18, 26 | sylancr 588 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)) = -(i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) |
28 | 25, 27 | oveq12d 7376 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) = (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + -(i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
29 | | subdi 11593 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((i
β β β§ ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β β β§ ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2) β β) β (i
Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
30 | 7, 29 | mp3an1 1449 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β β β§ ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2) β β) β (i
Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
31 | 9, 18, 30 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
32 | 31 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) = (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) |
33 | 11, 20, 14 | sub32d 11549 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) = (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
34 | 32, 33 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) = (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) β (i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
35 | 21, 28, 34 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) = ((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) |
36 | 1, 3 | nvsid 29611 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β NrmCVec β§ π΅ β π) β (1ππ΅) = π΅) |
37 | 36 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β NrmCVec β§ π΅ β π) β (π΄πΊ(1ππ΅)) = (π΄πΊπ΅)) |
38 | 37 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β NrmCVec β§ π΅ β π) β (πβ(π΄πΊ(1ππ΅))) = (πβ(π΄πΊπ΅))) |
39 | 38 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΅ β π) β ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2) = ((πβ(π΄πΊπ΅))β2)) |
40 | 39 | 3adant2 1132 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2) = ((πβ(π΄πΊπ΅))β2)) |
41 | 40 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2)) = (1 Β· ((πβ(π΄πΊπ΅))β2))) |
42 | 1, 2, 3, 4, 5 | ipval2lem3 29689 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β β) |
43 | 42 | recnd 11188 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β β) |
44 | 43 | mulid2d 11178 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (1 Β· ((πβ(π΄πΊπ΅))β2)) = ((πβ(π΄πΊπ΅))β2)) |
45 | 41, 44 | eqtrd 2773 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2)) = ((πβ(π΄πΊπ΅))β2)) |
46 | 35, 45 | oveq12d 7376 |
. . . 4
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) + (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2))) = (((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + ((πβ(π΄πΊπ΅))β2))) |
47 | | nnuz 12811 |
. . . . . 6
β’ β =
(β€β₯β1) |
48 | | df-4 12223 |
. . . . . 6
β’ 4 = (3 +
1) |
49 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 4 β (iβπ) = (iβ4)) |
50 | | i4 14114 |
. . . . . . . 8
β’
(iβ4) = 1 |
51 | 49, 50 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . 7
β’ (π = 4 β (iβπ) = 1) |
52 | 51 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = 4 β ((iβπ)ππ΅) = (1ππ΅)) |
53 | 52 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = 4 β (π΄πΊ((iβπ)ππ΅)) = (π΄πΊ(1ππ΅))) |
54 | 53 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 4 β (πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅))) = (πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))) |
55 | 54 | oveq1d 7373 |
. . . . . . 7
β’ (π = 4 β ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2) = ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2)) |
56 | 51, 55 | oveq12d 7376 |
. . . . . 6
β’ (π = 4 β ((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2))) |
57 | | nnnn0 12425 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β π β
β0) |
58 | | expcl 13991 |
. . . . . . . . 9
β’ ((i
β β β§ π
β β0) β (iβπ) β β) |
59 | 7, 57, 58 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β
(iβπ) β
β) |
60 | 59 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ π β β) β (iβπ) β
β) |
61 | 1, 2, 3, 4, 5 | ipval2lem4 29690 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ (iβπ) β β) β ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2) β β) |
62 | 59, 61 | sylan2 594 |
. . . . . . 7
β’ (((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ π β β) β ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2) β β) |
63 | 60, 62 | mulcld 11180 |
. . . . . 6
β’ (((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β§ π β β) β ((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) β
β) |
64 | | df-3 12222 |
. . . . . . 7
β’ 3 = (2 +
1) |
65 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = 3 β (iβπ) = (iβ3)) |
66 | | i3 14113 |
. . . . . . . . 9
β’
(iβ3) = -i |
67 | 65, 66 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 3 β (iβπ) = -i) |
68 | 67 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = 3 β ((iβπ)ππ΅) = (-iππ΅)) |
69 | 68 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = 3 β (π΄πΊ((iβπ)ππ΅)) = (π΄πΊ(-iππ΅))) |
70 | 69 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = 3 β (πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅))) = (πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))) |
71 | 70 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 3 β ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2) = ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)) |
72 | 67, 71 | oveq12d 7376 |
. . . . . . 7
β’ (π = 3 β ((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) |
73 | | df-2 12221 |
. . . . . . . 8
β’ 2 = (1 +
1) |
74 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = 2 β (iβπ) = (iβ2)) |
75 | | i2 14112 |
. . . . . . . . . 10
β’
(iβ2) = -1 |
76 | 74, 75 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = 2 β (iβπ) = -1) |
77 | 76 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = 2 β ((iβπ)ππ΅) = (-1ππ΅)) |
78 | 77 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = 2 β (π΄πΊ((iβπ)ππ΅)) = (π΄πΊ(-1ππ΅))) |
79 | 78 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = 2 β (πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅))) = (πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))) |
80 | 79 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = 2 β ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2) = ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) |
81 | 76, 80 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 2 β ((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) |
82 | | 1z 12538 |
. . . . . . . . . 10
β’ 1 β
β€ |
83 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = 1 β (iβπ) = (iβ1)) |
84 | | exp1 13979 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (i β
β β (iβ1) = i) |
85 | 7, 84 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(iβ1) = i |
86 | 83, 85 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = 1 β (iβπ) = i) |
87 | 86 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = 1 β ((iβπ)ππ΅) = (iππ΅)) |
88 | 87 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = 1 β (π΄πΊ((iβπ)ππ΅)) = (π΄πΊ(iππ΅))) |
89 | 88 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = 1 β (πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅))) = (πβ(π΄πΊ(iππ΅)))) |
90 | 89 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = 1 β ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2) = ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) |
91 | 86, 90 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = 1 β ((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2))) |
92 | 91 | fsum1 15637 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((1
β β€ β§ (i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) β β) β
Ξ£π β
(1...1)((iβπ) Β·
((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2))) |
93 | 82, 11, 92 | sylancr 588 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β Ξ£π β (1...1)((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2))) |
94 | | 1nn 12169 |
. . . . . . . . 9
β’ 1 β
β |
95 | 93, 94 | jctil 521 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (1 β β β§
Ξ£π β
(1...1)((iβπ) Β·
((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)))) |
96 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)))) |
97 | 47, 73, 81, 63, 95, 96 | fsump1i 15659 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (2 β β β§
Ξ£π β
(1...2)((iβπ) Β·
((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = ((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))))) |
98 | | eqidd 2734 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) = (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) |
99 | 47, 64, 72, 63, 97, 98 | fsump1i 15659 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (3 β β β§
Ξ£π β
(1...3)((iβπ) Β·
((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = (((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))))) |
100 | | eqidd 2734 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) + (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2))) = ((((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) + (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2)))) |
101 | 47, 48, 56, 63, 99, 100 | fsump1i 15659 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (4 β β β§
Ξ£π β
(1...4)((iβπ) Β·
((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = ((((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) + (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2))))) |
102 | 101 | simprd 497 |
. . . 4
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β Ξ£π β (1...4)((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = ((((i Β· ((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2)) + (-1 Β· ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2))) + (-i Β· ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) + (1 Β· ((πβ(π΄πΊ(1ππ΅)))β2)))) |
103 | 43, 14 | subcld 11517 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) β
β) |
104 | 9, 18 | subcld 11517 |
. . . . . . 7
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)) β
β) |
105 | | mulcl 11140 |
. . . . . . 7
β’ ((i
β β β§ (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)) β β) β (i
Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β
β) |
106 | 7, 104, 105 | sylancr 588 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β
β) |
107 | 103, 106 | addcomd 11362 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + (i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) = ((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) + (((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)))) |
108 | 106, 14, 43 | subadd23d 11539 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + ((πβ(π΄πΊπ΅))β2)) = ((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) + (((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)))) |
109 | 107, 108 | eqtr4d 2776 |
. . . 4
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β ((((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + (i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) = (((i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + ((πβ(π΄πΊπ΅))β2))) |
110 | 46, 102, 109 | 3eqtr4d 2783 |
. . 3
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β Ξ£π β (1...4)((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) = ((((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + (i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2))))) |
111 | 110 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (Ξ£π β (1...4)((iβπ) Β· ((πβ(π΄πΊ((iβπ)ππ΅)))β2)) / 4) = (((((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + (i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) / 4)) |
112 | 6, 111 | eqtrd 2773 |
1
β’ ((π β NrmCVec β§ π΄ β π β§ π΅ β π) β (π΄ππ΅) = (((((πβ(π΄πΊπ΅))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-1ππ΅)))β2)) + (i Β· (((πβ(π΄πΊ(iππ΅)))β2) β ((πβ(π΄πΊ(-iππ΅)))β2)))) / 4)) |