MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipval2 29691
Description: Expansion of the inner product value ipval 29687. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
dipfval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipval2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 dipfval.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 dipfval.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 dipfval.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipfval.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval 29687 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) / 4))
7 ax-icn 11115 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29690 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
97, 8mpan2 690 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
10 mulcl 11140 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
117, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
12 neg1cn 12272 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29690 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1412, 13mpan2 690 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1511, 14subcld 11517 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
16 negicn 11407 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29690 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1816, 17mpan2 690 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
19 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
207, 18, 19sylancr 588 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
2115, 20negsubd 11523 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
2214mulm1d 11612 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))
2322oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
2411, 14negsubd 11523 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
2523, 24eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
26 mulneg1 11596 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) = -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
277, 18, 26sylancr 588 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) = -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
2825, 27oveq12d 7376 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
29 subdi 11593 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
307, 29mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
319, 18, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3231oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
3311, 20, 14sub32d 11549 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3432, 33eqtrd 2773 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3521, 28, 343eqtr4d 2783 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
361, 3nvsid 29611 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
3736oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(1𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺𝐡))
3837fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡)))
3938oveq1d 7373 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
40393adant2 1132 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4140oveq2d 7374 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)) = (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 29689 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ ℝ)
4342recnd 11188 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ β„‚)
4443mulid2d 11178 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4541, 44eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4635, 45oveq12d 7376 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
47 nnuz 12811 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
48 df-4 12223 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
49 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 4 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑4))
50 i4 14114 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
5149, 50eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘˜ = 4 β†’ (iβ†‘π‘˜) = 1)
5251oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 4 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
5352oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 4 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))
5453fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 4 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡))))
5554oveq1d 7373 . . . . . . 7 (π‘˜ = 4 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))
5651, 55oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘˜ = 4 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)))
57 nnnn0 12425 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
58 expcl 13991 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
597, 57, 58sylancr 588 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
6059adantl 483 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29690 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
6259, 61sylan2 594 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
6360, 62mulcld 11180 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
64 df-3 12222 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
65 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 3 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑3))
66 i3 14113 . . . . . . . . 9 (i↑3) = -i
6765, 66eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 3 β†’ (iβ†‘π‘˜) = -i)
6867oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 3 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (-i𝑆𝐡))
6968oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 3 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))
7069fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡))))
7170oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 3 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))
7267, 71oveq12d 7376 . . . . . . 7 (π‘˜ = 3 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
73 df-2 12221 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
74 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 2 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑2))
75 i2 14112 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
7674, 75eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ (iβ†‘π‘˜) = -1)
7776oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 2 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (-1𝑆𝐡))
7877oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 2 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
7978fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
8079oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))
8176, 80oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 2 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
82 1z 12538 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
83 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑1))
84 exp1 13979 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ β„‚ β†’ (i↑1) = i)
857, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑1) = i
8683, 85eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ (iβ†‘π‘˜) = i)
8786oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 1 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (i𝑆𝐡))
8887oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))
8988fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))))
9089oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2))
9186, 90oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
9291fsum1 15637 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„€ ∧ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
9382, 11, 92sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
94 1nn 12169 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
9593, 94jctil 521 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2))))
96 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 15659 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))))
98 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 15659 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (3 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
100 eqidd 2734 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))))
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 15659 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)))))
102101simprd 497 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))))
10343, 14subcld 11517 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
1049, 18subcld 11517 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
105 mulcl 11140 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
1067, 104, 105sylancr 588 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
107103, 106addcomd 11362 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
108106, 14, 43subadd23d 11539 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
109107, 108eqtr4d 2776 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) = (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
11046, 102, 1093eqtr4d 2783 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
111110oveq1d 7373 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) / 4) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
1126, 111eqtrd 2773 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  ...cfz 13430  β†‘cexp 13973  Ξ£csu 15576  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  Β·π‘–OLDcdip 29684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-grpo 29477  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-dip 29685
This theorem is referenced by:  4ipval2  29692  ipval3  29693  ipidsq  29694  dipcj  29698  dip0r  29701
  Copyright terms: Public domain W3C validator