MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipval2 30465
Description: Expansion of the inner product value ipval 30461. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
dipfval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipval2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 dipfval.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 dipfval.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 dipfval.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipfval.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval 30461 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) / 4))
7 ax-icn 11168 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30464 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
97, 8mpan2 688 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
10 mulcl 11193 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
117, 9, 10sylancr 586 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
12 neg1cn 12327 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30464 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1412, 13mpan2 688 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1511, 14subcld 11572 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
16 negicn 11462 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30464 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1816, 17mpan2 688 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
19 mulcl 11193 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
207, 18, 19sylancr 586 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
2115, 20negsubd 11578 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
2214mulm1d 11667 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))
2322oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
2411, 14negsubd 11578 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + -((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
2523, 24eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
26 mulneg1 11651 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) = -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
277, 18, 26sylancr 586 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) = -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
2825, 27oveq12d 7422 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + -(i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
29 subdi 11648 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
307, 29mp3an1 1444 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
319, 18, 30syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3231oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
3311, 20, 14sub32d 11604 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3432, 33eqtrd 2766 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3521, 28, 343eqtr4d 2776 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
361, 3nvsid 30385 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
3736oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(1𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺𝐡))
3837fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡)))
3938oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
40393adant2 1128 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4140oveq2d 7420 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)) = (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 30463 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ ℝ)
4342recnd 11243 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) ∈ β„‚)
4443mullidd 11233 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4541, 44eqtrd 2766 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2))
4635, 45oveq12d 7422 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
47 nnuz 12866 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
48 df-4 12278 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
49 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 4 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑4))
50 i4 14171 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
5149, 50eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (π‘˜ = 4 β†’ (iβ†‘π‘˜) = 1)
5251oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 4 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
5352oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 4 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))
5453fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 4 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡))))
5554oveq1d 7419 . . . . . . 7 (π‘˜ = 4 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))
5651, 55oveq12d 7422 . . . . . 6 (π‘˜ = 4 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)))
57 nnnn0 12480 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
58 expcl 14048 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
597, 57, 58sylancr 586 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
6059adantl 481 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30464 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
6259, 61sylan2 592 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
6360, 62mulcld 11235 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
64 df-3 12277 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
65 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 3 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑3))
66 i3 14170 . . . . . . . . 9 (i↑3) = -i
6765, 66eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 3 β†’ (iβ†‘π‘˜) = -i)
6867oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 3 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (-i𝑆𝐡))
6968oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 3 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))
7069fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡))))
7170oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 3 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))
7267, 71oveq12d 7422 . . . . . . 7 (π‘˜ = 3 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
73 df-2 12276 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
74 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 2 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑2))
75 i2 14169 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
7674, 75eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ (iβ†‘π‘˜) = -1)
7776oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 2 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (-1𝑆𝐡))
7877oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 2 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
7978fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
8079oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))
8176, 80oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 2 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
82 1z 12593 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
83 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ (iβ†‘π‘˜) = (i↑1))
84 exp1 14036 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ β„‚ β†’ (i↑1) = i)
857, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑1) = i
8683, 85eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ (iβ†‘π‘˜) = i)
8786oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 1 β†’ ((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡) = (i𝑆𝐡))
8887oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 1 β†’ (𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))
8988fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡))))
9089oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2))
9186, 90oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1 β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
9291fsum1 15697 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„€ ∧ (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
9382, 11, 92sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)))
94 1nn 12224 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
9593, 94jctil 519 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...1)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2))))
96 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 15719 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...2)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))))
98 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 15719 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (3 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...3)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = (((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
100 eqidd 2727 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))))
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 15719 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 ∈ β„• ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2)))))
102101simprd 495 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2)) + (-1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))) + (-i Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (1 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐡)))↑2))))
10343, 14subcld 11572 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
1049, 18subcld 11572 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
105 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
1067, 104, 105sylancr 586 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
107103, 106addcomd 11417 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
108106, 14, 43subadd23d 11594 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))))
109107, 108eqtr4d 2769 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) = (((i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2)))
11046, 102, 1093eqtr4d 2776 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
111110oveq1d 7419 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝐺((iβ†‘π‘˜)𝑆𝐡)))↑2)) / 4) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
1126, 111eqtrd 2766 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  β„•cn 12213  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  ...cfz 13487  β†‘cexp 14030  Ξ£csu 15636  NrmCVeccnv 30342   +𝑣 cpv 30343  BaseSetcba 30344   ·𝑠OLD cns 30345  normCVcnmcv 30348  Β·π‘–OLDcdip 30458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-grpo 30251  df-ablo 30303  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-nmcv 30358  df-dip 30459
This theorem is referenced by:  4ipval2  30466  ipval3  30467  ipidsq  30468  dipcj  30472  dip0r  30475
  Copyright terms: Public domain W3C validator