Theorem 2nn0 12627

Description: 2 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
2nn0	⊢ 2 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12420	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	nnnn0i 12618	1 ⊢ 2 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611

This theorem is used by:  nn0n0n1ge2  12678  12nn0  12835  25nn0  12837  7p6e13  12901  8p3e11  12904  8p5e13  12906  9p3e12  12911  9p4e13  12912  4t3e12  12921  4t4e16  12922  5t3e15  12924  5t5e25  12926  6t3e18  12928  6t5e30  12930  7t3e21  12933  7t4e28  12934  7t5e35  12935  7t6e42  12936  7t7e49  12937  8t3e24  12939  8t4e32  12940  8t5e40  12941  9t3e27  12946  9t4e36  12947  9t8e72  12951  9t9e81  12952  2lt10  12962  decbin3  12967  2eluzge0  13012  xnn0le2is012  13380  fzo0to42pr  13892  fvf1tp  13933  nn0sqcl  14236  sqmul  14266  resqcl  14271  zsqcl  14276  cu2  14347  exp4sqsq  14348  i3  14351  i4  14352  binom3  14372  expmulnbnd  14383  nn0opthlem1  14416  fac3  14428  faclbnd2  14439  faclbnd4lem1  14441  faclbnd4lem3  14443  hash2pr  14618  hashtplei  14633  tpf1ofv2  14647  tpfo  14649  s4fv2  15054  pfx2  15104  repsw3  15110  swrd2lsw  15111  2swrd2eqwrdeq  15112  abssq  15479  sqabs  15480  iseraltlem2  15856  iseraltlem3  15857  bpoly2  16229  bpoly3  16230  bpoly4  16231  fsumcube  16232  ef4p  16287  efgt1p2  16288  efi4p  16311  ef01bndlem  16358  cos01bnd  16360  oexpneg  16521  oddge22np1  16525  bitsinv2  16619  bitsf1ocnv  16620  sadcaddlem  16633  sadadd2lem  16635  pythagtriplem4  17003  iserodd  17019  oddprmdvds  17087  prmreclem2  17101  prmreclem6  17105  vdwlem7  17171  vdwlem10  17174  vdwlem12  17176  dec2dvds  17247  dec5dvds  17248  2exp4  17268  2exp5  17269  2exp6  17270  2exp7  17271  2exp8  17272  2exp11  17273  2exp16  17274  3exp3  17275  2expltfac  17276  5prm  17292  7prm  17294  11prm  17299  13prm  17300  17prm  17301  19prm  17302  23prm  17303  prmlem2  17304  37prm  17305  43prm  17306  83prm  17307  139prm  17308  163prm  17309  317prm  17310  631prm  17311  1259lem1  17315  1259lem2  17316  1259lem3  17317  1259lem4  17318  1259lem5  17319  1259prm  17320  2503lem1  17321  2503lem2  17322  2503lem3  17323  2503prm  17324  4001lem1  17325  4001lem2  17326  4001lem3  17327  4001lem4  17328  4001prm  17329  basendxltdsndx  17565  dsndxnplusgndx  17567  dsndxnmulrndx  17568  slotsdnscsi  17569  dsndxntsetndx  17570  slotsdifdsndx  17571  slotsdifunifndx  17578  prdsvalstr  17629  smndex2dbas  19119  smndex2dlinvh  19122  pmtrprfval  19707  psgnunilem2  19715  efgredleme  19963  lt6abl  20115  cnfldstr  21686  sqcn  25201  ehl2eudis  25749  dveflem  26305  iaa  26657  iaaOLD  26658  tangtx  26840  efif1olem3  26878  efif1olem4  26879  root1id  27088  2logb9irr  27129  mcubic  27181  cubic2  27182  cubic  27183  binom4  27184  dquartlem2  27186  dquart  27187  quart1lem  27189  quart1  27190  quartlem1  27191  quartlem2  27192  atandmcj  27243  bndatandm  27263  atansopn  27266  atantayl3  27273  leibpilem2  27275  leibpi  27276  leibpisum  27277  log2cnv  27278  log2tlbnd  27279  log2ublem2  27281  log2ublem3  27282  log2ub  27283  log2le1  27284  birthday  27288  basellem3  27416  basellem4  27417  basellem5  27418  basellem8  27421  issqf  27469  ppi3  27504  ppiublem2  27536  chtublem  27544  mersenne  27560  bcmax  27611  bcp1ctr  27612  bclbnd  27613  bpos1  27616  bposlem6  27622  bposlem8  27624  lgslem1  27630  lgsqrlem2  27680  gausslemma2dlem6  27705  lgseisenlem4  27711  2lgslem1c  27726  2lgslem3a  27729  2lgslem3b  27730  2lgslem3c  27731  2lgslem3d  27732  2sq2  27766  2sqreultlem  27780  2sqreunnltlem  27783  chebbnd1lem3  27804  rplogsumlem2  27818  dchrisumlem2  27823  dchrisum0flblem1  27841  dchrisum0flblem2  27842  dchrisum0flb  27843  selberglem2  27879  pntrmax  27897  pntlemo  27940  fltoprmlem2  28000  slotsinbpsd  28909  slotslnbpsd  28910  trkgstr  28912  eengstr  29564  usgrexmplef  29846  upgr2wlk  30253  usgr2pthlem  30355  usgr2pth  30356  wpthswwlks2on  30559  elwspths2spth  30565  upgr3v3e3cycl  30787  upgr4cycl4dv4e  30792  konigsbergiedgw  30855  konigsberglem1  30859  konigsberglem2  30860  konigsberglem3  30861  clwlknon2num  30975  1kp2ke3k  31053  ex-mod  31056  ex-exp  31057  ex-fac  31058  9p10ne21  31077  ipidsq  31318  strlem3a  32860  xnn01gt  33409  expevenpos  33473  dpmul4  33527  pfxlsw2ccat  33560  wrdt2ind  33563  eufndx  33901  eufid  33902  evl1deg2  34156  evl1deg3  34157  fldext2rspun  34361  rtelextdg2lem  34405  rtelextdg2  34406  constrelextdg2  34426  2sqr3minply  34459  cos9thpiminplylem1  34461  cos9thpiminplylem2  34462  cos9thpiminplylem4  34464  cos9thpiminplylem5  34465  cos9thpinconstrlem1  34468  madjusmdetlem4  34509  coinflippv  35163  prodfzo03  35279  hgt750lemd  35324  hgt750lem  35327  hgt750lem2  35328  hgt750leme  35334  tgoldbachgnn  35335  tgoldbachgtde  35336  tgoldbachgt  35339  cusgredgex  35983  kur14lem8  36065  sinccvglem  36524  dvtan  38682  420gcd8e4  43150  12lcm5e60  43152  60lcm7e420  43154  lcmineqlem17  43189  lcmineqlem18  43190  lcmineqlem20  43192  lcmineqlem21  43193  lcmineqlem22  43194  lcmineqlem  43196  3exp7  43197  3lexlogpow5ineq1  43198  3lexlogpow5ineq2  43199  3lexlogpow2ineq1  43202  3lexlogpow2ineq2  43203  3lexlogpow5ineq5  43204  aks4d1p1p2  43214  aks4d1p1p7  43218  aks4d1p1p5  43219  aks4d1p1  43220  2np3bcnp1  43288  2ap1caineq  43289  aks6d1c7lem1  43324  25or6to4  43350  sqn5i  43436  235t711  43456  ex-decpmul  43457  nicomachus  43463  dffltz  43764  sum9cubes  43777  3cubeslem2  43789  3cubeslem3l  43790  3cubeslem3r  43791  diophin  43877  irrapxlem5  43927  pellexlem2  43931  pell1qrge1  43971  jm2.22  44096  jm2.20nn  44098  jm2.27c  44108  rmydioph  44115  rmxdioph  44117  expdiophlem2  44123  frlmpwfi  44194  isnumbasgrplem3  44201  resqrtvalex  44739  imsqrtvalex  44740  amgm2d  45292  dvdivbd  47027  itgsinexplem1  47058  itgsinexp  47059  stoweidlem1  47105  wallispilem4  47172  wallispilem5  47173  wallispi2lem2  47176  stirlinglem3  47180  stirlinglem5  47182  stirlinglem7  47184  stirlinglem8  47185  stirlinglem10  47187  stirlinglem11  47188  hoiqssbllem2  47727  sqrtnnaa  48007  sqrtnzqaa  48008  sin3t  48011  cos3t  48012  sin5tlem1  48013  sin5tlem2  48014  sin5tlem4  48016  goldpolyfactor  48021  sqrtnpoly  48037  fmtnoge3  48709  fmtnom1nn  48711  fmtnof1  48714  fmtnorec1  48716  sqrtpwpw2p  48717  fmtnosqrt  48718  fmtnorec2lem  48721  fmtnodvds  48723  fmtnorec3  48727  fmtnorec4  48728  fmtno2  48729  fmtno3  48730  fmtno5lem2  48733  fmtno5lem4  48735  fmtno5  48736  257prm  48740  odz2prm2pw  48742  fmtnoprmfac1lem  48743  fmtnoprmfac2lem1  48745  fmtnofac2lem  48747  fmtnofac2  48748  fmtnofac1  48749  fmtno4prmfac  48751  fmtno4nprmfac193  48753  fmtno4prm  48754  fmtno5faclem1  48758  fmtno5faclem2  48759  fmtno5faclem3  48760  fmtno5fac  48761  flsqrt  48772  139prmALT  48775  31prm  48776  m5prm  48777  127prm  48778  m7prm  48779  m11nprm  48780  sfprmdvdsmersenne  48782  lighneallem2  48785  lighneallem3  48786  lighneallem4a  48787  proththd  48793  3exp4mod41  48795  41prothprmlem1  48796  oexpnegALTV  48869  fppr2odd  48923  2exp340mod341  48925  341fppr2  48926  8exp8mod9  48928  nfermltl2rev  48935  evengpoap3  48991  tgblthelfgott  49007  tgoldbachlt  49008  tgoldbach  49009  cycl3grtri  49139  usgrexmpl1lem  49213  usgrexmpl2lem  49218  gpg3nbgrvtx0  49268  gpgprismgr4cycllem7  49293  gpgprismgr4cycllem10  49296  gpg5edgnedg  49322  pgrple2abl  49571  pgrpgt2nabl  49572  ply1mulgsumlem2  49593  logbpw2m1  49773  blenpw2m1  49785  dignn0ehalf  49823  nn0sumshdiglemA  49825  nn0sumshdiglemB  49826  nn0mullong  49831  2aryfvalel  49853  itcoval2  49870  itcoval3  49871  itcovalt2lem2lem2  49880  itcovalt2lem1  49881  ackval2  49888  ackval3  49889  ackval0012  49895  ackval1012  49896  ackval2012  49897  ackval3012  49898  ackval42  49902  prelrrx2bd  49920  2sphere  49955  itscnhlinecirc02plem3  49990  inlinecirc02p  49993  onetansqsecsq  51023  cotsqcscsq  51024