Theorem 2nn0 12545

Description: 2 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
2nn0	⊢ 2 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12338	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	nnnn0i 12536	1 ⊢ 2 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529

This theorem is used by:  nn0n0n1ge2  12596  12nn0  12753  25nn0  12755  7p6e13  12819  8p3e11  12822  8p5e13  12824  9p3e12  12829  9p4e13  12830  4t3e12  12839  4t4e16  12840  5t3e15  12842  5t5e25  12844  6t3e18  12846  6t5e30  12848  7t3e21  12851  7t4e28  12852  7t5e35  12853  7t6e42  12854  7t7e49  12855  8t3e24  12857  8t4e32  12858  8t5e40  12859  9t3e27  12864  9t4e36  12865  9t8e72  12869  9t9e81  12870  2lt10  12880  decbin3  12885  2eluzge0  12930  xnn0le2is012  13298  fzo0to42pr  13809  fvf1tp  13850  nn0sqcl  14153  sqmul  14183  resqcl  14188  zsqcl  14193  cu2  14264  i3  14267  i4  14268  binom3  14288  expmulnbnd  14299  nn0opthlem1  14332  fac3  14344  faclbnd2  14355  faclbnd4lem1  14357  faclbnd4lem3  14359  hash2pr  14534  hashtplei  14549  tpf1ofv2  14563  tpfo  14565  s4fv2  14968  pfx2  15018  repsw3  15024  swrd2lsw  15025  2swrd2eqwrdeq  15026  abssq  15393  sqabs  15394  iseraltlem2  15770  iseraltlem3  15771  bpoly2  16143  bpoly3  16144  bpoly4  16145  fsumcube  16146  ef4p  16201  efgt1p2  16202  efi4p  16225  ef01bndlem  16272  cos01bnd  16274  oexpneg  16435  oddge22np1  16439  bitsinv2  16533  bitsf1ocnv  16534  sadcaddlem  16547  sadadd2lem  16549  pythagtriplem4  16911  iserodd  16927  oddprmdvds  16995  prmreclem2  17009  prmreclem6  17013  vdwlem7  17079  vdwlem10  17082  vdwlem12  17084  dec2dvds  17155  dec5dvds  17156  2exp4  17176  2exp5  17177  2exp6  17178  2exp7  17179  2exp8  17180  2exp11  17181  2exp16  17182  3exp3  17183  2expltfac  17184  5prm  17200  7prm  17202  11prm  17207  13prm  17208  17prm  17209  19prm  17210  23prm  17211  prmlem2  17212  37prm  17213  43prm  17214  83prm  17215  139prm  17216  163prm  17217  317prm  17218  631prm  17219  1259lem1  17223  1259lem2  17224  1259lem3  17225  1259lem4  17226  1259lem5  17227  1259prm  17228  2503lem1  17229  2503lem2  17230  2503lem3  17231  2503prm  17232  4001lem1  17233  4001lem2  17234  4001lem3  17235  4001lem4  17236  4001prm  17237  basendxltdsndx  17473  dsndxnplusgndx  17475  dsndxnmulrndx  17476  slotsdnscsi  17477  dsndxntsetndx  17478  slotsdifdsndx  17479  slotsdifunifndx  17486  prdsvalstr  17537  smndex2dbas  19026  smndex2dlinvh  19029  pmtrprfval  19614  psgnunilem2  19622  efgredleme  19870  lt6abl  20022  cnfldstr  21587  sqcn  25102  ehl2eudis  25650  dveflem  26206  iaa  26560  iaaOLD  26561  tangtx  26743  efif1olem3  26781  efif1olem4  26782  root1id  26991  2logb9irr  27032  mcubic  27084  cubic2  27085  cubic  27086  binom4  27087  dquartlem2  27089  dquart  27090  quart1lem  27092  quart1  27093  quartlem1  27094  quartlem2  27095  atandmcj  27146  bndatandm  27166  atansopn  27169  atantayl3  27176  leibpilem2  27178  leibpi  27179  leibpisum  27180  log2cnv  27181  log2tlbnd  27182  log2ublem2  27184  log2ublem3  27185  log2ub  27186  log2le1  27187  birthday  27191  basellem3  27319  basellem4  27320  basellem5  27321  basellem8  27324  issqf  27372  ppi3  27407  ppiublem2  27439  chtublem  27447  mersenne  27463  bcmax  27514  bcp1ctr  27515  bclbnd  27516  bpos1  27519  bposlem6  27525  bposlem8  27527  lgslem1  27533  lgsqrlem2  27583  gausslemma2dlem6  27608  lgseisenlem4  27614  2lgslem1c  27629  2lgslem3a  27632  2lgslem3b  27633  2lgslem3c  27634  2lgslem3d  27635  2sq2  27669  2sqreultlem  27683  2sqreunnltlem  27686  chebbnd1lem3  27707  rplogsumlem2  27721  dchrisumlem2  27726  dchrisum0flblem1  27744  dchrisum0flblem2  27745  dchrisum0flb  27746  selberglem2  27782  pntrmax  27800  pntlemo  27843  slotsinbpsd  28782  slotslnbpsd  28783  trkgstr  28785  eengstr  29437  usgrexmplef  29719  upgr2wlk  30126  usgr2pthlem  30228  usgr2pth  30229  wpthswwlks2on  30432  elwspths2spth  30438  upgr3v3e3cycl  30660  upgr4cycl4dv4e  30665  konigsbergiedgw  30728  konigsberglem1  30732  konigsberglem2  30733  konigsberglem3  30734  clwlknon2num  30848  1kp2ke3k  30926  ex-mod  30929  ex-exp  30930  ex-fac  30931  9p10ne21  30950  ipidsq  31191  strlem3a  32733  xnn01gt  33241  expevenpos  33305  dpmul4  33359  pfxlsw2ccat  33392  wrdt2ind  33395  eufndx  33733  eufid  33734  evl1deg2  33987  evl1deg3  33988  fldext2rspun  34192  rtelextdg2lem  34236  rtelextdg2  34237  constrelextdg2  34257  2sqr3minply  34290  cos9thpiminplylem1  34292  cos9thpiminplylem2  34293  cos9thpiminplylem4  34295  cos9thpiminplylem5  34296  cos9thpinconstrlem1  34299  madjusmdetlem4  34340  coinflippv  34995  prodfzo03  35111  hgt750lemd  35156  hgt750lem  35159  hgt750lem2  35160  hgt750leme  35166  tgoldbachgnn  35167  tgoldbachgtde  35168  tgoldbachgt  35171  cusgredgex  35720  kur14lem8  35792  sinccvglem  36251  dvtan  38419  420gcd8e4  42872  12lcm5e60  42874  60lcm7e420  42876  lcmineqlem17  42911  lcmineqlem18  42912  lcmineqlem20  42914  lcmineqlem21  42915  lcmineqlem22  42916  lcmineqlem  42918  3exp7  42919  3lexlogpow5ineq1  42920  3lexlogpow5ineq2  42921  3lexlogpow2ineq1  42924  3lexlogpow2ineq2  42925  3lexlogpow5ineq5  42926  aks4d1p1p2  42936  aks4d1p1p7  42940  aks4d1p1p5  42941  aks4d1p1  42942  2np3bcnp1  43010  2ap1caineq  43011  aks6d1c7lem1  43046  25or6to4  43072  sqn5i  43160  235t711  43180  ex-decpmul  43181  nicomachus  43187  dffltz  43480  flt4lem  43491  flt4lem3  43494  flt4lem7  43505  nna4b4nsq  43506  sum9cubes  43518  3cubeslem2  43530  3cubeslem3l  43531  3cubeslem3r  43532  diophin  43617  irrapxlem5  43667  pellexlem2  43671  pell1qrge1  43711  jm2.22  43836  jm2.20nn  43838  jm2.27c  43848  rmydioph  43855  rmxdioph  43857  expdiophlem2  43863  frlmpwfi  43939  isnumbasgrplem3  43946  resqrtvalex  44485  imsqrtvalex  44486  amgm2d  45038  dvdivbd  46751  itgsinexplem1  46782  itgsinexp  46783  stoweidlem1  46829  wallispilem4  46896  wallispilem5  46897  wallispi2lem2  46900  stirlinglem3  46904  stirlinglem5  46906  stirlinglem7  46908  stirlinglem8  46909  stirlinglem10  46911  stirlinglem11  46912  hoiqssbllem2  47451  sqrtnnaa  47731  sqrtnzqaa  47732  sin3t  47735  cos3t  47736  sin5tlem1  47737  sin5tlem2  47738  sin5tlem4  47740  goldpolyfactor  47745  sqrtnpoly  47761  fmtnoge3  48433  fmtnom1nn  48435  fmtnof1  48438  fmtnorec1  48440  sqrtpwpw2p  48441  fmtnosqrt  48442  fmtnorec2lem  48445  fmtnodvds  48447  fmtnorec3  48451  fmtnorec4  48452  fmtno2  48453  fmtno3  48454  fmtno5lem2  48457  fmtno5lem4  48459  fmtno5  48460  257prm  48464  odz2prm2pw  48466  fmtnoprmfac1lem  48467  fmtnoprmfac2lem1  48469  fmtnofac2lem  48471  fmtnofac2  48472  fmtnofac1  48473  fmtno4prmfac  48475  fmtno4nprmfac193  48477  fmtno4prm  48478  fmtno5faclem1  48482  fmtno5faclem2  48483  fmtno5faclem3  48484  fmtno5fac  48485  flsqrt  48496  139prmALT  48499  31prm  48500  m5prm  48501  127prm  48502  m7prm  48503  m11nprm  48504  sfprmdvdsmersenne  48506  lighneallem2  48509  lighneallem3  48510  lighneallem4a  48511  proththd  48517  3exp4mod41  48519  41prothprmlem1  48520  oexpnegALTV  48593  fppr2odd  48647  2exp340mod341  48649  341fppr2  48650  8exp8mod9  48652  nfermltl2rev  48659  evengpoap3  48715  tgblthelfgott  48731  tgoldbachlt  48732  tgoldbach  48733  cycl3grtri  48863  usgrexmpl1lem  48937  usgrexmpl2lem  48942  gpg3nbgrvtx0  48992  gpgprismgr4cycllem7  49017  gpgprismgr4cycllem10  49020  gpg5edgnedg  49046  pgrple2abl  49295  pgrpgt2nabl  49296  ply1mulgsumlem2  49317  logbpw2m1  49497  blenpw2m1  49509  dignn0ehalf  49547  nn0sumshdiglemA  49549  nn0sumshdiglemB  49550  nn0mullong  49555  2aryfvalel  49577  itcoval2  49594  itcoval3  49595  itcovalt2lem2lem2  49604  itcovalt2lem1  49605  ackval2  49612  ackval3  49613  ackval0012  49619  ackval1012  49620  ackval2012  49621  ackval3012  49622  ackval42  49626  2sphere  49679  itscnhlinecirc02plem3  49714  inlinecirc02p  49717  onetansqsecsq  50687  cotsqcscsq  50688