Theorem indstrd 42845

Description: Strong induction, deduction version. (Contributed by Steven Nguyen, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstrd.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
indstrd.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
indstrd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
indstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
indstrd	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜓,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem indstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
3		indstrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	2, 3	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
6		indstrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	6	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
8		bi2.04 391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
9	8	ralbii 3117	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
10		r19.21v 3196	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
11	9, 10	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
12		indstrd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
13	12	3com12 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
14	13	3exp 1135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒) → 𝜓)))
15	14	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
16	11, 15	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
17	7, 16	indstr 12936	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜓))
18	17	com12 33	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ → 𝜓))
19	1, 5, 18	vtocld 3536	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃))
20	1, 19	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   class class class wbr 5110   < clt 11239  ℕcn 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859

This theorem is referenced by: (None)