Theorem indstrd 42211

Description: Strong induction, deduction version. (Contributed by Steven Nguyen, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstrd.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
indstrd.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
indstrd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
indstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
indstrd	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜓,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem indstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		eleq1 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
3		indstrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
6		indstrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
8		bi2.04 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
9	8	ralbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
10		r19.21v 3166	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
12		indstrd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
13	12	3com12 1123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
14	13	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒) → 𝜓)))
15	14	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
16	11, 15	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
17	7, 16	indstr 12937	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜓))
18	17	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ → 𝜓))
19	1, 5, 18	vtocld 3545	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃))
20	1, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   class class class wbr 5124   < clt 11274  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by: (None)