Theorem indstrd 42309

Description: Strong induction, deduction version. (Contributed by Steven Nguyen, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstrd.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
indstrd.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
indstrd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
indstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
indstrd	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜓,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem indstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
3		indstrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
6		indstrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
8		bi2.04 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
9	8	ralbii 3079	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
10		r19.21v 3158	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
12		indstrd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
13	12	3com12 1123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
14	13	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒) → 𝜓)))
15	14	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
16	11, 15	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
17	7, 16	indstr 12818	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜓))
18	17	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ → 𝜓))
19	1, 5, 18	vtocld 3515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃))
20	1, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   class class class wbr 5095   < clt 11155  ℕcn 12134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741

This theorem is referenced by: (None)