Theorem indstrd 42175

Description: Strong induction, deduction version. (Contributed by Steven Nguyen, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstrd.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
indstrd.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
indstrd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
indstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
indstrd	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜓,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem indstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
3		indstrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
6		indstrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
8		bi2.04 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
9	8	ralbii 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
10		r19.21v 3178	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
12		indstrd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
13	12	3com12 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
14	13	3exp 1118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒) → 𝜓)))
15	14	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
16	11, 15	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
17	7, 16	indstr 12956	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜓))
18	17	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ → 𝜓))
19	1, 5, 18	vtocld 3561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃))
20	1, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148   < clt 11293  ℕcn 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by: (None)