Theorem indstrd 42150

Description: Strong induction, deduction version. (Contributed by Steven Nguyen, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstrd.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
indstrd.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
indstrd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
indstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
indstrd	⊢ (𝜑 → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜓,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem indstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
3		indstrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℕ → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)))
6		indstrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	6	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
8		bi2.04 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
9	8	ralbii 3099	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
10		r19.21v 3186	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜑 → (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)))
12		indstrd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
13	12	3com12 1123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → 𝜓)
14	13	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒) → 𝜓)))
15	14	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
16	11, 15	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → (𝜑 → 𝜒)) → (𝜑 → 𝜓)))
17	7, 16	indstr 12981	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝜑 → 𝜓))
18	17	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ → 𝜓))
19	1, 5, 18	vtocld 3573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃))
20	1, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166   < clt 11324  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by: (None)