Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks5lem6 42194
Description: Connect results of section 5 and Theorem 6.1 AKS. (Contributed by metakunt, 25-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lem6.1 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks5lem6.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem6.3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks5lem6.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks5lem6.5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks5lem6.6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks5lem6.7 (𝜑𝑃𝑁)
aks5lem6.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5lem6.9 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5lem6.10 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
aks5lem6.11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks5lem6.12 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem6.13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks5lem6.14 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem6.15 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g𝑆)(1r𝑆))})
aks5lem6.16 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem6.17 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
Assertion
Ref Expression
aks5lem6 (𝜑𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐴,𝑎,𝑒,𝑓,𝑦   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐾,𝑎,𝑒,𝑓,𝑦   𝐾,𝑏   𝑥,𝐾   𝑒,𝐿,𝑦   𝑀,𝑎,𝑦   𝑀,𝑏   𝑥,𝑀   𝑁,𝑎,𝑒,𝑓,𝑦   𝑁,𝑏   𝑥,𝑁   𝑃,𝑎,𝑒,𝑓,𝑦   𝑃,𝑏   𝑥,𝑃   𝑅,𝑎,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝑆,𝑒,𝑦   𝜑,𝑎,𝑦   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑓,𝑎,𝑏)   𝑀(𝑒,𝑓)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aks5lem6
StepHypRef Expression
1 aks5lem6.1 . 2 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
2 aks5lem6.2 . 2 𝑃 = (chr‘𝐾)
3 aks5lem6.3 . 2 (𝜑𝐾 ∈ Field)
4 aks5lem6.4 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 aks5lem6.5 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
6 aks5lem6.6 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
7 aks5lem6.7 . 2 (𝜑𝑃𝑁)
8 aks5lem6.8 . 2 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
9 aks5lem6.9 . 2 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
10 aks5lem6.10 . 2 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
11 aks5lem6.11 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
12 aks5lem6.12 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
13 aks5lem6.13 . 2 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
14 eluzelz 12889 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
156, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
16 0red 11265 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
17 3re 12347 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
1915zred 12724 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
20 3pos 12372 . . . . . . . 8 0 < 3
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 3)
22 eluzle 12892 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
236, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
2416, 18, 19, 21, 23ltletrd 11422 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑁)
2515, 24jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
26 elnnz 12625 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
2725, 26sylibr 234 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
284, 27, 73jca 1128 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝑁))
29 eqid 2736 . . 3 (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿)) = (𝑆 /s (𝑆 ~QG 𝐿))
30 aks5lem6.15 . . 3 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g𝑆)(1r𝑆))})
31 aks5lem6.14 . . 3 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
32 aks5lem6.17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
33 aks5lem6.16 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
3433eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑋
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑋)
3635oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → ((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)) = (𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))
3736oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))))
3837eceq1d 8786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿))
39 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
40 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑋𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
4140imbi2i 336 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = 𝑋) ↔ (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4235, 41mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
4342oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4443oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))
4544eceq1d 8786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
4638, 39, 453eqtrd 2780 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) ∧ [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)) → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
4746ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (1...𝐴)) → ([(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿) → [(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)))
4847ralimdva 3166 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿)))
4932, 48mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))((var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
503, 2, 28, 29, 30, 5, 1, 31, 49aks5lem5a 42193 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 50aks6d1c7 42186 1 (𝜑𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  {csn 4625   class class class wbr 5142  {copab 5204  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  cfl 13831  cexp 14103  csqrt 15273  cdvds 16291   gcd cgcd 16532  cprime 16709  odcodz 16801  ϕcphi 16802   pCnt cpc 16875  Basecbs 17248  +gcplusg 17298   /s cqus 17551  -gcsg 18954  .gcmg 19086   ~QG cqg 19141  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179   RingIso crs 20471  Fieldcfield 20731  RSpancrsp 21218  ℤRHomczrh 21511  chrcchr 21513  ℤ/nczn 21514  var1cv1 22178  Poly1cpl1 22179  eval1ce1 22319   logb clogb 26808   PrimRoots cprimroots 42093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-prod 15941  df-fallfac 16044  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-odz 16803  df-phi 16804  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-pws 17495  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-rim 20474  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-idom 20697  df-drng 20732  df-field 20733  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-chr 21517  df-zn 21518  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171  df-uc1p 26172  df-q1p 26173  df-r1p 26174  df-log 26599  df-cxp 26600  df-logb 26809  df-primroots 42094
This theorem is referenced by:  aks5lem7  42202
  Copyright terms: Public domain W3C validator