Theorem grpods 42633

Description: Relate sums of elements of orders and roots of unity. (Contributed by metakunt, 14-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpods.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpods.2	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
grpods.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpods.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
grpods.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
grpods	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))

Distinct variable groups:   𝑥, ↑   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺,𝑚   𝑥,𝐺   𝑘,𝑁,𝑚   𝑥,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐵(𝑚)   ↑ (𝑘,𝑚)

Proof of Theorem grpods

Dummy variables 𝑑 𝑙 𝑦 𝑖 𝑤 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ↑ 𝑥) = (𝑁 ↑ 𝑦))
2	1	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)))
3	2	elrab 3634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)))
4	3	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)))
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)))
6		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → 𝜑)
7		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	6, 7	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
10		grpods.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Grp)
12		grpmnd 18916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Mnd)
14		grpods.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15	6, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		grpods.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
19		grpods.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	17, 18, 19, 20	oddvdsnn0 19519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)))
22	13, 7, 16, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → (((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)))
23	9, 22	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁)
24	8, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁))
25		breq1 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = ((od‘𝐺)‘𝑦) → (𝑚 ∥ 𝑁 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁))
26		1zzd 12558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
27	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		dvdszrcl 16226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁 → (((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
30	29	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁 → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ)
32	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 𝐺 ∈ Grp)
33		grpods.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
34	33	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 𝐵 ∈ Fin)
35		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36	17, 18	odcl2 19540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℕ)
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℕ)
38	37	nnge1d 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 1 ≤ ((od‘𝐺)‘𝑦))
39	31, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → (((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
40		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁)
41		dvdsle 16279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁 → ((od‘𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑁))
42	41	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑁)
43	39, 40, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ≤ 𝑁)
44	26, 28, 31, 38, 43	elfzd 13469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ (1...𝑁))
45	25, 44, 40	elrabd 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁})
46		fveqeq2 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘𝐺)‘𝑦) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑦) = ((od‘𝐺)‘𝑦)))
47		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = ((od‘𝐺)‘𝑦))
48	46, 35, 47	elrabd 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘𝐺)‘𝑦)})
49		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((od‘𝐺)‘𝑦) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘𝐺)‘𝑦)))
50	49	rabbidv 3396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((od‘𝐺)‘𝑦) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘𝐺)‘𝑦)})
51	50	eliuni 4939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘𝐺)‘𝑦)}) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
52	45, 48, 51	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝑁) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
53	24, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
54	53	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
55	54	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
56	5, 55	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
57	56	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} → 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
58		eliun 4937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ↔ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
59	58	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} → ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
60	59	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) → ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
61		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → 𝜑)
62		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁})
63	61, 62	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}))
64		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙})
65	63, 64	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}))
66		elrabi 3630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙} → 𝑦 ∈ 𝐵)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → 𝑦 ∈ 𝐵)
68		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → 𝜑)
69		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑚 ∥ 𝑁 ↔ 𝑙 ∥ 𝑁))
70	69	elrab 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} ↔ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁))
71	70	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁))
74	68, 73	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → (𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)))
75		fveqeq2 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙))
76	75	elrab 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙))
77	76	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙} → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙))
79	74, 78	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)))
80		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → 𝜑)
81		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) → 𝑙 ∥ 𝑁)
82		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → 𝑙 ∈ ℤ)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁) → 𝑙 ∈ ℤ)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) → 𝑙 ∈ ℤ)
85	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
86	85	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		divides 16223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑙 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑙 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁))
88	84, 86, 87	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) → (𝑙 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁))
89	81, 88	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) → ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁)
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁)
91	80, 90	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → (𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁))
92		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙))
93	91, 92	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → ((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)))
94		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑑 · 𝑙) = 𝑁 → ((𝑑 · 𝑙) ↑ 𝑦) = (𝑁 ↑ 𝑦))
95	94	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑 · 𝑙) = 𝑁 → (𝑁 ↑ 𝑦) = ((𝑑 · 𝑙) ↑ 𝑦))
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁) → (𝑁 ↑ 𝑦) = ((𝑑 · 𝑙) ↑ 𝑦))
97		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)
98	97	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 · ((od‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑑 · 𝑙))
99	98	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 · 𝑙) = (𝑑 · ((od‘𝐺)‘𝑦)))
100	99	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((𝑑 · 𝑙) ↑ 𝑦) = ((𝑑 · ((od‘𝐺)‘𝑦)) ↑ 𝑦))
101		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝜑)
102		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
103	101, 102	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
104		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℤ)
105	103, 104	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ))
106	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
107		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℤ)
108	17, 18	odcl 19511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℕ0)
109	108	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℕ0)
110	109	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ)
111		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
112	107, 110, 111	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
113	17, 19	mulgass 19087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑑 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑑 · ((od‘𝐺)‘𝑦)) ↑ 𝑦) = (𝑑 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑦) ↑ 𝑦)))
114	106, 112, 113	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((𝑑 · ((od‘𝐺)‘𝑦)) ↑ 𝑦) = (𝑑 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑦) ↑ 𝑦)))
115	17, 18, 19, 20	odid 19513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (((od‘𝐺)‘𝑦) ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
116	111, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝑦) ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
117	116	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑦) ↑ 𝑦)) = (𝑑 ↑ (0g‘𝐺)))
118	17, 19, 20	mulgz 19078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
119	106, 107, 118	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
120	117, 119	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 ↑ (((od‘𝐺)‘𝑦) ↑ 𝑦)) = (0g‘𝐺))
121	114, 120	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((𝑑 · ((od‘𝐺)‘𝑦)) ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
122	105, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((𝑑 · ((od‘𝐺)‘𝑦)) ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
123	100, 122	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((𝑑 · 𝑙) ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁) → ((𝑑 · 𝑙) ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
125	96, 124	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) ∧ 𝑑 ∈ ℤ) ∧ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁) → (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
126		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑑(𝑐 · 𝑙) = 𝑁
127		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑐(𝑑 · 𝑙) = 𝑁
128		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 · 𝑙) = (𝑑 · 𝑙))
129	128	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐 · 𝑙) = 𝑁 ↔ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁))
130	126, 127, 129	cbvrexw 3280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁 ↔ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁)
131	130	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁 → ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁)
132	131	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) → ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁)
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → ∃𝑑 ∈ ℤ (𝑑 · 𝑙) = 𝑁)
134	125, 133	r19.29a 3145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ (𝑐 · 𝑙) = 𝑁) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
135	93, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑙 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = 𝑙)) → (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
136	79, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → (𝑁 ↑ 𝑦) = (0g‘𝐺))
137	2, 67, 136	elrabd 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
138	65, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) ∧ 𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
139		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}
140		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}
141		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙))
142	141	rabbidv 3396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙})
143	142	eleq2d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙}))
144	139, 140, 143	cbvrexw 3280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ↔ ∃𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙})
145	144	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} → ∃𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙})
146	145	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) → ∃𝑙 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑙})
147	138, 146	r19.29a 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
148	147	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
149	148	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) → (∃𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
150	60, 149	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
151	150	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
152	57, 151	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
153	152	eqrdv 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = ∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
154	153	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
155		fzfid 13935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
156		ssrab2 4020	. . . . 5 ⊢ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁)
157	156	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
158	155, 157	ssfid 9179	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
159	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) → 𝐵 ∈ Fin)
160		ssrab2 4020	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵
161	160	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ⊆ 𝐵)
162	159, 161	ssfid 9179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∈ Fin)
163		animorrl 983	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 𝑖 ∨ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅))
164		inrab 4256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖)}
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖)})
166		rabn0 4329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖))
167	166	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖)} ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖))
168		eqtr2 2757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
169	168	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃𝑥 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑖)) → 𝑘 = 𝑖)
170		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑤(((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖)
171		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑖)
172		fveqeq2 6849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑘))
173		fveqeq2 6849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑖))
174	172, 173	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑖)))
175	170, 171, 174	cbvrexw 3280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑖))
176	175	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝑖))
177	169, 176	r19.29a 3145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
178	167, 177	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖)} ≠ ∅ → 𝑘 = 𝑖)
179	178	necon1bi 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖)} = ∅)
180	165, 179	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅)
181	180	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅)
182	181	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 𝑖 ∨ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅))
183	163, 182	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑖 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) → (𝑘 = 𝑖 ∨ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅))
184	183	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}) → ∀𝑖 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} (𝑘 = 𝑖 ∨ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅))
185	184	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}∀𝑖 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} (𝑘 = 𝑖 ∨ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅))
186		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖))
187	186	rabbidv 3396	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖})
188	187	disjor 5067	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁}∀𝑖 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} (𝑘 = 𝑖 ∨ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑖}) = ∅))
189	185, 188	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘})
190	158, 162, 189	hashiun 15785	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = Σ𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}))
191	154, 190	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑚 ∥ 𝑁} (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝑘}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ ciun 4933  Disj wdisj 5052   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  1c1 11039   · cmul 11043   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ♯chash 14292  Σcsu 15648   ∥ cdvds 16221  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  odcod 19499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-od 19503

This theorem is referenced by:  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637