MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intfrac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intfrac2 12951
Description: Decompose a real into integer and fractional parts. TODO - should we replace this with intfrac 12979? (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfrac2.1 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intfrac2.2 𝐹 = (𝐴𝑍)
Assertion
Ref Expression
intfrac2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfrac2
StepHypRef Expression
1 fracge0 12899 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2 intfrac2.2 . . . 4 𝐹 = (𝐴𝑍)
3 intfrac2.1 . . . . 5 𝑍 = (⌊‘𝐴)
43oveq2i 6915 . . . 4 (𝐴𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
52, 4eqtri 2848 . . 3 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
61, 5syl6breqr 4914 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐹)
7 fraclt1 12897 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
85, 7syl5eqbr 4907 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐹 < 1)
92oveq2i 6915 . . 3 (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴𝑍))
10 flcl 12890 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
113, 10syl5eqel 2909 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℤ)
1211zcnd 11810 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℂ)
13 recn 10341 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1412, 13pncan3d 10715 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑍 + (𝐴𝑍)) = 𝐴)
159, 14syl5req 2873 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
166, 8, 153jca 1164 1 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4872  cfv 6122  (class class class)co 6904  cr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   < clt 10390  cle 10391  cmin 10584  cz 11703  cfl 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fl 12887
This theorem is referenced by:  intfracq  12952  fldiv  12953
  Copyright terms: Public domain W3C validator