Theorem intfrac2 13759

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. TODO - should we replace this with intfrac 13787? (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfrac2.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intfrac2.2	⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intfrac2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracge0 13705	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2		intfrac2.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)
3		intfrac2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
4	3	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
5	2, 4	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
6	1, 5	breqtrrdi 5133	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐹)
7		fraclt1 13703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
8	5, 7	eqbrtrid 5126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐹 < 1)
9	2	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴 − 𝑍))
10		flcl 13696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12575	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℂ)
13		recn 11093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	pncan3d 11472	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑍 + (𝐴 − 𝑍)) = 𝐴)
15	9, 14	eqtr2id 2779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
16	6, 8, 15	3jca 1128	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341  ℤcz 12465  ⌊cfl 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fl 13693

This theorem is referenced by:  intfracq  13760  fldiv  13761