Theorem intfrac2 13865

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. TODO - should we replace this with intfrac 13893? (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfrac2.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intfrac2.2	⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intfrac2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracge0 13811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2		intfrac2.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)
3		intfrac2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
4	3	oveq2i 7403	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
5	2, 4	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
6	1, 5	breqtrrdi 5141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐹)
7		fraclt1 13809	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
8	5, 7	eqbrtrid 5134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐹 < 1)
9	2	oveq2i 7403	. . 3 ⊢ (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴 − 𝑍))
10		flcl 13802	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℂ)
13		recn 11160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	pncan3d 11542	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑍 + (𝐴 − 𝑍)) = 𝐴)
15	9, 14	eqtr2id 2809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
16	6, 8, 15	3jca 1140	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℤcz 12565  ⌊cfl 13797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fl 13799

This theorem is referenced by:  intfracq  13866  fldiv  13867