Theorem intfrac2 13882

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. TODO - should we replace this with intfrac 13910? (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfrac2.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intfrac2.2	⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intfrac2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracge0 13828	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2		intfrac2.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)
3		intfrac2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
4	3	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
5	2, 4	eqtri 2788	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
6	1, 5	breqtrrdi 5147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐹)
7		fraclt1 13826	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
8	5, 7	eqbrtrid 5140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐹 < 1)
9	2	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴 − 𝑍))
10		flcl 13819	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrid 2869	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℂ)
13		recn 11178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	pncan3d 11560	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑍 + (𝐴 − 𝑍)) = 𝐴)
15	9, 14	eqtr2id 2813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
16	6, 8, 15	3jca 1144	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℤcz 12582  ⌊cfl 13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fl 13816

This theorem is referenced by:  intfracq  13883  fldiv  13884