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Theorem intfracq 13680
Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 13679. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfracq.1 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
intfracq.2 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
Assertion
Ref Expression
intfracq ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfracq
StepHypRef Expression
1 zre 12424 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3 nnre 12081 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
43adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nnne0 12108 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
72, 4, 6redivcld 11904 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
8 intfracq.1 . . . . 5 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
9 intfracq.2 . . . . 5 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
108, 9intfrac2 13679 . . . 4 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
117, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
1211simp1d 1141 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐹)
13 fraclt1 13623 . . . . . . 7 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
147, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
158oveq2i 7348 . . . . . . . 8 ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
169, 15eqtri 2764 . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18 nncn 12082 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918, 5dividd 11850 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
2114, 17, 203brtr4d 5124 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 < (𝑁 / 𝑁))
22 reflcl 13617 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
237, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
248, 23eqeltrid 2841 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℝ)
257, 24resubcld 11504 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) ∈ ℝ)
269, 25eqeltrid 2841 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ℝ)
27 nngt0 12105 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
283, 27jca 512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
30 ltmuldiv2 11950 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
3126, 4, 29, 30syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
3221, 31mpbird 256 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) < 𝑁)
339oveq2i 7348 . . . . . . 7 (𝑁 · 𝐹) = (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍))
3418adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
357recnd 11104 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
367flcld 13619 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
378, 36eqeltrid 2841 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℤ)
3837zcnd 12528 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℂ)
3934, 35, 38subdid 11532 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
4033, 39eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
41 zcn 12425 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4342, 34, 6divcan2d 11854 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
44 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4543, 44eqeltrd 2837 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
46 nnz 12443 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4746adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4847, 37zmulcld 12533 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑍) ∈ ℤ)
4945, 48zsubcld 12532 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)) ∈ ℤ)
5040, 49eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ)
51 zltlem1 12474 . . . . 5 (((𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
5250, 47, 51syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
5332, 52mpbid 231 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
54 peano2rem 11389 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
553, 54syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5655adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
57 lemuldiv2 11957 . . . 4 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
5826, 56, 29, 57syl3anc 1370 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
5953, 58mpbid 231 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
6011simp3d 1143 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹))
6112, 59, 603jca 1127 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306   / cdiv 11733  cn 12074  cz 12420  cfl 13611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fl 13613
This theorem is referenced by:  fldiv  13681
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