MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intfracq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intfracq 13226
Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 13225. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfracq.1 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
intfracq.2 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
Assertion
Ref Expression
intfracq ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfracq
StepHypRef Expression
1 zre 11977 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3 nnre 11636 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
43adantl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nnne0 11663 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
65adantl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
72, 4, 6redivcld 11461 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
8 intfracq.1 . . . . 5 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
9 intfracq.2 . . . . 5 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
108, 9intfrac2 13225 . . . 4 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
117, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
1211simp1d 1139 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐹)
13 fraclt1 13171 . . . . . . 7 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
147, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
158oveq2i 7150 . . . . . . . 8 ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
169, 15eqtri 2824 . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18 nncn 11637 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918, 5dividd 11407 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
2019adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
2114, 17, 203brtr4d 5065 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 < (𝑁 / 𝑁))
22 reflcl 13165 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
237, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
248, 23eqeltrid 2897 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℝ)
257, 24resubcld 11061 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) ∈ ℝ)
269, 25eqeltrid 2897 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ℝ)
27 nngt0 11660 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
283, 27jca 515 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
2928adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
30 ltmuldiv2 11507 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
3126, 4, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
3221, 31mpbird 260 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) < 𝑁)
339oveq2i 7150 . . . . . . 7 (𝑁 · 𝐹) = (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍))
3418adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
357recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
367flcld 13167 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
378, 36eqeltrid 2897 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℤ)
3837zcnd 12080 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℂ)
3934, 35, 38subdid 11089 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
4033, 39syl5eq 2848 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
41 zcn 11978 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4241adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4342, 34, 6divcan2d 11411 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
44 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4543, 44eqeltrd 2893 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
46 nnz 11996 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4746adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4847, 37zmulcld 12085 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑍) ∈ ℤ)
4945, 48zsubcld 12084 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)) ∈ ℤ)
5040, 49eqeltrd 2893 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ)
51 zltlem1 12027 . . . . 5 (((𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
5250, 47, 51syl2anc 587 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
5332, 52mpbid 235 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
54 peano2rem 10946 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
553, 54syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5655adantl 485 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
57 lemuldiv2 11514 . . . 4 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
5826, 56, 29, 57syl3anc 1368 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
5953, 58mpbid 235 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
6011simp3d 1141 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹))
6112, 59, 603jca 1125 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  cz 11973  cfl 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fl 13161
This theorem is referenced by:  fldiv  13227
  Copyright terms: Public domain W3C validator