MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intfracq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intfracq 13042
Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 13041. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfracq.1 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
intfracq.2 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
Assertion
Ref Expression
intfracq ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfracq
StepHypRef Expression
1 zre 11797 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21adantr 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3 nnre 11447 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
43adantl 474 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nnne0 11474 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
65adantl 474 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
72, 4, 6redivcld 11269 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
8 intfracq.1 . . . . 5 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
9 intfracq.2 . . . . 5 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
108, 9intfrac2 13041 . . . 4 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
117, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
1211simp1d 1122 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐹)
13 fraclt1 12987 . . . . . . 7 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
147, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
158oveq2i 6987 . . . . . . . 8 ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
169, 15eqtri 2802 . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18 nncn 11448 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918, 5dividd 11215 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
2019adantl 474 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
2114, 17, 203brtr4d 4961 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 < (𝑁 / 𝑁))
22 reflcl 12981 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
237, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
248, 23syl5eqel 2870 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℝ)
257, 24resubcld 10869 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) ∈ ℝ)
269, 25syl5eqel 2870 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ℝ)
27 nngt0 11471 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
283, 27jca 504 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
2928adantl 474 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
30 ltmuldiv2 11315 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
3126, 4, 29, 30syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
3221, 31mpbird 249 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) < 𝑁)
339oveq2i 6987 . . . . . . 7 (𝑁 · 𝐹) = (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍))
3418adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
357recnd 10468 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
367flcld 12983 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
378, 36syl5eqel 2870 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℤ)
3837zcnd 11901 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℂ)
3934, 35, 38subdid 10897 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
4033, 39syl5eq 2826 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
41 zcn 11798 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4241adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4342, 34, 6divcan2d 11219 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
44 simpl 475 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4543, 44eqeltrd 2866 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
46 nnz 11817 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4746adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4847, 37zmulcld 11906 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑍) ∈ ℤ)
4945, 48zsubcld 11905 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)) ∈ ℤ)
5040, 49eqeltrd 2866 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ)
51 zltlem1 11848 . . . . 5 (((𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
5250, 47, 51syl2anc 576 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
5332, 52mpbid 224 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
54 peano2rem 10754 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
553, 54syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5655adantl 474 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
57 lemuldiv2 11322 . . . 4 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
5826, 56, 29, 57syl3anc 1351 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
5953, 58mpbid 224 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
6011simp3d 1124 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹))
6112, 59, 603jca 1108 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670   / cdiv 11098  cn 11439  cz 11793  cfl 12975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fl 12977
This theorem is referenced by:  fldiv  13043
  Copyright terms: Public domain W3C validator