Theorem intfracq 13826

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 13825. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
intfracq.2	⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intfracq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		nnre 12221	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nnne0 12248	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
7	2, 4, 6	redivcld 12044	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
8		intfracq.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
9		intfracq.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
10	8, 9	intfrac2 13825	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
12	11	simp1d 1142	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐹)
13		fraclt1 13769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
14	7, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
15	8	oveq2i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
16	9, 15	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18		nncn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18, 5	dividd 11990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
21	14, 17, 20	3brtr4d 5180	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 < (𝑁 / 𝑁))
22		reflcl 13763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
24	8, 23	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℝ)
25	7, 24	resubcld 11644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) ∈ ℝ)
26	9, 25	eqeltrid 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ℝ)
27		nngt0 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
28	3, 27	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
29	28	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
30		ltmuldiv2 12090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
31	26, 4, 29, 30	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
32	21, 31	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) < 𝑁)
33	9	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐹) = (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍))
34	18	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	7	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
36	7	flcld 13765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
37	8, 36	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℂ)
39	34, 35, 38	subdid 11672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
40	33, 39	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
41		zcn 12565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42, 34, 6	divcan2d 11994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
44		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45	43, 44	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
46		nnz 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47, 37	zmulcld 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑍) ∈ ℤ)
49	45, 48	zsubcld 12673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)) ∈ ℤ)
50	40, 49	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ)
51		zltlem1 12617	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
52	50, 47, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
53	32, 52	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
54		peano2rem 11529	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
55	3, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
56	55	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
57		lemuldiv2 12097	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
58	26, 56, 29, 57	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
59	53, 58	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
60	11	simp3d 1144	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹))
61	12, 59, 60	3jca 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446   / cdiv 11873  ℕcn 12214  ℤcz 12560  ⌊cfl 13757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fl 13759

This theorem is referenced by:  fldiv  13827