Theorem intfracq 13891

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 13890. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
intfracq.2	⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intfracq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		nnre 12239	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nnne0 12269	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
7	2, 4, 6	redivcld 12042	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
8		intfracq.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
9		intfracq.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
10	8, 9	intfrac2 13890	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
12	11	simp1d 1158	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐹)
13		fraclt1 13834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
14	7, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
15	8	oveq2i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
16	9, 15	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
18		nncn 12240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18, 5	dividd 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
20	19	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
21	14, 17, 20	3brtr4d 5147	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 < (𝑁 / 𝑁))
22		reflcl 13828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
23	7, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ)
24	8, 23	eqeltrid 2873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℝ)
25	7, 24	resubcld 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) ∈ ℝ)
26	9, 25	eqeltrid 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ℝ)
27		nngt0 12266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
28	3, 27	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
29	28	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
30		ltmuldiv2 12088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
31	26, 4, 29, 30	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
32	21, 31	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) < 𝑁)
33	9	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐹) = (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍))
34	18	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	7	recnd 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
36	7	flcld 13830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
37	8, 36	eqeltrid 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 12700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℂ)
39	34, 35, 38	subdid 11669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
40	33, 39	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
41		zcn 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42, 34, 6	divcan2d 11992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
44		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
45	43, 44	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
46		nnz 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47, 37	zmulcld 12705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑍) ∈ ℤ)
49	45, 48	zsubcld 12704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)) ∈ ℤ)
50	40, 49	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ)
51		zltlem1 12646	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
52	50, 47, 51	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
53	32, 52	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
54		peano2rem 11524	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
55	3, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
56	55	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
57		lemuldiv2 12095	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
58	26, 56, 29, 57	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
59	53, 58	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
60	11	simp3d 1160	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹))
61	12, 59, 60	3jca 1144	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  ℤcz 12590  ⌊cfl 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fl 13824

This theorem is referenced by:  fldiv  13892