MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcl 13148
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
flcl (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 13147 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
2 rebtwnz 12325 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3 riotacl 7105 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
51, 4eqeltrd 2912 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  ∃!wreu 3128   class class class wbr 5039  cfv 6328  crio 7087  (class class class)co 7130  cr 10513  1c1 10515   + caddc 10517   < clt 10652  cle 10653  cz 11959  cfl 13143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fl 13145
This theorem is referenced by:  reflcl  13149  fllelt  13150  flcld  13151  flflp1  13160  flidm  13162  flidz  13163  flval2  13167  flval3  13168  flge0nn0  13173  flge1nn  13174  flmulnn0  13180  intfrac2  13209  fldiv  13211  fznnfl  13213  uzsup  13214  flpmodeq  13225  rexuzre  14691  limsupgre  14817  rlimclim1  14881  ovoliunlem2  24085  ppisval  25667  ppifl  25723  ppip1le  25724  ppieq0  25739  ppiub  25766  chpeq0  25770  chtub  25774  logfac2  25779  ltflcei  34925  fourierswlem  42665
  Copyright terms: Public domain W3C validator