Theorem flcl 13830

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
flcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flval 13829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
2		rebtwnz 12972	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
3		riotacl 7386	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
5	1, 4	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∃!wreu 3367   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℤcz 12592  ⌊cfl 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fl 13827

This theorem is referenced by:  reflcl  13831  fllelt  13832  flcld  13833  flflp1  13842  flidm  13844  flidz  13845  flval2  13849  flval3  13850  flge0nn0  13855  flge1nn  13856  flmulnn0  13862  intfrac2  13893  fldiv  13895  fznnfl  13897  uzsup  13898  flpmodeq  13909  rexuzre  15406  limsupgre  15534  rlimclim1  15598  ovoliunlem2  25643  ppisval  27249  ppifl  27305  ppip1le  27306  ppieq0  27321  ppiub  27349  chpeq0  27353  chtub  27357  logfac2  27362  ltflcei  38240  fourierswlem  46927