MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcl 13706
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
flcl (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 13705 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
2 rebtwnz 12877 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
3 riotacl 7332 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
51, 4eqeltrd 2834 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  ∃!wreu 3350   class class class wbr 5106  cfv 6497  crio 7313  (class class class)co 7358  cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cz 12504  cfl 13701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  reflcl  13707  fllelt  13708  flcld  13709  flflp1  13718  flidm  13720  flidz  13721  flval2  13725  flval3  13726  flge0nn0  13731  flge1nn  13732  flmulnn0  13738  intfrac2  13769  fldiv  13771  fznnfl  13773  uzsup  13774  flpmodeq  13785  rexuzre  15243  limsupgre  15369  rlimclim1  15433  ovoliunlem2  24883  ppisval  26469  ppifl  26525  ppip1le  26526  ppieq0  26541  ppiub  26568  chpeq0  26572  chtub  26576  logfac2  26581  ltflcei  36112  fourierswlem  44557
  Copyright terms: Public domain W3C validator