MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issrgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issrgid 20151
Description: Properties showing that an element ๐ผ is the unity element of a semiring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srgidm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgidm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
srgidm.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
issrgid (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ)) โ†” 1 = ๐ผ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ, 1

Proof of Theorem issrgid
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
2 srgidm.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
31, 2mgpbas 20087 . 2 ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
4 srgidm.u . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
51, 4ringidval 20130 . 2 1 = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
6 srgidm.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
71, 6mgpplusg 20085 . 2 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
82, 6srgideu 20142 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
9 reurex 3378 . . 3 (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
108, 9syl 17 . 2 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
113, 5, 7, 10ismgmid 18632 1 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ)) โ†” 1 = ๐ผ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3372  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  mulGrpcmgp 20081  1rcur 20128  SRingcsrg 20133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-srg 20134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator