Theorem issrgid 20391

Description: Properties showing that an element 𝐼 is the unity element of a semiring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issrgid	⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, 1

Proof of Theorem issrgid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		srgidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20326	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		srgidm.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 4	ringidval 20370	. 2 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
6		srgidm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 6	mgpplusg 20325	. 2 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	2, 6	srgideu 20382	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
9		reurex 3369	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
11	3, 5, 7, 10	ismgmid 18806	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  mulGrpcmgp 20321  1_rcur 20368  SRingcsrg 20373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-srg 20374

This theorem is used by: (None)