Theorem isunit2 33197

Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isunit2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, 1   𝑣, 1   𝑣, ·   𝑢,𝐵   𝑣,𝐵   𝑢,𝑅   𝑣,𝑅   𝑢,𝑋   𝑣,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isunit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
3		isunit2.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20277	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6	5, 1	opprbas 20258	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
9	6, 7, 8	dvdsr 20277	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
10	1, 3, 5, 8	opprmul 20255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑢)
11	10	eqeq1i 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑋 · 𝑢) = 1 )
12	11	rexbii 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 )
13	12	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
14	9, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
15	4, 14	anbi12ci 629	. 2 ⊢ ((𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
16		isunit2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17		isunit2.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	16, 17, 2, 5, 7	isunit 20288	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
19		anandi 676	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
20	15, 18, 19	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227  1_rcur 20096  opp_rcoppr 20251  ∥_rcdsr 20269  Unitcui 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-mulr 17240  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273

This theorem is referenced by:  isunit3  33198