Theorem isunit2 33301

Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isunit2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, 1   𝑣, 1   𝑣, ·   𝑢,𝐵   𝑣,𝐵   𝑢,𝑅   𝑣,𝑅   𝑢,𝑋   𝑣,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isunit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
3		isunit2.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20342	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6	5, 1	opprbas 20323	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
9	6, 7, 8	dvdsr 20342	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
10	1, 3, 5, 8	opprmul 20320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑢)
11	10	eqeq1i 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑋 · 𝑢) = 1 )
12	11	rexbii 3084	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 )
13	12	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
14	9, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
15	4, 14	anbi12ci 630	. 2 ⊢ ((𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
16		isunit2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17		isunit2.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	16, 17, 2, 5, 7	isunit 20353	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
19		anandi 677	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
20	15, 18, 19	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  1_rcur 20162  opp_rcoppr 20316  ∥_rcdsr 20334  Unitcui 20335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-mulr 17234  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338

This theorem is referenced by:  isunit3  33302