Theorem isunit2 33180

Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isunit2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, 1   𝑣, 1   𝑣, ·   𝑢,𝐵   𝑣,𝐵   𝑢,𝑅   𝑣,𝑅   𝑢,𝑋   𝑣,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isunit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
3		isunit2.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20247	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6	5, 1	opprbas 20228	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
9	6, 7, 8	dvdsr 20247	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
10	1, 3, 5, 8	opprmul 20225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑢)
11	10	eqeq1i 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑋 · 𝑢) = 1 )
12	11	rexbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 )
13	12	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
14	9, 13	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
15	4, 14	anbi12ci 629	. 2 ⊢ ((𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
16		isunit2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17		isunit2.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	16, 17, 2, 5, 7	isunit 20258	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
19		anandi 676	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
20	15, 18, 19	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  1_rcur 20066  opp_rcoppr 20221  ∥_rcdsr 20239  Unitcui 20240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-mulr 17175  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243

This theorem is referenced by:  isunit3  33181