Theorem isunit2 33499

Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isunit2	⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑢, 1   𝑣, 1   𝑣, ·   𝑢,𝐵   𝑣,𝐵   𝑢,𝑅   𝑣,𝑅   𝑢,𝑋   𝑣,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isunit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
3		isunit2.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20443	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))
5		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6	5, 1	opprbas 20424	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
9	6, 7, 8	dvdsr 20443	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
10	1, 3, 5, 8	opprmul 20421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑢)
11	10	eqeq1i 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑋 · 𝑢) = 1 )
12	11	rexbii 3118	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 )
13	12	anbi2i 634	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
14	9, 13	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
15	4, 14	anbi12ci 640	. 2 ⊢ ((𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
16		isunit2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17		isunit2.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	16, 17, 2, 5, 7	isunit 20454	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
19		anandi 688	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
20	15, 18, 19	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  1_rcur 20262  opp_rcoppr 20417  ∥_rcdsr 20435  Unitcui 20436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-mulr 17323  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439

This theorem is referenced by:  isunit3  33500