Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isunit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isunit2 33212
Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isunit2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m · = (.r𝑅)
isunit2.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isunit2 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝐵 ∧ (∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
Distinct variable groups:   𝑢, 1   𝑣, 1   𝑣, ·   𝑢,𝐵   𝑣,𝐵   𝑢,𝑅   𝑣,𝑅   𝑢,𝑋   𝑣,𝑋
Allowed substitution hints:   · (𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isunit2
StepHypRef Expression
1 isunit2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2734 . . . 4 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
3 isunit2.m . . . 4 · = (.r𝑅)
41, 2, 3dvdsr 20383 . . 3 (𝑋(∥r𝑅) 1 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑣𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))
5 eqid 2734 . . . . . 6 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
65, 1opprbas 20362 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
7 eqid 2734 . . . . 5 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
8 eqid 2734 . . . . 5 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
96, 7, 8dvdsr 20383 . . . 4 (𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑢𝐵 (𝑢(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ))
101, 3, 5, 8opprmul 20358 . . . . . . 7 (𝑢(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑢)
1110eqeq1i 2739 . . . . . 6 ((𝑢(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑋 · 𝑢) = 1 )
1211rexbii 3096 . . . . 5 (∃𝑢𝐵 (𝑢(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 )
1312anbi2i 622 . . . 4 ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑢𝐵 (𝑢(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
149, 13bitri 275 . . 3 (𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ))
154, 14anbi12ci 628 . 2 ((𝑋(∥r𝑅) 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ) ↔ ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑣𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
16 isunit2.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17 isunit2.1 . . 3 1 = (1r𝑅)
1816, 17, 2, 5, 7isunit 20394 . 2 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅) 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
19 anandi 675 . 2 ((𝑋𝐵 ∧ (∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )) ↔ ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑣𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
2015, 18, 193bitr4i 303 1 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝐵 ∧ (∃𝑢𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wrex 3072   class class class wbr 5169  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  .rcmulr 17307  1rcur 20203  opprcoppr 20354  rcdsr 20375  Unitcui 20376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-mulr 17320  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379
This theorem is referenced by:  isunit3  33213
  Copyright terms: Public domain W3C validator