Theorem isunit3 33851

Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isunit3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isunit3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
isunit3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem isunit3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isunit2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isunit2.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		isunit2.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isunit2 33850	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
6		isunit3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))))
8	5, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9, 1	mgpbas 20374	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
11	9, 4	ringidval 20418	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	9, 3	mgpplusg 20373	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
13		isunit3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	9	ringmgp 20474	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
16	10, 11, 12, 15, 6	mndlrinvb 33636	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
17	8, 16	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438  Mndcmnd 18932  mulGrpcmgp 20369  1_rcur 20416  Ringcrg 20468  Unitcui 20594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-tpos 8250  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597

This theorem is used by:  isunitc  33852  dflringlem2  34077  assarrginv  34318