Theorem isunit3 33624

Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isunit3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isunit3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
isunit3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem isunit3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isunit2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isunit2.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		isunit2.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isunit2 33623	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
6		isunit3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))))
8	5, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9, 1	mgpbas 20265	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
11	9, 4	ringidval 20309	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	9, 3	mgpplusg 20264	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
13		isunit3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	9	ringmgp 20365	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
16	10, 11, 12, 15, 6	mndlrinvb 33409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
17	8, 16	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  Mndcmnd 18824  mulGrpcmgp 20260  1_rcur 20307  Ringcrg 20359  Unitcui 20483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486

This theorem is used by:  isunitc  33625  dflringlem2  33849  assarrginv  34090