Theorem isunit3 33560

Description: Alternate definition of being a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isunit2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isunit2.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
isunit2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isunit3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isunit3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
isunit3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦, ·   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem isunit3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunit2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isunit2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isunit2.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		isunit2.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isunit2 33559	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
6		isunit3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ))))
8	5, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 )))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9, 1	mgpbas 20216	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
11	9, 4	ringidval 20260	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	9, 3	mgpplusg 20215	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
13		isunit3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	9	ringmgp 20316	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
16	10, 11, 12, 15, 6	mndlrinvb 33345	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑋 · 𝑢) = 1 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐵 (𝑣 · 𝑋) = 1 ) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))
17	8, 16	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑋) = 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  Mndcmnd 18787  mulGrpcmgp 20211  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  Unitcui 20433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436

This theorem is referenced by:  isunitc  33561  dflringlem2  33785  assarrginv  34026