Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitnz 33211
Description: In a nonzero ring, a unit cannot be zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
unitnz.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnz.2 0 = (0g𝑅)
unitnz.3 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
unitnz.4 (𝜑𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
unitnz (𝜑𝑋0 )

Proof of Theorem unitnz
StepHypRef Expression
1 unitnz.4 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
2 unitnz.3 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 20537 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2734 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
6 unitnz.2 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
75, 6nzrnz 20536 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ 0 )
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ 0 )
9 unitnz.1 . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
109, 6, 50unit 20417 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( 0𝑈 ↔ (1r𝑅) = 0 ))
1110necon3bbid 2980 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0𝑈 ↔ (1r𝑅) ≠ 0 ))
1211biimpar 477 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ) → ¬ 0𝑈)
134, 8, 12syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ¬ 0𝑈)
14 nelne2 3042 . 2 ((𝑋𝑈 ∧ ¬ 0𝑈) → 𝑋0 )
151, 13, 14syl2anc 583 1 (𝜑𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  cfv 6572  0gc0g 17494  1rcur 20203  Ringcrg 20255  Unitcui 20376  NzRingcnzr 20533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-nzr 20534
This theorem is referenced by:  ply1unit  33557  ply1dg1rt  33561  m1pmeq  33565  assafld  33642
  Copyright terms: Public domain W3C validator