Theorem unitnz 33339

Description: In a nonzero ring, a unit cannot be zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitnz.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnz.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
unitnz.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
unitnz.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitnz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem unitnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitnz.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		unitnz.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
3		nzrring 20466	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		unitnz.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	5, 6	nzrnz 20465	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
9		unitnz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
10	9, 6, 5	0unit 20349	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
11	10	necon3bbid 2970	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝑈 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
12	11	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
13	4, 8, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝑈)
14		nelne2 3031	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑈) → 𝑋 ≠ 0 )
15	1, 13, 14	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6502  0_gc0g 17373  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  Unitcui 20308  NzRingcnzr 20462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-nzr 20463

This theorem is referenced by:  ply1unit  33674  ply1dg1rt  33679  m1pmeq  33684  assafld  33821