Theorem lcdvs 41592

Description: Scalar product for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcdvs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvs	⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Proof of Theorem lcdvs

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvs.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvs.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
7		lcdvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcdvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcdval 41578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
10	9	fveq2d 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
11		lcdvs.m	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		fvex 6873	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5296	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		lcdvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
16	14, 15	ressvsca 17313	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	10, 11, 17	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ↾_s cress 17206   ·_𝑠 cvsca 17230  LFnlclfn 39045  LKerclk 39073  LDualcld 39111  HLchlt 39338  LHypclh 39973  DVecHcdvh 41067  ocHcoch 41336  LCDualclcd 41575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-vsca 17243  df-lcdual 41576

This theorem is referenced by:  lcdvsval  41593  lcdlkreq2N  41612