Theorem lcdvs 41206

Description: Scalar product for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcdvs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvs	⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Proof of Theorem lcdvs

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvs.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvs.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
7		lcdvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcdvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcdval 41192	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
10	9	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
11		lcdvs.m	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		fvex 6909	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5335	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		lcdvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
16	14, 15	ressvsca 17328	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	10, 11, 17	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↾_s cress 17212   ·_𝑠 cvsca 17240  LFnlclfn 38659  LKerclk 38687  LDualcld 38725  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  ocHcoch 40950  LCDualclcd 41189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-vsca 17253  df-lcdual 41190

This theorem is referenced by:  lcdvsval  41207  lcdlkreq2N  41226