Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvs 39625
Description: Scalar product for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvs.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdvs.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcdvs.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.m = ( ·𝑠𝐶)
lcdvs.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcdvs (𝜑 = · )

Proof of Theorem lcdvs
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdvs.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2738 . . . 4 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvs.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 lcdvs.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2738 . . . 4 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
6 eqid 2738 . . . 4 (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
7 lcdvs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lcdvs.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcdval 39611 . . 3 (𝜑𝐶 = (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
109fveq2d 6770 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐶) = ( ·𝑠 ‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
11 lcdvs.m . 2 = ( ·𝑠𝐶)
12 fvex 6779 . . . 4 (LFnl‘𝑈) ∈ V
1312rabex 5254 . . 3 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14 eqid 2738 . . . 4 (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15 lcdvs.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
1614, 15ressvsca 17064 . . 3 ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
1713, 16ax-mp 5 . 2 · = ( ·𝑠 ‘(𝐷s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
1810, 11, 173eqtr4g 2803 1 (𝜑 = · )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3429  cfv 6426  (class class class)co 7267  s cress 16951   ·𝑠 cvsca 16976  LFnlclfn 37079  LKerclk 37107  LDualcld 37145  HLchlt 37372  LHypclh 38006  DVecHcdvh 39100  ocHcoch 39369  LCDualclcd 39608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-vsca 16989  df-lcdual 39609
This theorem is referenced by:  lcdvsval  39626  lcdlkreq2N  39645
  Copyright terms: Public domain W3C validator