Theorem lcdvs 39617

Description: Scalar product for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvs.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lcdvs.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvs.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvs.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvs	⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Proof of Theorem lcdvs

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvs.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvs.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
7		lcdvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lcdvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcdval 39603	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
10	9	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
11		lcdvs.m	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		fvex 6787	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) ∈ V
13	12	rabex 5256	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = (𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15		lcdvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
16	14, 15	ressvsca 17054	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
17	13, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝐷 ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
18	10, 11, 17	3eqtr4g 2803	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↾_s cress 16941   ·_𝑠 cvsca 16966  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099  LDualcld 37137  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  ocHcoch 39361  LCDualclcd 39600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-vsca 16979  df-lcdual 39601

This theorem is referenced by:  lcdvsval  39618  lcdlkreq2N  39637