Theorem lcdvsval 39605

Description: Value of scalar product operation value for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsval.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcdvsval.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
lcdvsval.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsval.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
lcdvsval.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvsval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
lcdvsval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcdvsval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) · 𝑋))

Proof of Theorem lcdvsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘(LDual‘𝑈)) = ( ·𝑠 ‘(LDual‘𝑈))
5		lcdvsval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdvsval.m	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
7		lcdvsval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdvs 39604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(LDual‘𝑈)))
9	8	oveqd 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝑋( ·𝑠 ‘(LDual‘𝑈))𝐺))
10	9	fveq1d 6770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝑋( ·𝑠 ‘(LDual‘𝑈))𝐺)‘𝐴))
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
12		lcdvsval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		lcdvsval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
14		lcdvsval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
15		lcdvsval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
16	1, 2, 7	dvhlmod 39111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17		lcdvsval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
18		lcdvsval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
19		lcdvsval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
20	1, 5, 18, 2, 11, 7, 19	lcdvbaselfl 39596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑈))
21		lcdvsval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
22	11, 12, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 20, 21	ldualvsval 37139	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋( ·𝑠 ‘(LDual‘𝑈))𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) · 𝑋))
23	10, 22	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6428  (class class class)co 7269  Basecbs 16901  ._rcmulr 16952  Scalarcsca 16954   ·_𝑠 cvsca 16955  LModclmod 20112  LFnlclfn 37058  LDualcld 37124  HLchlt 37351  LHypclh 37985  DVecHcdvh 39079  LCDualclcd 39587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-riotaBAD 36954

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-undef 8078  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-fz 13229  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-sca 16967  df-vsca 16968  df-0g 17141  df-proset 18002  df-poset 18020  df-plt 18037  df-lub 18053  df-glb 18054  df-join 18055  df-meet 18056  df-p0 18132  df-p1 18133  df-lat 18139  df-clat 18206  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774  df-oppr 19851  df-dvdsr 19872  df-unit 19873  df-invr 19903  df-dvr 19914  df-drng 19982  df-lmod 20114  df-lvec 20354  df-lfl 37059  df-ldual 37125  df-oposet 37177  df-ol 37179  df-oml 37180  df-covers 37267  df-ats 37268  df-atl 37299  df-cvlat 37323  df-hlat 37352  df-llines 37499  df-lplanes 37500  df-lvols 37501  df-lines 37502  df-psubsp 37504  df-pmap 37505  df-padd 37797  df-lhyp 37989  df-laut 37990  df-ldil 38105  df-ltrn 38106  df-trl 38160  df-tendo 38756  df-edring 38758  df-dvech 39080  df-lcdual 39588

This theorem is referenced by:  lcdvsubval  39619  hdmapglnm2  39912