Theorem lcdsmul 37676

Description: Scalar multiplication for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsmul.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
lcdsmul.t	⊢ · = (.r‘𝐹)
lcdsmul.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsmul.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdsmul.m	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
lcdsmul.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
lcdsmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lcdsmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem lcdsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsmul.m	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
2		lcdsmul.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcdsmul.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdsmul.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
6		lcdsmul.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		lcdsmul.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
8		lcdsmul.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcdsca 37673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
10	9	fveq2d 6436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘(oppr‘𝐹)))
11	1, 10	syl5eq 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘(oppr‘𝐹)))
12	11	oveqd 6921	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌))
13		lcdsmul.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
14		lcdsmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
15		eqid 2824	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐹)) = (.r‘(oppr‘𝐹))
16	13, 14, 5, 15	opprmul 18979	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
17	12, 16	syl6eq 2876	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  ._rcmulr 16305  Scalarcsca 16307  opp_rcoppr 18975  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  LCDualclcd 37660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-riotaBAD 35027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-tpos 7616  df-undef 7663  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-0g 16454  df-proset 17280  df-poset 17298  df-plt 17310  df-lub 17326  df-glb 17327  df-join 17328  df-meet 17329  df-p0 17391  df-p1 17392  df-lat 17398  df-clat 17460  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-drng 19104  df-lmod 19220  df-lvec 19461  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dvech 37153  df-lcdual 37661

This theorem is referenced by:  lcdvsass  37681  hgmapmul  37969