Theorem lcdsmul 41858

Description: Scalar multiplication for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsmul.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
lcdsmul.t	⊢ · = (.r‘𝐹)
lcdsmul.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsmul.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdsmul.m	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
lcdsmul.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
lcdsmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lcdsmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem lcdsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsmul.m	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
2		lcdsmul.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcdsmul.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdsmul.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
6		lcdsmul.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		lcdsmul.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
8		lcdsmul.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcdsca 41855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
10	9	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘(oppr‘𝐹)))
11	1, 10	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘(oppr‘𝐹)))
12	11	oveqd 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌))
13		lcdsmul.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
14		lcdsmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
15		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐹)) = (.r‘(oppr‘𝐹))
16	13, 14, 5, 15	opprmul 20276	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
17	12, 16	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180  opp_rcoppr 20272  HLchlt 39606  LHypclh 40240  DVecHcdvh 41334  LCDualclcd 41842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lvec 21055  df-ldual 39380  df-oposet 39432  df-ol 39434  df-oml 39435  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-llines 39754  df-lplanes 39755  df-lvols 39756  df-lines 39757  df-psubsp 39759  df-pmap 39760  df-padd 40052  df-lhyp 40244  df-laut 40245  df-ldil 40360  df-ltrn 40361  df-trl 40415  df-tendo 41011  df-edring 41013  df-dvech 41335  df-lcdual 41843

This theorem is referenced by:  lcdvsass  41863  hgmapmul  42151