Theorem dynkin 34131

Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dynkin	⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑢,𝑥   𝑢,𝑂   𝑇,𝑠,𝑢,𝑥   𝜑,𝑥   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑠)   𝑃(𝑢,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem dynkin

Dummy variables 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		sseq2 4035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑡))
5	4	cbvrabv 3454	. . . . . . 7 ⊢ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
6	5	inteqi 4974	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
7		dynkin.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 6, 7	ldgenpisys 34130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝑃)
9	1	ispisys2 34117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑇))
10	9	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
12	11	elpwid 4631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
13	2, 3, 12	ldsysgenld 34124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝐿)
14	8, 13	elind 4223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	1, 2	sigapildsys 34126	. . . 4 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)
16	14, 15	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
17		ssintub 4990	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
19		sseq2 4035	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} → (𝑇 ⊆ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}))
20	19	intminss 4998	. . 3 ⊢ ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}) → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
21	16, 18, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
22		dynkin.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
23		dynkin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
24		sseq2 4035	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
25	24	intminss 4998	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
26	22, 23, 25	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
27	21, 26	sstrd 4019	1 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∪ cuni 4931  ∩ cint 4970  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  Fincfn 9003  ficfi 9479  sigAlgebracsiga 34072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-siga 34073

This theorem is referenced by: (None)