Theorem dynkin 34466

Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dynkin	⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑢,𝑥   𝑢,𝑂   𝑇,𝑠,𝑢,𝑥   𝜑,𝑥   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑠)   𝑃(𝑢,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem dynkin

Dummy variables 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		sseq2 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑡))
5	4	cbvrabv 3425	. . . . . . 7 ⊢ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
6	5	inteqi 4910	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
7		dynkin.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 6, 7	ldgenpisys 34465	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝑃)
9	1	ispisys2 34452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑇))
10	9	simplbi 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
12	11	elpwid 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
13	2, 3, 12	ldsysgenld 34459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝐿)
14	8, 13	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	1, 2	sigapildsys 34461	. . . 4 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)
16	14, 15	eleqtrrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
17		ssintub 4925	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
19		sseq2 3963	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} → (𝑇 ⊆ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}))
20	19	intminss 4933	. . 3 ⊢ ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}) → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
21	16, 18, 20	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
22		dynkin.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
23		dynkin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
24		sseq2 3963	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
25	24	intminss 4933	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
26	22, 23, 25	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
27	21, 26	sstrd 3947	1 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  {crab 3415   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∪ cuni 4866  ∩ cint 4906  Disj wdisj 5068   class class class wbr 5101  ‘cfv 6521  ωcom 7846   ≼ cdom 8925  Fincfn 8927  ficfi 9354  sigAlgebracsiga 34407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-ac2 10431  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5069  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-dju 9871  df-card 9909  df-acn 9912  df-ac 10084  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-siga 34408

This theorem is referenced by: (None)