Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dynkin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dynkin 34148
Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
dynkin.1 (𝜑𝑆𝐿)
dynkin.2 (𝜑𝑇𝑃)
dynkin.3 (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
dynkin (𝜑 {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑢,𝑥   𝑢,𝑂   𝑇,𝑠,𝑢,𝑥   𝜑,𝑥   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑠)   𝑃(𝑢,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem dynkin
Dummy variables 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2 dynkin.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3 dynkin.o . . . . . 6 (𝜑𝑂𝑉)
4 sseq2 4022 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑡 → (𝑇𝑣𝑇𝑡))
54cbvrabv 3444 . . . . . . 7 {𝑣𝐿𝑇𝑣} = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
65inteqi 4955 . . . . . 6 {𝑣𝐿𝑇𝑣} = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
7 dynkin.2 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑃)
81, 2, 3, 6, 7ldgenpisys 34147 . . . . 5 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ 𝑃)
91ispisys2 34134 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑇))
109simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑇𝑃𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1211elpwid 4614 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
132, 3, 12ldsysgenld 34141 . . . . 5 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ 𝐿)
148, 13elind 4210 . . . 4 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ (𝑃𝐿))
151, 2sigapildsys 34143 . . . 4 (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
1614, 15eleqtrrdi 2850 . . 3 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
17 ssintub 4971 . . . 4 𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣}
1817a1i 11 . . 3 (𝜑𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣})
19 sseq2 4022 . . . 4 (𝑢 = {𝑣𝐿𝑇𝑣} → (𝑇𝑢𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣}))
2019intminss 4979 . . 3 (( {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣}) → {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ {𝑣𝐿𝑇𝑣})
2116, 18, 20syl2anc 584 . 2 (𝜑 {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ {𝑣𝐿𝑇𝑣})
22 dynkin.1 . . 3 (𝜑𝑆𝐿)
23 dynkin.3 . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
24 sseq2 4022 . . . 4 (𝑣 = 𝑆 → (𝑇𝑣𝑇𝑆))
2524intminss 4979 . . 3 ((𝑆𝐿𝑇𝑆) → {𝑣𝐿𝑇𝑣} ⊆ 𝑆)
2622, 23, 25syl2anc 584 . 2 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ⊆ 𝑆)
2721, 26sstrd 4006 1 (𝜑 {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   cint 4951  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  cfv 6563  ωcom 7887  cdom 8982  Fincfn 8984  ficfi 9448  sigAlgebracsiga 34089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-siga 34090
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator