Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dynkin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dynkin 33160
Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
dynkin.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dynkin (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,π‘₯   π‘₯,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑒,π‘₯   𝑒,𝑂   𝑇,𝑠,𝑒,π‘₯   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   π‘₯,𝑉   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑠)   𝑃(𝑒,𝑠)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑒,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑠)

Proof of Theorem dynkin
Dummy variables 𝑑 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
2 dynkin.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
3 dynkin.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
4 sseq2 4008 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑑 β†’ (𝑇 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑑))
54cbvrabv 3442 . . . . . . 7 {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} = {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑}
65inteqi 4954 . . . . . 6 ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} = ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑}
7 dynkin.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
81, 2, 3, 6, 7ldgenpisys 33159 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ 𝑃)
91ispisys2 33146 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑇))
109simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ 𝑃 β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1211elpwid 4611 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝒫 𝑂)
132, 3, 12ldsysgenld 33153 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ 𝐿)
148, 13elind 4194 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
151, 2sigapildsys 33155 . . . 4 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = (𝑃 ∩ 𝐿)
1614, 15eleqtrrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
17 ssintub 4970 . . . 4 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
19 sseq2 4008 . . . 4 (𝑒 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} β†’ (𝑇 βŠ† 𝑒 ↔ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}))
2019intminss 4978 . . 3 ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}) β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
2116, 18, 20syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
22 dynkin.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐿)
23 dynkin.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
24 sseq2 4008 . . . 4 (𝑣 = 𝑆 β†’ (𝑇 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑆))
2524intminss 4978 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} βŠ† 𝑆)
2622, 23, 25syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} βŠ† 𝑆)
2721, 26sstrd 3992 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7854   β‰Ό cdom 8936  Fincfn 8938  ficfi 9404  sigAlgebracsiga 33101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-siga 33102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator