Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dynkin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dynkin 33654
Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
dynkin.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dynkin (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,π‘₯   π‘₯,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑒,π‘₯   𝑒,𝑂   𝑇,𝑠,𝑒,π‘₯   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   π‘₯,𝑉   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑠)   𝑃(𝑒,𝑠)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑒,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑠)

Proof of Theorem dynkin
Dummy variables 𝑑 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
2 dynkin.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
3 dynkin.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
4 sseq2 4000 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑑 β†’ (𝑇 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑑))
54cbvrabv 3434 . . . . . . 7 {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} = {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑}
65inteqi 4944 . . . . . 6 ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} = ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑}
7 dynkin.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
81, 2, 3, 6, 7ldgenpisys 33653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ 𝑃)
91ispisys2 33640 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑇))
109simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ 𝑃 β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1211elpwid 4603 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝒫 𝑂)
132, 3, 12ldsysgenld 33647 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ 𝐿)
148, 13elind 4186 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
151, 2sigapildsys 33649 . . . 4 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = (𝑃 ∩ 𝐿)
1614, 15eleqtrrdi 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
17 ssintub 4960 . . . 4 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
19 sseq2 4000 . . . 4 (𝑒 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} β†’ (𝑇 βŠ† 𝑒 ↔ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}))
2019intminss 4968 . . 3 ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}) β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
2116, 18, 20syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
22 dynkin.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐿)
23 dynkin.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
24 sseq2 4000 . . . 4 (𝑣 = 𝑆 β†’ (𝑇 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑆))
2524intminss 4968 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} βŠ† 𝑆)
2622, 23, 25syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} βŠ† 𝑆)
2721, 26sstrd 3984 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {csn 4620  βˆͺ cuni 4899  βˆ© cint 4940  Disj wdisj 5103   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  Ο‰com 7848   β‰Ό cdom 8933  Fincfn 8935  ficfi 9401  sigAlgebracsiga 33595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-siga 33596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator