Theorem dynkin 34566

Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dynkin	⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑢,𝑥   𝑢,𝑂   𝑇,𝑠,𝑢,𝑥   𝜑,𝑥   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢, 𝑠)   𝑃(𝑢, 𝑠)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑠)   𝑉(𝑦, 𝑢, 𝑠)

Proof of Theorem dynkin

Dummy variables 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		sseq2 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑡))
5	4	cbvrabv 3425	. . . . . . 7 ⊢ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
6	5	inteqi 4915	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
7		dynkin.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 6, 7	ldgenpisys 34565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝑃)
9	1	ispisys2 34552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑇))
10	9	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
11	7, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
12	11	elpwid 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
13	2, 3, 12	ldsysgenld 34559	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝐿)
14	8, 13	elind 4152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	1, 2	sigapildsys 34561	. . . 4 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)
16	14, 15	eleqtrrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
17		ssintub 4930	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
19		sseq2 3962	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} → (𝑇 ⊆ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}))
20	19	intminss 4938	. . 3 ⊢ ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}) → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
21	16, 18, 20	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
22		dynkin.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
23		dynkin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
24		sseq2 3962	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
25	24	intminss 4938	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
26	22, 23, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
27	21, 26	sstrd 3946	1 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {csn 4588  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4911  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  ωcom 7860   ≼ cdom 8939  Fincfn 8941  ficfi 9368  sigAlgebracsiga 34507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-siga 34508

This theorem is used by: (None)