Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dynkin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dynkin 32830
Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
dynkin.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dynkin (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,π‘₯   π‘₯,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑒,π‘₯   𝑒,𝑂   𝑇,𝑠,𝑒,π‘₯   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   π‘₯,𝑉   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,𝑠)   𝑃(𝑒,𝑠)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑒,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑠)

Proof of Theorem dynkin
Dummy variables 𝑑 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fiβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠}
2 dynkin.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
3 dynkin.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
4 sseq2 3974 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑑 β†’ (𝑇 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑑))
54cbvrabv 3416 . . . . . . 7 {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} = {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑}
65inteqi 4915 . . . . . 6 ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} = ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑}
7 dynkin.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑃)
81, 2, 3, 6, 7ldgenpisys 32829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ 𝑃)
91ispisys2 32816 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})∩ π‘₯ ∈ 𝑇))
109simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ 𝑃 β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1211elpwid 4573 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝒫 𝑂)
132, 3, 12ldsysgenld 32823 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ 𝐿)
148, 13elind 4158 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
151, 2sigapildsys 32825 . . . 4 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) = (𝑃 ∩ 𝐿)
1614, 15eleqtrrdi 2845 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
17 ssintub 4931 . . . 4 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
19 sseq2 3974 . . . 4 (𝑒 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} β†’ (𝑇 βŠ† 𝑒 ↔ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}))
2019intminss 4939 . . 3 ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∧ 𝑇 βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣}) β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
2116, 18, 20syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣})
22 dynkin.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐿)
23 dynkin.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
24 sseq2 3974 . . . 4 (𝑣 = 𝑆 β†’ (𝑇 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑆))
2524intminss 4939 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} βŠ† 𝑆)
2622, 23, 25syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 βŠ† 𝑣} βŠ† 𝑆)
2721, 26sstrd 3958 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑒 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑒} βŠ† 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869  βˆ© cint 4911  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887  Fincfn 8889  ficfi 9354  sigAlgebracsiga 32771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-siga 32772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator