Theorem dynkin 34305

Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dynkin	⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑢,𝑥   𝑢,𝑂   𝑇,𝑠,𝑢,𝑥   𝜑,𝑥   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑠)   𝑃(𝑢,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem dynkin

Dummy variables 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		sseq2 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑡))
5	4	cbvrabv 3410	. . . . . . 7 ⊢ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
6	5	inteqi 4907	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
7		dynkin.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 6, 7	ldgenpisys 34304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝑃)
9	1	ispisys2 34291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑇))
10	9	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
12	11	elpwid 4564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
13	2, 3, 12	ldsysgenld 34298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝐿)
14	8, 13	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	1, 2	sigapildsys 34300	. . . 4 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)
16	14, 15	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
17		ssintub 4922	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
19		sseq2 3961	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} → (𝑇 ⊆ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}))
20	19	intminss 4930	. . 3 ⊢ ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}) → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
21	16, 18, 20	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
22		dynkin.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
23		dynkin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
24		sseq2 3961	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
25	24	intminss 4930	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
26	22, 23, 25	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
27	21, 26	sstrd 3945	1 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3400   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  {csn 4581  ∪ cuni 4864  ∩ cint 4903  Disj wdisj 5066   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  ωcom 7810   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887  ficfi 9317  sigAlgebracsiga 34246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-siga 34247

This theorem is referenced by: (None)