Theorem dynkin 34168

Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
dynkin.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
dynkin.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
dynkin.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dynkin	⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑢,𝑥   𝑢,𝑂   𝑇,𝑠,𝑢,𝑥   𝜑,𝑥   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑠)   𝑃(𝑢,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem dynkin

Dummy variables 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2		dynkin.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
3		dynkin.o	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
4		sseq2 4010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑡))
5	4	cbvrabv 3447	. . . . . . 7 ⊢ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
6	5	inteqi 4950	. . . . . 6 ⊢ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
7		dynkin.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 6, 7	ldgenpisys 34167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝑃)
9	1	ispisys2 34154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑥 ∈ 𝑇))
10	9	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
12	11	elpwid 4609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
13	2, 3, 12	ldsysgenld 34161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ 𝐿)
14	8, 13	elind 4200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	1, 2	sigapildsys 34163	. . . 4 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃 ∩ 𝐿)
16	14, 15	eleqtrrdi 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
17		ssintub 4966	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
19		sseq2 4010	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} → (𝑇 ⊆ 𝑢 ↔ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}))
20	19	intminss 4974	. . 3 ⊢ ((∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑇 ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣}) → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
21	16, 18, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣})
22		dynkin.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
23		dynkin.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
24		sseq2 4010	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑆 → (𝑇 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑇 ⊆ 𝑆))
25	24	intminss 4974	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
26	22, 23, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑣 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑣} ⊆ 𝑆)
27	21, 26	sstrd 3994	1 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  ∪ cuni 4907  ∩ cint 4946  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≼ cdom 8983  Fincfn 8985  ficfi 9450  sigAlgebracsiga 34109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-siga 34110

This theorem is referenced by: (None)