Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dynkin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dynkin 34168
Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
dynkin.1 (𝜑𝑆𝐿)
dynkin.2 (𝜑𝑇𝑃)
dynkin.3 (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
dynkin (𝜑 {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦   𝐿,𝑠,𝑢,𝑥   𝑢,𝑂   𝑇,𝑠,𝑢,𝑥   𝜑,𝑥   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑠)   𝑃(𝑢,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem dynkin
Dummy variables 𝑡 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2 dynkin.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3 dynkin.o . . . . . 6 (𝜑𝑂𝑉)
4 sseq2 4010 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑡 → (𝑇𝑣𝑇𝑡))
54cbvrabv 3447 . . . . . . 7 {𝑣𝐿𝑇𝑣} = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
65inteqi 4950 . . . . . 6 {𝑣𝐿𝑇𝑣} = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
7 dynkin.2 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑃)
81, 2, 3, 6, 7ldgenpisys 34167 . . . . 5 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ 𝑃)
91ispisys2 34154 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑇 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑇))
109simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑇𝑃𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1211elpwid 4609 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
132, 3, 12ldsysgenld 34161 . . . . 5 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ 𝐿)
148, 13elind 4200 . . . 4 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ (𝑃𝐿))
151, 2sigapildsys 34163 . . . 4 (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
1614, 15eleqtrrdi 2852 . . 3 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
17 ssintub 4966 . . . 4 𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣}
1817a1i 11 . . 3 (𝜑𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣})
19 sseq2 4010 . . . 4 (𝑢 = {𝑣𝐿𝑇𝑣} → (𝑇𝑢𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣}))
2019intminss 4974 . . 3 (( {𝑣𝐿𝑇𝑣} ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑇 {𝑣𝐿𝑇𝑣}) → {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ {𝑣𝐿𝑇𝑣})
2116, 18, 20syl2anc 584 . 2 (𝜑 {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ {𝑣𝐿𝑇𝑣})
22 dynkin.1 . . 3 (𝜑𝑆𝐿)
23 dynkin.3 . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
24 sseq2 4010 . . . 4 (𝑣 = 𝑆 → (𝑇𝑣𝑇𝑆))
2524intminss 4974 . . 3 ((𝑆𝐿𝑇𝑆) → {𝑣𝐿𝑇𝑣} ⊆ 𝑆)
2622, 23, 25syl2anc 584 . 2 (𝜑 {𝑣𝐿𝑇𝑣} ⊆ 𝑆)
2721, 26sstrd 3994 1 (𝜑 {𝑢 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∣ 𝑇𝑢} ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cuni 4907   cint 4946  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cfv 6561  ωcom 7887  cdom 8983  Fincfn 8985  ficfi 9450  sigAlgebracsiga 34109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-siga 34110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator