MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdenle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdenle 16631
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)

Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 16630 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
21simprd 497 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
3 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4 nnz 12527 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
54adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
6 nnne0 12194 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
76neneqd 2949 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
87adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
98intnand 490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
10 gcdn0cl 16389 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
113, 5, 9, 10syl21anc 837 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
1211nnge1d 12208 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡))
13 1red 11163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 11684 . . . . . 6 0 < 1
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 1)
1611nnred 12175 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ)
1711nngt0d 12209 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 gcd 𝐡))
18 nnre 12167 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1918adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
20 nngt0 12191 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 0 < 𝐡)
2120adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝐡)
22 lediv2 12052 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐡)) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1387 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2412, 23mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1))
25 nncn 12168 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2625adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2726div1d 11930 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / 1) = 𝐡)
2824, 27breqtrd 5136 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ 𝐡)
292, 28eqbrtrd 5132 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506   gcd cgcd 16381  numercnumer 16615  denomcdenom 16616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618
This theorem is referenced by:  qden1elz  16639  irrapxlem5  41178
  Copyright terms: Public domain W3C validator