Theorem divdenle 16786

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 16785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2	1	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		nnz 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		nnne0 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
7	6	neneqd 2945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ 𝐵 = 0)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
9	8	intnand 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10		gcdn0cl 16539	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nnge1d 12314	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
13		1red 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 11785	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 1)
16	11	nnred 12281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
17	11	nngt0d 12315	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
18		nnre 12273	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20		nngt0 12297	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
22		lediv2 12158	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1)))
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1)))
24	12, 23	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1))
25		nncn 12274	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	div1d 12035	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
28	24, 27	breqtrd 5169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ 𝐵)
29	2, 28	eqbrtrd 5165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℤcz 12613   gcd cgcd 16531  numercnumer 16770  denomcdenom 16771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773

This theorem is referenced by:  qden1elz  16794  irrapxlem5  42837