MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdenle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divdenle 16730
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)
Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 16729 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
21simprd 494 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
3 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4 nnz 12619 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
54adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
6 nnne0 12286 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
76neneqd 2942 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
98intnand 487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
10 gcdn0cl 16486 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
113, 5, 9, 10syl21anc 836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
1211nnge1d 12300 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡))
13 1red 11255 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 11776 . . . . . 6 0 < 1
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 1)
1611nnred 12267 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ)
1711nngt0d 12301 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 gcd 𝐡))
18 nnre 12259 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1918adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
20 nngt0 12283 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 0 < 𝐡)
2120adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝐡)
22 lediv2 12144 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐡)) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1383 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2412, 23mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1))
25 nncn 12260 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2625adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2726div1d 12022 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / 1) = 𝐡)
2824, 27breqtrd 5178 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ 𝐡)
292, 28eqbrtrd 5174 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   < clt 11288   ≀ cle 11289   / cdiv 11911  β„•cn 12252  β„€cz 12598   gcd cgcd 16478  numercnumer 16714  denomcdenom 16715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-numer 16716  df-denom 16717
This theorem is referenced by:  qden1elz  16738  irrapxlem5  42295
  Copyright terms: Public domain W3C validator