MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdenle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divdenle 16681
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)
Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 16680 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
21simprd 496 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
3 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4 nnz 12575 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
6 nnne0 12242 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
76neneqd 2945 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
98intnand 489 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
10 gcdn0cl 16439 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
113, 5, 9, 10syl21anc 836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
1211nnge1d 12256 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡))
13 1red 11211 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 11732 . . . . . 6 0 < 1
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 1)
1611nnred 12223 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ)
1711nngt0d 12257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 gcd 𝐡))
18 nnre 12215 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
20 nngt0 12239 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 0 < 𝐡)
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝐡)
22 lediv2 12100 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐡)) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1386 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2412, 23mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1))
25 nncn 12216 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2625adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2726div1d 11978 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / 1) = 𝐡)
2824, 27breqtrd 5173 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ 𝐡)
292, 28eqbrtrd 5169 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554   gcd cgcd 16431  numercnumer 16665  denomcdenom 16666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668
This theorem is referenced by:  qden1elz  16689  irrapxlem5  41549
  Copyright terms: Public domain W3C validator