Theorem divdenle 16846

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 16845	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2	1	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		nnz 12640	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		nnne0 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
7	6	neneqd 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ 𝐵 = 0)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
9	8	intnand 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10		gcdn0cl 16598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nnge1d 12312	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
13		1red 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 11764	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 1)
16	11	nnred 12276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
17	11	nngt0d 12313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
18		nnre 12268	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20		nngt0 12295	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
22		lediv2 12133	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1)))
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1)))
24	12, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1))
25		nncn 12269	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	div1d 12011	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
28	24, 27	breqtrd 5135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ 𝐵)
29	2, 28	eqbrtrd 5131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271   ≤ cle 11272   / cdiv 11899  ℕcn 12261  ℤcz 12619   gcd cgcd 16590  numercnumer 16830  denomcdenom 16831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-gcd 16591  df-numer 16832  df-denom 16833

This theorem is used by:  qden1elz  16854  irrapxlem5  43675