Theorem lcmineqlem21 40909

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem21.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem21	⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Proof of Theorem lcmineqlem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12532	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12531	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	2, 5	nn0mulcld 12536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	6, 2	nn0addcld 12535	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
8	3, 7	reexpcld 14127	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
9	4	nnred 12226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		2rp 12978	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12		2z 12593	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
14	4	nnzd 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
16	11, 15	rpexpcld 14209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
18	9, 17	remulcld 11243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
19		fz1ssnn 13531	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
20		fzfi 13936	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
21		lcmfnncl 16565	. . . . 5 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
22	19, 20, 21	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12226	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
25		lcmineqlem21.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
26		4re 12295	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
28	27, 9, 16	lemul1d 13058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4 ≤ 𝑁 ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
29	25, 28	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
30		2cnd 12289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 2, 6	expaddd 14112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)))
32		sq2 14160	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
33	32	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4)
34	31, 33	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4))
35	16	rpcnd 13017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36	27	recnd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcomd 11234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑(2 · 𝑁)) · 4) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
38	34, 37	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
39	38	breq1d 5158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
40	29, 39	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
41	4	lcmineqlem20 40908	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
42	8, 18, 24, 40, 41	letrd 11370	1 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℝcr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   ≤ cle 11248  ℕcn 12211  2c2 12266  4c4 12268  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℝ⁺crp 12973  ...cfz 13483  ↑cexp 14026  lcmclcmf 16525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-prod 15849  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-lcm 16526  df-lcmf 16527  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-itg 25139  df-0p 25186  df-limc 25382  df-dv 25383

This theorem is referenced by:  lcmineqlem22  40910