![]() |
Mathbox for metakunt |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lcmineqlem21 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem21.1 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
lcmineqlem21.2 | โข (๐ โ 4 โค ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem21 | โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2nn0 12505 | . . . . 5 โข 2 โ โ0 | |
2 | 1 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ 2 โ โ0) |
3 | 2 | nn0red 12549 | . . 3 โข (๐ โ 2 โ โ) |
4 | lcmineqlem21.1 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
5 | 4 | nnnn0d 12548 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
6 | 2, 5 | nn0mulcld 12553 | . . . 4 โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ โ0) |
7 | 6, 2 | nn0addcld 12552 | . . 3 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) + 2) โ โ0) |
8 | 3, 7 | reexpcld 14145 | . 2 โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) โ โ) |
9 | 4 | nnred 12243 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
10 | 2rp 12997 | . . . . . 6 โข 2 โ โ+ | |
11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ 2 โ โ+) |
12 | 2z 12610 | . . . . . . 7 โข 2 โ โค | |
13 | 12 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ 2 โ โค) |
14 | 4 | nnzd 12601 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
15 | 13, 14 | zmulcld 12688 | . . . . 5 โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ โค) |
16 | 11, 15 | rpexpcld 14227 | . . . 4 โข (๐ โ (2โ(2 ยท ๐)) โ โ+) |
17 | 16 | rpred 13034 | . . 3 โข (๐ โ (2โ(2 ยท ๐)) โ โ) |
18 | 9, 17 | remulcld 11260 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โ โ) |
19 | fz1ssnn 13550 | . . . . 5 โข (1...((2 ยท ๐) + 1)) โ โ | |
20 | fzfi 13955 | . . . . 5 โข (1...((2 ยท ๐) + 1)) โ Fin | |
21 | lcmfnncl 16585 | . . . . 5 โข (((1...((2 ยท ๐) + 1)) โ โ โง (1...((2 ยท ๐) + 1)) โ Fin) โ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ) | |
22 | 19, 20, 21 | mp2an 691 | . . . 4 โข (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ |
23 | 22 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ) |
24 | 23 | nnred 12243 | . 2 โข (๐ โ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ) |
25 | lcmineqlem21.2 | . . . 4 โข (๐ โ 4 โค ๐) | |
26 | 4re 12312 | . . . . . 6 โข 4 โ โ | |
27 | 26 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ 4 โ โ) |
28 | 27, 9, 16 | lemul1d 13077 | . . . 4 โข (๐ โ (4 โค ๐ โ (4 ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))))) |
29 | 25, 28 | mpbid 231 | . . 3 โข (๐ โ (4 ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐)))) |
30 | 2cnd 12306 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 2 โ โ) | |
31 | 30, 2, 6 | expaddd 14130 | . . . . . 6 โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) = ((2โ(2 ยท ๐)) ยท (2โ2))) |
32 | sq2 14178 | . . . . . . 7 โข (2โ2) = 4 | |
33 | 32 | oveq2i 7425 | . . . . . 6 โข ((2โ(2 ยท ๐)) ยท (2โ2)) = ((2โ(2 ยท ๐)) ยท 4) |
34 | 31, 33 | eqtrdi 2783 | . . . . 5 โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) = ((2โ(2 ยท ๐)) ยท 4)) |
35 | 16 | rpcnd 13036 | . . . . . 6 โข (๐ โ (2โ(2 ยท ๐)) โ โ) |
36 | 27 | recnd 11258 | . . . . . 6 โข (๐ โ 4 โ โ) |
37 | 35, 36 | mulcomd 11251 | . . . . 5 โข (๐ โ ((2โ(2 ยท ๐)) ยท 4) = (4 ยท (2โ(2 ยท ๐)))) |
38 | 34, 37 | eqtrd 2767 | . . . 4 โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) = (4 ยท (2โ(2 ยท ๐)))) |
39 | 38 | breq1d 5152 | . . 3 โข (๐ โ ((2โ((2 ยท ๐) + 2)) โค (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โ (4 ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))))) |
40 | 29, 39 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) โค (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐)))) |
41 | 4 | lcmineqlem20 41443 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
42 | 8, 18, 24, 40, 41 | letrd 11387 | 1 โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wcel 2099 โ wss 3944 class class class wbr 5142 โcfv 6542 (class class class)co 7414 Fincfn 8953 โcr 11123 1c1 11125 + caddc 11127 ยท cmul 11129 โค cle 11265 โcn 12228 2c2 12283 4c4 12285 โ0cn0 12488 โคcz 12574 โ+crp 12992 ...cfz 13502 โcexp 14044 lcmclcmf 16545 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-inf2 9650 ax-cc 10444 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202 ax-addf 11203 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-symdif 4238 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-disj 5108 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7677 df-ofr 7678 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8158 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-2o 8479 df-oadd 8482 df-omul 8483 df-er 8716 df-map 8836 df-pm 8837 df-ixp 8906 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-fsupp 9376 df-fi 9420 df-sup 9451 df-inf 9452 df-oi 9519 df-dju 9910 df-card 9948 df-acn 9951 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11888 df-nn 12229 df-2 12291 df-3 12292 df-4 12293 df-5 12294 df-6 12295 df-7 12296 df-8 12297 df-9 12298 df-n0 12489 df-z 12575 df-dec 12694 df-uz 12839 df-q 12949 df-rp 12993 df-xneg 13110 df-xadd 13111 df-xmul 13112 df-ioo 13346 df-ioc 13347 df-ico 13348 df-icc 13349 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-fl 13775 df-mod 13853 df-seq 13985 df-exp 14045 df-fac 14251 df-bc 14280 df-hash 14308 df-cj 15064 df-re 15065 df-im 15066 df-sqrt 15200 df-abs 15201 df-limsup 15433 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15651 df-prod 15868 df-dvds 16217 df-gcd 16455 df-lcm 16546 df-lcmf 16547 df-struct 17101 df-sets 17118 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-ress 17195 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-hom 17242 df-cco 17243 df-rest 17389 df-topn 17390 df-0g 17408 df-gsum 17409 df-topgen 17410 df-pt 17411 df-prds 17414 df-xrs 17469 df-qtop 17474 df-imas 17475 df-xps 17477 df-mre 17551 df-mrc 17552 df-acs 17554 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-submnd 18726 df-mulg 19008 df-cntz 19252 df-cmn 19721 df-psmet 21251 df-xmet 21252 df-met 21253 df-bl 21254 df-mopn 21255 df-fbas 21256 df-fg 21257 df-cnfld 21260 df-top 22770 df-topon 22787 df-topsp 22809 df-bases 22823 df-cld 22897 df-ntr 22898 df-cls 22899 df-nei 22976 df-lp 23014 df-perf 23015 df-cn 23105 df-cnp 23106 df-haus 23193 df-cmp 23265 df-tx 23440 df-hmeo 23633 df-fil 23724 df-fm 23816 df-flim 23817 df-flf 23818 df-xms 24200 df-ms 24201 df-tms 24202 df-cncf 24772 df-ovol 25367 df-vol 25368 df-mbf 25522 df-itg1 25523 df-itg2 25524 df-ibl 25525 df-itg 25526 df-0p 25573 df-limc 25769 df-dv 25770 |
This theorem is referenced by: lcmineqlem22 41445 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |