Theorem lcmineqlem21 40362

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem21.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem21	⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Proof of Theorem lcmineqlem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12355	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12399	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	2, 5	nn0mulcld 12403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	6, 2	nn0addcld 12402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
8	3, 7	reexpcld 13986	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
9	4	nnred 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		2rp 12840	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12		2z 12457	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
14	4	nnzd 12530	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
16	11, 15	rpexpcld 14067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
18	9, 17	remulcld 11110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
19		fz1ssnn 13392	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
20		fzfi 13797	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
21		lcmfnncl 16431	. . . . 5 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
22	19, 20, 21	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12093	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
25		lcmineqlem21.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
26		4re 12162	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
28	27, 9, 16	lemul1d 12920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4 ≤ 𝑁 ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
29	25, 28	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
30		2cnd 12156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 2, 6	expaddd 13971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)))
32		sq2 14019	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
33	32	oveq2i 7352	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4)
34	31, 33	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4))
35	16	rpcnd 12879	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36	27	recnd 11108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcomd 11101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑(2 · 𝑁)) · 4) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
38	34, 37	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
39	38	breq1d 5106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
40	29, 39	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
41	4	lcmineqlem20 40361	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
42	8, 18, 24, 40, 41	letrd 11237	1 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  Fincfn 8808  ℝcr 10975  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981   ≤ cle 11115  ℕcn 12078  2c2 12133  4c4 12135  ℕ₀cn0 12338  ℤcz 12424  ℝ⁺crp 12835  ...cfz 13344  ↑cexp 13887  lcmclcmf 16391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cc 10296  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055  ax-mulf 11056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-symdif 4193  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5062  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-ofr 7600  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-oadd 8375  df-omul 8376  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-acn 9803  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ioc 13189  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-fac 14093  df-bc 14122  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-prod 15715  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-lcm 16392  df-lcmf 16393  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-fbas 20699  df-fg 20700  df-cnfld 20703  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-cld 22275  df-ntr 22276  df-cls 22277  df-nei 22354  df-lp 22392  df-perf 22393  df-cn 22483  df-cnp 22484  df-haus 22571  df-cmp 22643  df-tx 22818  df-hmeo 23011  df-fil 23102  df-fm 23194  df-flim 23195  df-flf 23196  df-xms 23578  df-ms 23579  df-tms 23580  df-cncf 24146  df-ovol 24733  df-vol 24734  df-mbf 24888  df-itg1 24889  df-itg2 24890  df-ibl 24891  df-itg 24892  df-0p 24939  df-limc 25135  df-dv 25136

This theorem is referenced by:  lcmineqlem22  40363