Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem21 41572
Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem21.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem21.2 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem21 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))))

Proof of Theorem lcmineqlem21
StepHypRef Expression
1 2nn0 12514 . . . . 5 2 โˆˆ โ„•0
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
32nn0red 12558 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 lcmineqlem21.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnnn0d 12557 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
62, 5nn0mulcld 12562 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
76, 2nn0addcld 12561 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 2) โˆˆ โ„•0)
83, 7reexpcld 14154 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) โˆˆ โ„)
94nnred 12252 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
10 2rp 13006 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
1110a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
12 2z 12619 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
1312a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
144nnzd 12610 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1513, 14zmulcld 12697 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1611, 15rpexpcld 14236 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„+)
1716rpred 13043 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
189, 17remulcld 11269 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„)
19 fz1ssnn 13559 . . . . 5 (1...((2 ยท ๐‘) + 1)) โІ โ„•
20 fzfi 13964 . . . . 5 (1...((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ Fin
21 lcmfnncl 16594 . . . . 5 (((1...((2 ยท ๐‘) + 1)) โІ โ„• โˆง (1...((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ Fin) โ†’ (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„•)
2219, 20, 21mp2an 690 . . . 4 (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„•
2322a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12252 . 2 (๐œ‘ โ†’ (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„)
25 lcmineqlem21.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰ค ๐‘)
26 4re 12321 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„
2726a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
2827, 9, 16lemul1d 13086 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (4 โ‰ค ๐‘ โ†” (4 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค (๐‘ ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘)))))
2925, 28mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค (๐‘ ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))))
30 2cnd 12315 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3130, 2, 6expaddd 14139 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘)) ยท (2โ†‘2)))
32 sq2 14187 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = 4
3332oveq2i 7424 . . . . . 6 ((2โ†‘(2 ยท ๐‘)) ยท (2โ†‘2)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘)) ยท 4)
3431, 33eqtrdi 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) = ((2โ†‘(2 ยท ๐‘)) ยท 4))
3516rpcnd 13045 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
3627recnd 11267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
3735, 36mulcomd 11260 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(2 ยท ๐‘)) ยท 4) = (4 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))))
3834, 37eqtrd 2765 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) = (4 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))))
3938breq1d 5154 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) โ‰ค (๐‘ ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))) โ†” (4 ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค (๐‘ ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘)))))
4029, 39mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) โ‰ค (๐‘ ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))))
414lcmineqlem20 41571 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (2โ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))))
428, 18, 24, 40, 41letrd 11396 1 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ๐‘) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3941   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  โ„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โ‰ค cle 11274  โ„•cn 12237  2c2 12292  4c4 12294  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  โ„+crp 13001  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  lcmclcmf 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-symdif 4238  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-prod 15877  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-lcm 16555  df-lcmf 16556  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  lcmineqlem22  41573
  Copyright terms: Public domain W3C validator