Theorem lcmineqlem21 42915

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem21.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem21	⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Proof of Theorem lcmineqlem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12590	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	2, 5	nn0mulcld 12594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	6, 2	nn0addcld 12593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
8	3, 7	reexpcld 14227	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
9	4	nnred 12272	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		2rp 13047	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12		2z 12650	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
14	4	nnzd 12641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
16	11, 15	rpexpcld 14311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
18	9, 17	remulcld 11263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
19		fz1ssnn 13610	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
20		fzfi 14036	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
21		lcmfnncl 16719	. . . . 5 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
22	19, 20, 21	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12272	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
25		lcmineqlem21.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
26		4re 12349	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
28	27, 9, 16	lemul1d 13129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4 ≤ 𝑁 ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
29	25, 28	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
30		2cnd 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 2, 6	expaddd 14212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)))
32		sq2 14261	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
33	32	oveq2i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4)
34	31, 33	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4))
35	16	rpcnd 13088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36	27	recnd 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcomd 11254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑(2 · 𝑁)) · 4) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
38	34, 37	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
39	38	breq1d 5113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
40	29, 39	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
41	4	lcmineqlem20 42914	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
42	8, 18, 24, 40, 41	letrd 11391	1 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   ≤ cle 11268  ℕcn 12257  2c2 12319  4c4 12321  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13042  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  lcmclcmf 16679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-prod 15993  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-lcm 16680  df-lcmf 16681  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847  df-itg1 25848  df-itg2 25849  df-ibl 25850  df-itg 25851  df-0p 25898  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  lcmineqlem22  42916