Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem21 39488
 Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem21.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem21.2 (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem21 (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Proof of Theorem lcmineqlem21
StepHypRef Expression
1 2nn0 11920 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
32nn0red 11964 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 lcmineqlem21.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11963 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
62, 5nn0mulcld 11968 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
76, 2nn0addcld 11967 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
83, 7reexpcld 13543 . 2 (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
94nnred 11658 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
10 2rp 12402 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12 2z 12022 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
144nnzd 12094 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1513, 14zmulcld 12101 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
1611, 15rpexpcld 13624 . . . 4 (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
1716rpred 12439 . . 3 (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
189, 17remulcld 10678 . 2 (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
19 fz1ssnn 12953 . . . . 5 (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
20 fzfi 13355 . . . . 5 (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
21 lcmfnncl 15983 . . . . 5 (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
2219, 20, 21mp2an 691 . . . 4 (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
2322a1i 11 . . 3 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
2423nnred 11658 . 2 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
25 lcmineqlem21.2 . . . 4 (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
26 4re 11727 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
2827, 9, 16lemul1d 12482 . . . 4 (𝜑 → (4 ≤ 𝑁 ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
2925, 28mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
30 2cnd 11721 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
3130, 2, 6expaddd 13528 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)))
32 sq2 13576 . . . . . . 7 (2↑2) = 4
3332oveq2i 7156 . . . . . 6 ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4)
3431, 33eqtrdi 2849 . . . . 5 (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4))
3516rpcnd 12441 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
3627recnd 10676 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
3735, 36mulcomd 10669 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(2 · 𝑁)) · 4) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
3834, 37eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
3938breq1d 5044 . . 3 (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
4029, 39mpbird 260 . 2 (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
414lcmineqlem20 39487 . 2 (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
428, 18, 24, 40, 41letrd 10804 1 (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Fincfn 8510  ℝcr 10543  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549   ≤ cle 10683  ℕcn 11643  2c2 11698  4c4 11700  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℝ+crp 12397  ...cfz 12905  ↑cexp 13445  lcmclcmf 15943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cc 9864  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4172  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-disj 5000  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-limsup 14840  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-prod 15272  df-dvds 15620  df-gcd 15854  df-lcm 15944  df-lcmf 15945  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-lp 21782  df-perf 21783  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-haus 21961  df-cmp 22033  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-ovol 24109  df-vol 24110  df-mbf 24264  df-itg1 24265  df-itg2 24266  df-ibl 24267  df-itg 24268  df-0p 24315  df-limc 24510  df-dv 24511 This theorem is referenced by:  lcmineqlem22  39489
 Copyright terms: Public domain W3C validator