Theorem lcmineqlem21 42022

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem21.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem21.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem21	⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Proof of Theorem lcmineqlem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12419	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12464	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem21.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	2, 5	nn0mulcld 12468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	6, 2	nn0addcld 12467	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
8	3, 7	reexpcld 14088	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
9	4	nnred 12161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		2rp 12916	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12		2z 12525	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
14	4	nnzd 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 12604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
16	11, 15	rpexpcld 14172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
18	9, 17	remulcld 11164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
19		fz1ssnn 13476	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
20		fzfi 13897	. . . . 5 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
21		lcmfnncl 16558	. . . . 5 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
22	19, 20, 21	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12161	. 2 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
25		lcmineqlem21.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
26		4re 12230	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
28	27, 9, 16	lemul1d 12998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4 ≤ 𝑁 ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
29	25, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
30		2cnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 2, 6	expaddd 14073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)))
32		sq2 14122	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
33	32	oveq2i 7364	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2 · 𝑁)) · (2↑2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4)
34	31, 33	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = ((2↑(2 · 𝑁)) · 4))
35	16	rpcnd 12957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36	27	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcomd 11155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑(2 · 𝑁)) · 4) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
38	34, 37	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) = (4 · (2↑(2 · 𝑁))))
39	38	breq1d 5105	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ↔ (4 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁)))))
40	29, 39	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))))
41	4	lcmineqlem20 42021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (2↑(2 · 𝑁))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
42	8, 18, 24, 40, 41	letrd 11291	1 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  2c2 12201  4c4 12203  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12911  ...cfz 13428  ↑cexp 13986  lcmclcmf 16518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-lcm 16519  df-lcmf 16520  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  lcmineqlem22  42023