irrapxlem5 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem irrapxlem5 43440

Description: Lemma for irrapx1 43442. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
irrapxlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem irrapxlem5 Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
2	1	rpreccld 13066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
3	2	rprege0d 13063	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)))
4		flge0nn0 13849	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
5		nn0p1nn 12539	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
7		irrapxlem4 43439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
8	6, 7	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
9		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℕ)
10		nnq 12982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℚ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℚ)
12		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
13		nnq 12982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℚ)
15	12	nnne0d 12282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≠ 0)
16		qdivcl 12990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
18	9	nnrpd 13054	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
19	12	nnrpd 13054	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	rpdivcld 13073	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ⁺)
21	20	rpgt0d 13059	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑏 / 𝑎))
22	12	nnred 12244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	12	nnnn0d 12561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 12564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
25	22, 24	absidd 15470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
26	25	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 = (abs‘𝑎))
27	26	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
28	12	nncnd 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
29		qre 12973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
30	17, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
31		rpre 13021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	30, 32	resubcld 11638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℂ)
35	28, 34	absmuld 15504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
36	27, 35	eqtr4d 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
37		qcn 12983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
38	17, 37	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
39		rpcn 13023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	28, 38, 40	subdid 11666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)))
42	9	nncnd 12245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℂ)
43	42, 28, 15	divcan2d 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) = 𝑏)
44	28, 40	mulcomd 11226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑎))
45	43, 44	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
46	41, 45	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
47	46	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))))
48	32, 22	remulcld 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℂ)
50	42, 49	abssubd 15503	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
51	36, 47, 50	3eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
52	9	nnred 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ)
53	48, 52	resubcld 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) ∈ ℝ)
56		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
57	56	rprecred 13067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
58	56	rpreccld 13066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpge0d 13060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (1 / 𝐵))
60	57, 59, 4	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
61	60, 5	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
62	61	nnrpd 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ⁺)
63	62, 19	ifcld 4536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ⁺)
64	63	rprecred 13067	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ∈ ℝ)
65	56	rpred 13056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	22, 65	remulcld 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐵) ∈ ℝ)
67		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
68	58	rprecred 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ∈ ℝ)
69	61	nnred 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
70	69, 22	ifcld 4536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ)
71		fllep1 13830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 𝐵) ∈ ℝ → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
72	57, 71	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
73		max2 13209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
74	22, 69, 73	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
75	57, 69, 70, 72, 74	letrd 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
76	58, 63	lerecd 13075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵))))
77	75, 76	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵)))
78	65	recnd 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
79	56	rpne0d 13061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ≠ 0)
80	78, 79	recrecd 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
81	78	mullidd 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
82	80, 81	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = (1 · 𝐵))
83	12	nnge1d 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ≤ 𝑎)
84		1red 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ∈ ℝ)
85	84, 22, 56	lemul1d 13099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 ≤ 𝑎 ↔ (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵)))
86	83, 85	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵))
87	82, 86	eqbrtrd 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
88	64, 68, 66, 77, 87	letrd 11363	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
89	55, 64, 66, 67, 88	ltletrd 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (𝑎 · 𝐵))
90	51, 89	eqbrtrd 5134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵))
91	34	abscld 15486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ)
92	12	nngt0d 12281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < 𝑎)
93		ltmul2 12062	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
94	91, 65, 22, 92, 93	syl112anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
95	90, 94	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵)
96	22, 22	remulcld 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
97	22, 15	msqgt0d 11777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑎 · 𝑎))
98	97	gt0ne0d 11774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ≠ 0)
99	96, 98	rereccld 12038	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ)
100		qdencl 16796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
101	17, 100	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
102	101	nnred 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ)
103	102, 102	remulcld 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ)
104	101	nnne0d 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≠ 0)
105	102, 104	msqgt0d 11777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
106	105	gt0ne0d 11774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≠ 0)
107	103, 106	rereccld 12038	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∈ ℝ)
108	22, 15	rereccld 12038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
109		max1 13207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
110	22, 69, 109	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
111	19, 63	lerecd 13075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎)))
112	110, 111	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎))
113	55, 64, 108, 67, 112	ltletrd 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / 𝑎))
114	28, 28, 28, 15, 15	divdiv1d 12018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)))
115	28, 15	dividd 11985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
116	115	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (1 / 𝑎))
117	96	recnd 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℂ)
118	28, 117, 98	divrecd 11990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)) = (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
119	114, 116, 118	3eqtr3rd 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))) = (1 / 𝑎))
120	113, 51, 119	3brtr4d 5144	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
121		ltmul2 12062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
122	91, 99, 22, 92, 121	syl112anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
123	120, 122	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)))
124	9	nnzd 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℤ)
125		divdenle 16804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
126	124, 12, 125	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
127	101	nnnn0d 12561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ₀)
128	127	nn0ge0d 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
129		le2msq 12111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎)) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
130	102, 128, 22, 24, 129	syl22anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
131	126, 130	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎))
132		lerec 12094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∧ ((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑎 · 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
133	103, 105, 96, 97, 132	syl22anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
134	131, 133	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
135	91, 99, 107, 123, 134	ltletrd 11366	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
136	101	nncnd 12245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ)
137		2nn0 12517	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
138		expneg 14101	. . . . . . . 8 ⊢ (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
139	136, 137, 138	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
140	136	sqvald 14175	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
141	140	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
142	139, 141	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
143	135, 142	breqtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
144		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑏 / 𝑎)))
145		fvoveq1 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)))
146	145	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵))
147		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (denom‘𝑥) = (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
148	147	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((denom‘𝑥)↑-2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
149	145, 148	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2) ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2)))
150	144, 146, 149	3anbi123d 1462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)) ↔ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))))
151	150	rspcev 3590	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ ∧ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
152	17, 21, 95, 143, 151	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
153	152	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
154	153	rexlimdvva 3228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
155	8, 154	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1101 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 ∃wrex 3095 ifcif 4489 class class class wbr 5110 ‘cfv 6534 (class class class)co 7408 ℂcc 11094 ℝcr 11095 0cc0 11096 1c1 11097 + caddc 11099 · cmul 11101 < clt 11239 ≤ cle 11240 − cmin 11437 -cneg 11438 / cdiv 11867 ℕcn 12229 2c2 12291 ℕ₀cn0 12500 ℤcz 12587 ℚcq 12968 ℝ⁺crp 13012 ⌊cfl 13819 ↑cexp 14093 abscabs 15281 denomcdenom 16789

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-rep 5239 ax-sep 5258 ax-nul 5268 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7730 ax-cnex 11152 ax-resscn 11153 ax-1cn 11154 ax-icn 11155 ax-addcl 11156 ax-addrcl 11157 ax-mulcl 11158 ax-mulrcl 11159 ax-mulcom 11160 ax-addass 11161 ax-mulass 11162 ax-distr 11163 ax-i2m1 11164 ax-1ne0 11165 ax-1rid 11166 ax-rnegex 11167 ax-rrecex 11168 ax-cnre 11169 ax-pre-lttri 11170 ax-pre-lttrn 11171 ax-pre-ltadd 11172 ax-pre-mulgt0 11173 ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4874 df-int 4914 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6300 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6490 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7365 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-oadd 8453 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9398 df-inf 9399 df-card 9921 df-pnf 11241 df-mnf 11242 df-xr 11243 df-ltxr 11244 df-le 11245 df-sub 11439 df-neg 11440 df-div 11868 df-nn 12230 df-2 12299 df-3 12300 df-n0 12501 df-xnn0 12574 df-z 12588 df-uz 12859 df-q 12969 df-rp 13013 df-ico 13374 df-fz 13532 df-fl 13821 df-mod 13899 df-seq 14034 df-exp 14094 df-hash 14363 df-cj 15146 df-re 15147 df-im 15148 df-sqrt 15282 df-abs 15283 df-dvds 16307 df-gcd 16549 df-numer 16790 df-denom 16791

This theorem is referenced by: irrapxlem6 43441

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