irrapxlem5 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem irrapxlem5 43812

Description: Lemma for irrapx1 43814. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
irrapxlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem irrapxlem5 Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
2	1	rpreccld 13167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
3	2	rprege0d 13164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)))
4		flge0nn0 13953	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
5		nn0p1nn 12638	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
7		irrapxlem4 43811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
8	6, 7	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
9		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℕ)
10		nnq 13082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℚ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℚ)
12		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
13		nnq 13082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℚ)
15	12	nnne0d 12381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≠ 0)
16		qdivcl 13091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
18	9	nnrpd 13155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
19	12	nnrpd 13155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	rpdivcld 13174	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ⁺)
21	20	rpgt0d 13160	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑏 / 𝑎))
22	12	nnred 12343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	12	nnnn0d 12660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
25	22, 24	absidd 15583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
26	25	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 = (abs‘𝑎))
27	26	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
28	12	nncnd 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
29		qre 13073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
30	17, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
31		rpre 13122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	30, 32	resubcld 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℂ)
35	28, 34	absmuld 15617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
36	27, 35	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
37		qcn 13083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
38	17, 37	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
39		rpcn 13124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	28, 38, 40	subdid 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)))
42	9	nncnd 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℂ)
43	42, 28, 15	divcan2d 12088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) = 𝑏)
44	28, 40	mulcomd 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑎))
45	43, 44	oveq12d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
46	41, 45	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
47	46	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))))
48	32, 22	remulcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℂ)
50	42, 49	abssubd 15616	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
51	36, 47, 50	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
52	9	nnred 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ)
53	48, 52	resubcld 11737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) ∈ ℝ)
56		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
57	56	rprecred 13168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
58	56	rpreccld 13167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpge0d 13161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (1 / 𝐵))
60	57, 59, 4	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
61	60, 5	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
62	61	nnrpd 13155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ⁺)
63	62, 19	ifcld 4529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ⁺)
64	63	rprecred 13168	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ∈ ℝ)
65	56	rpred 13157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	22, 65	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐵) ∈ ℝ)
67		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
68	58	rprecred 13168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ∈ ℝ)
69	61	nnred 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
70	69, 22	ifcld 4529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ)
71		fllep1 13934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 𝐵) ∈ ℝ → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
72	57, 71	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
73		max2 13310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
74	22, 69, 73	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
75	57, 69, 70, 72, 74	letrd 11460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
76	58, 63	lerecd 13176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵))))
77	75, 76	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵)))
78	65	recnd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
79	56	rpne0d 13162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ≠ 0)
80	78, 79	recrecd 12083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
81	78	mullidd 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
82	80, 81	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = (1 · 𝐵))
83	12	nnge1d 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ≤ 𝑎)
84		1red 11302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ∈ ℝ)
85	84, 22, 56	lemul1d 13200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 ≤ 𝑎 ↔ (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵)))
86	83, 85	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵))
87	82, 86	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
88	64, 68, 66, 77, 87	letrd 11460	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
89	55, 64, 66, 67, 88	ltletrd 11463	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (𝑎 · 𝐵))
90	51, 89	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵))
91	34	abscld 15599	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ)
92	12	nngt0d 12380	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < 𝑎)
93		ltmul2 12161	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
94	91, 65, 22, 92, 93	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
95	90, 94	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵)
96	22, 22	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
97	22, 15	msqgt0d 11876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑎 · 𝑎))
98	97	gt0ne0d 11873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ≠ 0)
99	96, 98	rereccld 12137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ)
100		qdencl 16910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
101	17, 100	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
102	101	nnred 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ)
103	102, 102	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ)
104	101	nnne0d 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≠ 0)
105	102, 104	msqgt0d 11876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
106	105	gt0ne0d 11873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≠ 0)
107	103, 106	rereccld 12137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∈ ℝ)
108	22, 15	rereccld 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
109		max1 13308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
110	22, 69, 109	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
111	19, 63	lerecd 13176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎)))
112	110, 111	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎))
113	55, 64, 108, 67, 112	ltletrd 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / 𝑎))
114	28, 28, 28, 15, 15	divdiv1d 12117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)))
115	28, 15	dividd 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
116	115	oveq1d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (1 / 𝑎))
117	96	recnd 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℂ)
118	28, 117, 98	divrecd 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)) = (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
119	114, 116, 118	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))) = (1 / 𝑎))
120	113, 51, 119	3brtr4d 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
121		ltmul2 12161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
122	91, 99, 22, 92, 121	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
123	120, 122	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)))
124	9	nnzd 12712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℤ)
125		divdenle 16918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
126	124, 12, 125	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
127	101	nnnn0d 12660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ₀)
128	127	nn0ge0d 12663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
129		le2msq 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎)) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
130	102, 128, 22, 24, 129	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
131	126, 130	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎))
132		lerec 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∧ ((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑎 · 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
133	103, 105, 96, 97, 132	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
134	131, 133	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
135	91, 99, 107, 123, 134	ltletrd 11463	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
136	101	nncnd 12344	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ)
137		2nn0 12616	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
138		expneg 14205	. . . . . . . 8 ⊢ (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
139	136, 137, 138	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
140	136	sqvald 14279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
141	140	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
142	139, 141	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
143	135, 142	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
144		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑏 / 𝑎)))
145		fvoveq1 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)))
146	145	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵))
147		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (denom‘𝑥) = (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
148	147	oveq1d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((denom‘𝑥)↑-2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
149	145, 148	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2) ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2)))
150	144, 146, 149	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)) ↔ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))))
151	150	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ ∧ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
152	17, 21, 95, 143, 151	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
153	152	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
154	153	rexlimdvva 3220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
155	8, 154	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∃wrex 3087 ifcif 4482 class class class wbr 5103 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 ℂcc 11191 ℝcr 11192 0cc0 11193 1c1 11194 + caddc 11196 · cmul 11198 < clt 11336 ≤ cle 11337 − cmin 11534 -cneg 11535 / cdiv 11966 ℕcn 12328 2c2 12390 ℕ₀cn0 12599 ℤcz 12686 ℚcq 13068 ℝ⁺crp 13113 ⌊cfl 13923 ↑cexp 14197 abscabs 15394 denomcdenom 16903

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-oadd 8473 df-er 8710 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-sup 9427 df-inf 9428 df-card 10013 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-3 12399 df-n0 12600 df-xnn0 12673 df-z 12687 df-uz 12959 df-q 13069 df-rp 13114 df-ico 13475 df-fz 13633 df-fl 13925 df-mod 14003 df-seq 14138 df-exp 14198 df-hash 14468 df-cj 15259 df-re 15260 df-im 15261 df-sqrt 15395 df-abs 15396 df-dvds 16416 df-gcd 16658 df-numer 16904 df-denom 16905

This theorem is used by: irrapxlem6 43813

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