irrapxlem5 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem irrapxlem5 43364

Description: Lemma for irrapx1 43366. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
irrapxlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem irrapxlem5 Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
2	1	rpreccld 13041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
3	2	rprege0d 13038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)))
4		flge0nn0 13824	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
5		nn0p1nn 12514	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
7		irrapxlem4 43363	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
8	6, 7	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
9		simplrr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℕ)
10		nnq 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℚ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℚ)
12		simplrl 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
13		nnq 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℚ)
15	12	nnne0d 12257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≠ 0)
16		qdivcl 12965	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
18	9	nnrpd 13029	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
19	12	nnrpd 13029	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	rpdivcld 13048	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ⁺)
21	20	rpgt0d 13034	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑏 / 𝑎))
22	12	nnred 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	12	nnnn0d 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
25	22, 24	absidd 15441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
26	25	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 = (abs‘𝑎))
27	26	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
28	12	nncnd 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
29		qre 12948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
31		rpre 12996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	30, 32	resubcld 11609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℂ)
35	28, 34	absmuld 15475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
36	27, 35	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
37		qcn 12958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
38	17, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
39		rpcn 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	28, 38, 40	subdid 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)))
42	9	nncnd 12220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℂ)
43	42, 28, 15	divcan2d 11963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) = 𝑏)
44	28, 40	mulcomd 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑎))
45	43, 44	oveq12d 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
46	41, 45	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
47	46	fveq2d 6866	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))))
48	32, 22	remulcld 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℂ)
50	42, 49	abssubd 15474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
51	36, 47, 50	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
52	9	nnred 12219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ)
53	48, 52	resubcld 11609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15457	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) ∈ ℝ)
56		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
57	56	rprecred 13042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
58	56	rpreccld 13041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpge0d 13035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (1 / 𝐵))
60	57, 59, 4	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
61	60, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
62	61	nnrpd 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ⁺)
63	62, 19	ifcld 4524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ⁺)
64	63	rprecred 13042	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ∈ ℝ)
65	56	rpred 13031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	22, 65	remulcld 11206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐵) ∈ ℝ)
67		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
68	58	rprecred 13042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ∈ ℝ)
69	61	nnred 12219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
70	69, 22	ifcld 4524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ)
71		fllep1 13805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 𝐵) ∈ ℝ → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
72	57, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
73		max2 13184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
74	22, 69, 73	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
75	57, 69, 70, 72, 74	letrd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
76	58, 63	lerecd 13050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵))))
77	75, 76	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵)))
78	65	recnd 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
79	56	rpne0d 13036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ≠ 0)
80	78, 79	recrecd 11958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
81	78	mullidd 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
82	80, 81	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = (1 · 𝐵))
83	12	nnge1d 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ≤ 𝑎)
84		1red 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ∈ ℝ)
85	84, 22, 56	lemul1d 13074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 ≤ 𝑎 ↔ (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵)))
86	83, 85	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵))
87	82, 86	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
88	64, 68, 66, 77, 87	letrd 11334	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
89	55, 64, 66, 67, 88	ltletrd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (𝑎 · 𝐵))
90	51, 89	eqbrtrd 5119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵))
91	34	abscld 15457	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ)
92	12	nngt0d 12256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < 𝑎)
93		ltmul2 12036	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
94	91, 65, 22, 92, 93	syl112anc 1392	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
95	90, 94	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵)
96	22, 22	remulcld 11206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
97	22, 15	msqgt0d 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑎 · 𝑎))
98	97	gt0ne0d 11745	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ≠ 0)
99	96, 98	rereccld 12012	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ)
100		qdencl 16767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
101	17, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
102	101	nnred 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ)
103	102, 102	remulcld 11206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ)
104	101	nnne0d 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≠ 0)
105	102, 104	msqgt0d 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
106	105	gt0ne0d 11745	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≠ 0)
107	103, 106	rereccld 12012	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∈ ℝ)
108	22, 15	rereccld 12012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
109		max1 13182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
110	22, 69, 109	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
111	19, 63	lerecd 13050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎)))
112	110, 111	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎))
113	55, 64, 108, 67, 112	ltletrd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / 𝑎))
114	28, 28, 28, 15, 15	divdiv1d 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)))
115	28, 15	dividd 11959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
116	115	oveq1d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (1 / 𝑎))
117	96	recnd 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℂ)
118	28, 117, 98	divrecd 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)) = (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
119	114, 116, 118	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))) = (1 / 𝑎))
120	113, 51, 119	3brtr4d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
121		ltmul2 12036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
122	91, 99, 22, 92, 121	syl112anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
123	120, 122	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)))
124	9	nnzd 12588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℤ)
125		divdenle 16775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
126	124, 12, 125	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
127	101	nnnn0d 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ₀)
128	127	nn0ge0d 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
129		le2msq 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎)) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
130	102, 128, 22, 24, 129	syl22anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
131	126, 130	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎))
132		lerec 12069	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∧ ((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑎 · 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
133	103, 105, 96, 97, 132	syl22anc 849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
134	131, 133	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
135	91, 99, 107, 123, 134	ltletrd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
136	101	nncnd 12220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ)
137		2nn0 12492	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
138		expneg 14076	. . . . . . . 8 ⊢ (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
139	136, 137, 138	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
140	136	sqvald 14150	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
141	140	oveq2d 7407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
142	139, 141	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
143	135, 142	breqtrrd 5125	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
144		breq2 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑏 / 𝑎)))
145		fvoveq1 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)))
146	145	breq1d 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵))
147		fveq2 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (denom‘𝑥) = (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
148	147	oveq1d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((denom‘𝑥)↑-2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
149	145, 148	breq12d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2) ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2)))
150	144, 146, 149	3anbi123d 1456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)) ↔ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))))
151	150	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ ∧ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
152	17, 21, 95, 143, 151	syl13anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
153	152	ex 416	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
154	153	rexlimdvva 3218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
155	8, 154	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∧ w3a 1097 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 ∃wrex 3085 ifcif 4477 class class class wbr 5097 ‘cfv 6516 (class class class)co 7391 ℂcc 11065 ℝcr 11066 0cc0 11067 1c1 11068 + caddc 11070 · cmul 11072 < clt 11210 ≤ cle 11211 − cmin 11408 -cneg 11409 / cdiv 11838 ℕcn 12204 2c2 12266 ℕ₀cn0 12475 ℤcz 12562 ℚcq 12943 ℝ⁺crp 12987 ⌊cfl 13794 ↑cexp 14068 abscabs 15252 denomcdenom 16760

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5224 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5319 ax-pr 5387 ax-un 7713 ax-cnex 11123 ax-resscn 11124 ax-1cn 11125 ax-icn 11126 ax-addcl 11127 ax-addrcl 11128 ax-mulcl 11129 ax-mulrcl 11130 ax-mulcom 11131 ax-addass 11132 ax-mulass 11133 ax-distr 11134 ax-i2m1 11135 ax-1ne0 11136 ax-1rid 11137 ax-rnegex 11138 ax-rrecex 11139 ax-cnre 11140 ax-pre-lttri 11141 ax-pre-lttrn 11142 ax-pre-ltadd 11143 ax-pre-mulgt0 11144 ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4863 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5538 df-eprel 5543 df-po 5551 df-so 5552 df-fr 5596 df-we 5598 df-xp 5649 df-rel 5650 df-cnv 5651 df-co 5652 df-dm 5653 df-rn 5654 df-res 5655 df-ima 5656 df-pred 6283 df-ord 6344 df-on 6345 df-lim 6346 df-suc 6347 df-iota 6472 df-fun 6518 df-fn 6519 df-f 6520 df-f1 6521 df-fo 6522 df-f1o 6523 df-fv 6524 df-riota 7348 df-ov 7394 df-oprab 7395 df-mpo 7396 df-om 7842 df-1st 7965 df-2nd 7966 df-frecs 8256 df-wrecs 8287 df-recs 8336 df-rdg 8375 df-1o 8431 df-oadd 8435 df-er 8672 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-sup 9382 df-inf 9383 df-card 9891 df-pnf 11212 df-mnf 11213 df-xr 11214 df-ltxr 11215 df-le 11216 df-sub 11410 df-neg 11411 df-div 11839 df-nn 12205 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12476 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-uz 12834 df-q 12944 df-rp 12988 df-ico 13349 df-fz 13507 df-fl 13796 df-mod 13874 df-seq 14009 df-exp 14069 df-hash 14338 df-cj 15117 df-re 15118 df-im 15119 df-sqrt 15253 df-abs 15254 df-dvds 16278 df-gcd 16520 df-numer 16761 df-denom 16762

This theorem is referenced by: irrapxlem6 43365

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