Theorem fourierdlem7 47218

Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem7.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem7.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem7.xlty	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem7.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		fourierdlem7.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
4		fourierdlem7.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5		fourierdlem7.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	4, 6	eqeltrid 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
8		fourierdlem7.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	5, 1	posdifd 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
10	8, 9	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
11	10, 4	breqtrrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
12	11	gt0ne0d 11884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
13	3, 7, 12	redivcld 12149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
14		fourierdlem7.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	1, 14	resubcld 11748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
16	15, 7, 12	redivcld 12149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
17	7, 11	elrpd 13165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		fourierdlem7.xlty	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	14, 2, 1, 18	lesub2dd 11937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≤ (𝐵 − 𝑋))
20	3, 15, 17, 19	lediv1dd 13226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
21		flwordi 13956	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
23	13	flcld 13942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
25	16	flcld 13942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
26	25	zred 12807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
27	24, 26, 17	lemul1d 13211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
28	22, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
29		fourierdlem7.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
31		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
32		oveq2 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌))
33	32	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))
34	33	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)))
35	34	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
36	31, 35	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
37	36	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
38	24, 7	remulcld 11343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
39	2, 38	readdcld 11342	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
40	30, 37, 2, 39	fvmptd 7002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
41	40	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
42	2	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
43	38	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11675	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
45	41, 44	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
46		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
47		oveq2 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
48	47	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
49	48	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
50	49	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
51	46, 50	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
52	51	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
53	26, 7	remulcld 11343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
54	14, 53	readdcld 11342	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
55	30, 52, 14, 54	fvmptd 7002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
56	55	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
57	14	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
58	53	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
59	57, 58	pncan2d 11675	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
60	56, 59	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
61	28, 45, 60	3brtr4d 5136	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ⌊cfl 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936

This theorem is used by:  fourierdlem63  47273