Theorem fourierdlem7 46394

Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem7.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem7.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem7.xlty	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem7.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		fourierdlem7.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
4		fourierdlem7.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5		fourierdlem7.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11569	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	4, 6	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
8		fourierdlem7.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	5, 1	posdifd 11728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
10	8, 9	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
11	10, 4	breqtrrdi 5141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
12	11	gt0ne0d 11705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
13	3, 7, 12	redivcld 11973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
14		fourierdlem7.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	1, 14	resubcld 11569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
16	15, 7, 12	redivcld 11973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
17	7, 11	elrpd 12950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		fourierdlem7.xlty	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	14, 2, 1, 18	lesub2dd 11758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≤ (𝐵 − 𝑋))
20	3, 15, 17, 19	lediv1dd 13011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
21		flwordi 13736	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
23	13	flcld 13722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
25	16	flcld 13722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
26	25	zred 12600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
27	24, 26, 17	lemul1d 12996	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
28	22, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
29		fourierdlem7.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
32		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌))
33	32	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))
34	33	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)))
35	34	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
36	31, 35	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
38	24, 7	remulcld 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
39	2, 38	readdcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
40	30, 37, 2, 39	fvmptd 6950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
41	40	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
42	2	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
43	38	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
45	41, 44	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
46		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
47		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
48	47	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
49	48	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
50	49	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
51	46, 50	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
53	26, 7	remulcld 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
54	14, 53	readdcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
55	30, 52, 14, 54	fvmptd 6950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
56	55	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
57	14	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
58	53	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
59	57, 58	pncan2d 11498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
60	56, 59	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
61	28, 45, 60	3brtr4d 5131	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ⌊cfl 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716

This theorem is referenced by:  fourierdlem63  46449