Theorem fourierdlem7 46152

Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem7.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem7.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem7.xlty	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem7.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		fourierdlem7.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
4		fourierdlem7.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5		fourierdlem7.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	4, 6	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
8		fourierdlem7.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	5, 1	posdifd 11699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
10	8, 9	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
11	10, 4	breqtrrdi 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
12	11	gt0ne0d 11676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
13	3, 7, 12	redivcld 11944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
14		fourierdlem7.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	1, 14	resubcld 11540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
16	15, 7, 12	redivcld 11944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
17	7, 11	elrpd 12926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		fourierdlem7.xlty	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	14, 2, 1, 18	lesub2dd 11729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≤ (𝐵 − 𝑋))
20	3, 15, 17, 19	lediv1dd 12987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
21		flwordi 13711	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
23	13	flcld 13697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
25	16	flcld 13697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
26	25	zred 12572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
27	24, 26, 17	lemul1d 12972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
28	22, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
29		fourierdlem7.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
32		oveq2 7349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌))
33	32	oveq1d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))
34	33	fveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)))
35	34	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
36	31, 35	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
38	24, 7	remulcld 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
39	2, 38	readdcld 11136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
40	30, 37, 2, 39	fvmptd 6931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
41	40	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
42	2	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
43	38	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
45	41, 44	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
46		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
47		oveq2 7349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
48	47	oveq1d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
49	48	fveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
50	49	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
51	46, 50	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
53	26, 7	remulcld 11137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
54	14, 53	readdcld 11136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
55	30, 52, 14, 54	fvmptd 6931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
56	55	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
57	14	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
58	53	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
59	57, 58	pncan2d 11469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
60	56, 59	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
61	28, 45, 60	3brtr4d 5118	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339   / cdiv 11769  ⌊cfl 13689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fl 13691

This theorem is referenced by:  fourierdlem63  46207