Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem7 45561
Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem7.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fourierdlem7.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fourierdlem7.altb (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
fourierdlem7.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem7.e ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
fourierdlem7.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
fourierdlem7.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
fourierdlem7.xlty (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐‘ฅ,๐‘Œ   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ธ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fourierdlem7
StepHypRef Expression
1 fourierdlem7.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 fourierdlem7.y . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
31, 2resubcld 11667 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
4 fourierdlem7.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
5 fourierdlem7.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
61, 5resubcld 11667 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
74, 6eqeltrid 2829 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
8 fourierdlem7.altb . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
95, 1posdifd 11826 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
108, 9mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
1110, 4breqtrrdi 5186 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‡)
1211gt0ne0d 11803 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
133, 7, 12redivcld 12067 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
14 fourierdlem7.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
151, 14resubcld 11667 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
1615, 7, 12redivcld 12067 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
177, 11elrpd 13040 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
18 fourierdlem7.xlty . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
1914, 2, 1, 18lesub2dd 11856 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐‘‹))
203, 15, 17, 19lediv1dd 13101 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡))
21 flwordi 13804 . . . 4 ((((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)))
2213, 16, 20, 21syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)))
2313flcld 13790 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
2423zred 12691 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
2516flcld 13790 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
2625zred 12691 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
2724, 26, 17lemul1d 13086 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โ†” ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
2822, 27mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
29 fourierdlem7.e . . . . . 6 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
3029a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))))
31 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
32 oveq2 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ))
3332oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡) = ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡))
3433fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)))
3534oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
3631, 35oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
3736adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
3824, 7remulcld 11269 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
392, 38readdcld 11268 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
4030, 37, 2, 39fvmptd 7005 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Œ) = (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
4140oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) = ((๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Œ))
422recnd 11267 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
4338recnd 11267 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
4442, 43pncan2d 11598 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Œ) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
4541, 44eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
46 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
47 oveq2 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ต โˆ’ ๐‘‹))
4847oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡) = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡))
4948fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)))
5049oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
5146, 50oveq12d 7431 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
5251adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
5326, 7remulcld 11269 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
5414, 53readdcld 11268 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
5530, 52, 14, 54fvmptd 7005 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
5655oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) = ((๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘‹))
5714recnd 11267 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
5853recnd 11267 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
5957, 58pncan2d 11598 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘‹) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
6056, 59eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
6128, 45, 603brtr4d 5176 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„cr 11132  0cc0 11133   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โŒŠcfl 13782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fl 13784
This theorem is referenced by:  fourierdlem63  45616
  Copyright terms: Public domain W3C validator