Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem7 45415
Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem7.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fourierdlem7.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fourierdlem7.altb (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
fourierdlem7.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem7.e ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
fourierdlem7.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
fourierdlem7.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
fourierdlem7.xlty (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐‘ฅ,๐‘Œ   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ธ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fourierdlem7
StepHypRef Expression
1 fourierdlem7.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 fourierdlem7.y . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
31, 2resubcld 11658 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
4 fourierdlem7.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
5 fourierdlem7.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
61, 5resubcld 11658 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
74, 6eqeltrid 2832 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
8 fourierdlem7.altb . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
95, 1posdifd 11817 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
108, 9mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
1110, 4breqtrrdi 5184 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‡)
1211gt0ne0d 11794 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
133, 7, 12redivcld 12058 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
14 fourierdlem7.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
151, 14resubcld 11658 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
1615, 7, 12redivcld 12058 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡) โˆˆ โ„)
177, 11elrpd 13031 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
18 fourierdlem7.xlty . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
1914, 2, 1, 18lesub2dd 11847 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐‘‹))
203, 15, 17, 19lediv1dd 13092 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡))
21 flwordi 13795 . . . 4 ((((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)))
2213, 16, 20, 21syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)))
2313flcld 13781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
2423zred 12682 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
2516flcld 13781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„ค)
2625zred 12682 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
2724, 26, 17lemul1d 13077 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) โ†” ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
2822, 27mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โ‰ค ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
29 fourierdlem7.e . . . . . 6 ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
3029a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))))
31 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
32 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ))
3332oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡) = ((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡))
3433fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)))
3534oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
3631, 35oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
3736adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
3824, 7remulcld 11260 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
392, 38readdcld 11259 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
4030, 37, 2, 39fvmptd 7006 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘Œ) = (๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
4140oveq1d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) = ((๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Œ))
422recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
4338recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
4442, 43pncan2d 11589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘Œ) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
4541, 44eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘Œ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
46 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
47 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ต โˆ’ ๐‘‹))
4847oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡) = ((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡))
4948fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)))
5049oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
5146, 50oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
5251adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘ฅ) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) = (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
5326, 7remulcld 11260 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
5414, 53readdcld 11259 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆˆ โ„)
5530, 52, 14, 54fvmptd 7006 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)))
5655oveq1d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) = ((๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘‹))
5714recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
5853recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
5957, 58pncan2d 11589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡)) โˆ’ ๐‘‹) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
6056, 59eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐‘‹) / ๐‘‡)) ยท ๐‘‡))
6128, 45, 603brtr4d 5174 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘Œ) โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค ((๐ธโ€˜๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  โŒŠcfl 13773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775
This theorem is referenced by:  fourierdlem63  45470
  Copyright terms: Public domain W3C validator