Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem7 46070
Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem7.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem7.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem7.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem7.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem7.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem7.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem7.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem7.xlty (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem7 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸𝑋) − 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem7
StepHypRef Expression
1 fourierdlem7.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 fourierdlem7.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11689 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
4 fourierdlem7.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵𝐴)
5 fourierdlem7.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
61, 5resubcld 11689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
74, 6eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
8 fourierdlem7.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
95, 1posdifd 11848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
108, 9mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1110, 4breqtrrdi 5190 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑇)
1211gt0ne0d 11825 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
133, 7, 12redivcld 12093 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
14 fourierdlem7.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
151, 14resubcld 11689 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1615, 7, 12redivcld 12093 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
177, 11elrpd 13072 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
18 fourierdlem7.xlty . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
1914, 2, 1, 18lesub2dd 11878 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑌) ≤ (𝐵𝑋))
203, 15, 17, 19lediv1dd 13133 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵𝑋) / 𝑇))
21 flwordi 13849 . . . 4 ((((𝐵𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
2213, 16, 20, 21syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
2313flcld 13835 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2423zred 12720 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2516flcld 13835 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2625zred 12720 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2724, 26, 17lemul1d 13118 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
2822, 27mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
29 fourierdlem7.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
31 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
32 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑌))
3332oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑌) / 𝑇))
3433fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)))
3534oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
3631, 35oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
3736adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
3824, 7remulcld 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
392, 38readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
4030, 37, 2, 39fvmptd 7023 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
4140oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
422recnd 11287 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4338recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
4442, 43pncan2d 11620 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
4541, 44eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
46 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
47 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
4847oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
4948fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
5049oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
5146, 50oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
5251adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
5326, 7remulcld 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
5414, 53readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
5530, 52, 14, 54fvmptd 7023 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
5655oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
5714recnd 11287 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
5853recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
5957, 58pncan2d 11620 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
6056, 59eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
6128, 45, 603brtr4d 5180 1 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸𝑋) − 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cfl 13827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829
This theorem is referenced by:  fourierdlem63  46125
  Copyright terms: Public domain W3C validator