Proof of Theorem fourierdlem7
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | fourierdlem7.b | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 2 |  | fourierdlem7.y | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) | 
| 3 | 1, 2 | resubcld 11691 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ) | 
| 4 |  | fourierdlem7.t | . . . . . 6
⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴) | 
| 5 |  | fourierdlem7.a | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 6 | 1, 5 | resubcld 11691 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) | 
| 7 | 4, 6 | eqeltrid 2845 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) | 
| 8 |  | fourierdlem7.altb | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) | 
| 9 | 5, 1 | posdifd 11850 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) | 
| 10 | 8, 9 | mpbid 232 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴)) | 
| 11 | 10, 4 | breqtrrdi 5185 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) | 
| 12 | 11 | gt0ne0d 11827 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) | 
| 13 | 3, 7, 12 | redivcld 12095 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 14 |  | fourierdlem7.x | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) | 
| 15 | 1, 14 | resubcld 11691 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ) | 
| 16 | 15, 7, 12 | redivcld 12095 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 17 | 7, 11 | elrpd 13074 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈
ℝ+) | 
| 18 |  | fourierdlem7.xlty | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌) | 
| 19 | 14, 2, 1, 18 | lesub2dd 11880 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≤ (𝐵 − 𝑋)) | 
| 20 | 3, 15, 17, 19 | lediv1dd 13135 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) | 
| 21 |  | flwordi 13852 | . . . 4
⊢ ((((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) | 
| 22 | 13, 16, 20, 21 | syl3anc 1373 | . . 3
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) | 
| 23 | 13 | flcld 13838 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ) | 
| 24 | 23 | zred 12722 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 25 | 16 | flcld 13838 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) | 
| 26 | 25 | zred 12722 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 27 | 24, 26, 17 | lemul1d 13120 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 28 | 22, 27 | mpbid 232 | . 2
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 29 |  | fourierdlem7.e | . . . . . 6
⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 30 | 29 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))) | 
| 31 |  | id 22 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌) | 
| 32 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌)) | 
| 33 | 32 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) | 
| 34 | 33 | fveq2d 6910 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))) | 
| 35 | 34 | oveq1d 7446 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 36 | 31, 35 | oveq12d 7449 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 37 | 36 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 38 | 24, 7 | remulcld 11291 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 39 | 2, 38 | readdcld 11290 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 40 | 30, 37, 2, 39 | fvmptd 7023 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 41 | 40 | oveq1d 7446 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌)) | 
| 42 | 2 | recnd 11289 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ) | 
| 43 | 38 | recnd 11289 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 44 | 42, 43 | pncan2d 11622 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 45 | 41, 44 | eqtrd 2777 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 46 |  | id 22 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋) | 
| 47 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋)) | 
| 48 | 47 | oveq1d 7446 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) | 
| 49 | 48 | fveq2d 6910 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))) | 
| 50 | 49 | oveq1d 7446 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 51 | 46, 50 | oveq12d 7449 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 52 | 51 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 53 | 26, 7 | remulcld 11291 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ) | 
| 54 | 14, 53 | readdcld 11290 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ) | 
| 55 | 30, 52, 14, 54 | fvmptd 7023 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) | 
| 56 | 55 | oveq1d 7446 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋)) | 
| 57 | 14 | recnd 11289 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) | 
| 58 | 53 | recnd 11289 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ) | 
| 59 | 57, 58 | pncan2d 11622 | . . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 60 | 56, 59 | eqtrd 2777 | . 2
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) | 
| 61 | 28, 45, 60 | 3brtr4d 5175 | 1
⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋)) |