Theorem fourierdlem7 42756

Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem7.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem7.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem7.xlty	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem7.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		fourierdlem7.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
4		fourierdlem7.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5		fourierdlem7.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	4, 6	eqeltrid 2894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
8		fourierdlem7.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	5, 1	posdifd 11216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
10	8, 9	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
11	10, 4	breqtrrdi 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
12	11	gt0ne0d 11193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
13	3, 7, 12	redivcld 11457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
14		fourierdlem7.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	1, 14	resubcld 11057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
16	15, 7, 12	redivcld 11457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
17	7, 11	elrpd 12416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		fourierdlem7.xlty	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	14, 2, 1, 18	lesub2dd 11246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≤ (𝐵 − 𝑋))
20	3, 15, 17, 19	lediv1dd 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
21		flwordi 13177	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
23	13	flcld 13163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
25	16	flcld 13163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
26	25	zred 12075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
27	24, 26, 17	lemul1d 12462	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
28	22, 27	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
29		fourierdlem7.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
32		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌))
33	32	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))
34	33	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)))
35	34	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
36	31, 35	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
37	36	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
38	24, 7	remulcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
39	2, 38	readdcld 10659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
40	30, 37, 2, 39	fvmptd 6752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
41	40	oveq1d 7150	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
42	2	recnd 10658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
43	38	recnd 10658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 10988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
45	41, 44	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
46		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
47		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
48	47	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
49	48	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
50	49	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
51	46, 50	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
52	51	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
53	26, 7	remulcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
54	14, 53	readdcld 10659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
55	30, 52, 14, 54	fvmptd 6752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
56	55	oveq1d 7150	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
57	14	recnd 10658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
58	53	recnd 10658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
59	57, 58	pncan2d 10988	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
60	56, 59	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
61	28, 45, 60	3brtr4d 5062	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ⌊cfl 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157

This theorem is referenced by:  fourierdlem63  42811