HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopub2tALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopub2tALT 31761
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub2tALT ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘‡

Proof of Theorem nmopub2tALT
StepHypRef Expression
1 normcl 30977 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
21ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
4 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)
5 1re 11242 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
6 lemul2a 12097 . . . . . . . . . . 11 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท 1))
75, 6mp3anl2 1452 . . . . . . . . . 10 ((((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท 1))
82, 3, 4, 7syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท 1))
9 ax-1rid 11206 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
109ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
128, 11breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)
13 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
14 normcl 30977 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1615adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
17 remulcl 11221 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
181, 17sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1918adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
2019adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
21 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
22 letr 11336 . . . . . . . . . 10 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด))
2316, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด))
2423adantr 479 . . . . . . . 8 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด))
2512, 24mpan2d 692 . . . . . . 7 ((((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด))
2625ex 411 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)))
2726com23 86 . . . . 5 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)))
2827ralimdva 3157 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)))
2928imp 405 . . 3 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด))
30 rexr 11288 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3130adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
32 nmopub 31760 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)))
3331, 32sylan2 591 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)))
3433biimpar 476 . . 3 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ๐ด)
3529, 34syldan 589 . 2 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ๐ด)
36353impa 1107 1 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐ด ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051   class class class wbr 5143  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   ยท cmul 11141  โ„*cxr 11275   โ‰ค cle 11277   โ„‹chba 30771  normโ„Žcno 30775  normopcnop 30797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-hilex 30851  ax-hv0cl 30855  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his3 30936  ax-his4 30937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-hnorm 30820  df-nmop 31691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator