Theorem nmopub2tALT 31938

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopub2tALT	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmopub2tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 31154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
2	1	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
5		1re 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lemul2a 12120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
7	5, 6	mp3anl2 1455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
8	2, 3, 4, 7	syl21anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9		ax-1rid 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
10	9	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	8, 11	breqtrd 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴)
13		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
14		normcl 31154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		remulcl 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	1, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
20	19	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
21		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		letr 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
23	16, 20, 21, 22	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
25	12, 24	mpan2d 694	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
26	25	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
27	26	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
28	27	ralimdva 3165	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
29	28	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
30		rexr 11305	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		nmopub 31937	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
33	31, 32	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
34	33	biimpar 477	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
35	29, 34	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
36	35	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294   ℋchba 30948  norm_ℎcno 30952  norm_opcnop 30974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028  ax-hv0cl 31032  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his3 31113  ax-his4 31114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-hnorm 30997  df-nmop 31868

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