Theorem nmopub2tALT 31693

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopub2tALT	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmopub2tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 30909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
2	1	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
5		1re 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lemul2a 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
7	5, 6	mp3anl2 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
8	2, 3, 4, 7	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9		ax-1rid 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
10	9	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	8, 11	breqtrd 5168	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴)
13		ffvelcdm 7085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
14		normcl 30909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		remulcl 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	1, 17	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
20	19	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
21		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		letr 11324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
23	16, 20, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
25	12, 24	mpan2d 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
26	25	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
27	26	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
28	27	ralimdva 3162	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
29	28	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
30		rexr 11276	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		nmopub 31692	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
33	31, 32	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
34	33	biimpar 477	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
35	29, 34	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
36	35	3impa 1108	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   class class class wbr 5142  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  ℝ^*cxr 11263   ≤ cle 11265   ℋchba 30703  norm_ℎcno 30707  norm_opcnop 30729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-hilex 30783  ax-hv0cl 30787  ax-hvmul0 30794  ax-hfi 30863  ax-his1 30866  ax-his3 30868  ax-his4 30869

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-hnorm 30752  df-nmop 31623

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