Theorem nmopub2tALT 32272

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopub2tALT	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmopub2tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 31488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
2	1	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
5		1re 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lemul2a 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
7	5, 6	mp3anl2 1484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
8	2, 3, 4, 7	syl21anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9		ax-1rid 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
10	9	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
11	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	8, 11	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴)
13		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
14		normcl 31488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		remulcl 11191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	1, 17	sylan2 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
20	19	adantll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
21		simplrl 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		letr 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
23	16, 20, 21, 22	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
24	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
25	12, 24	mpan2d 706	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
26	25	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
27	26	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
28	27	ralimdva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
29	28	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
30		rexr 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31	30	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		nmopub 32271	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
33	31, 32	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
34	33	biimpar 482	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
35	29, 34	syldan 602	. 2 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
36	35	3impa 1126	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11248   ≤ cle 11250   ℋchba 31282  norm_ℎcno 31286  norm_opcnop 31308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-hilex 31362  ax-hv0cl 31366  ax-hvmul0 31373  ax-hfi 31442  ax-his1 31445  ax-his3 31447  ax-his4 31448

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-hnorm 31331  df-nmop 32202

This theorem is used by: (None)