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Theorem nmopub2tALT 29365
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub2tALT ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normop𝑇) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmopub2tALT
StepHypRef Expression
1 normcl 28581 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
21ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
3 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
5 1re 10476 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
6 lemul2a 11332 . . . . . . . . . . 11 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
75, 6mp3anl2 1446 . . . . . . . . . 10 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
82, 3, 4, 7syl21anc 834 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9 ax-1rid 10442 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
109ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1110ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
128, 11breqtrd 4982 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴)
13 ffvelrn 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
14 normcl 28581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1615adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
17 remulcl 10457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
181, 17sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2019adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
21 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 letr 10570 . . . . . . . . . 10 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2316, 20, 21, 22syl3anc 1362 . . . . . . . . 9 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2512, 24mpan2d 690 . . . . . . 7 ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2625ex 413 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ≤ 1 → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2726com23 86 . . . . 5 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2827ralimdva 3142 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2928imp 407 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
30 rexr 10522 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32 nmopub 29364 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normop𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3331, 32sylan2 592 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normop𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3433biimpar 478 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normop𝑇) ≤ 𝐴)
3529, 34syldan 591 . 2 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normop𝑇) ≤ 𝐴)
36353impa 1101 1 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normop𝑇) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103   class class class wbr 4956  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   · cmul 10377  *cxr 10509  cle 10511  chba 28375  normcno 28379  normopcnop 28401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-hilex 28455  ax-hv0cl 28459  ax-hvmul0 28466  ax-hfi 28535  ax-his1 28538  ax-his3 28540  ax-his4 28541
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-hnorm 28424  df-nmop 29295
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