Theorem nmopub2tALT 32538

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopub2tALT	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmopub2tALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normcl 31754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
2	1	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
3		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘𝑥) ≤ 1)
5		1re 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lemul2a 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
7	5, 6	mp3anl2 1486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
8	2, 3, 4, 7	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9		ax-1rid 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
10	9	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	8, 11	breqtrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴)
13		ffvelcdm 7102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
14		normcl 31754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		remulcl 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	1, 17	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	18	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
20	19	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
21		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		letr 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
23	16, 20, 21, 22	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ∧ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
25	12, 24	mpan2d 707	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
26	25	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
27	26	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
28	27	ralimdva 3178	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
29	28	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴))
30		rexr 11379	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
31	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		nmopub 32537	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
33	31, 32	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normop‘𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)))
34	33	biimpar 483	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
35	29, 34	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)
36	35	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229  ℝ^*cxr 11366   ≤ cle 11368   ℋchba 31548  norm_ℎcno 31552  norm_opcnop 31574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-hilex 31628  ax-hv0cl 31632  ax-hvmul0 31639  ax-hfi 31708  ax-his1 31711  ax-his3 31713  ax-his4 31714

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-hnorm 31597  df-nmop 32468

This theorem is used by: (None)