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Theorem nmfnleub2 30766
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 29965 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
21ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
3 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
5 1re 11152 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
6 lemul2a 12007 . . . . . . . . . . 11 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
75, 6mp3anl2 1456 . . . . . . . . . 10 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
82, 3, 4, 7syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9 ax-1rid 11118 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
109ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
128, 11breqtrd 5130 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴)
13 ffvelcdm 7030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
1413abscld 15318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1514adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
16 remulcl 11133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
171, 16sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
1817adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
20 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 letr 11246 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2412, 23mpan2d 692 . . . . . . 7 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2524ex 413 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ≤ 1 → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2625com23 86 . . . . 5 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2726ralimdva 3163 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2827imp 407 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
29 rexr 11198 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
31 nmfnleub 30765 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normfn𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3230, 31sylan2 593 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normfn𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3332biimpar 478 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
3428, 33syldan 591 . 2 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
35343impa 1110 1 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3063   class class class wbr 5104  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  cc 11046  cr 11047  0cc0 11048  1c1 11049   · cmul 11053  *cxr 11185  cle 11187  abscabs 15116  chba 29759  normcno 29763  normfncnmf 29791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-hilex 29839  ax-hv0cl 29843  ax-hvmul0 29850  ax-hfi 29919  ax-his1 29922  ax-his3 29924  ax-his4 29925
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-sup 9375  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-rp 12913  df-seq 13904  df-exp 13965  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-hnorm 29808  df-nmfn 30685
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