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Theorem nmfnleub2 31954
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 31153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
21ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
3 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm𝑥) ≤ 1)
5 1re 11258 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
6 lemul2a 12119 . . . . . . . . . . 11 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
75, 6mp3anl2 1455 . . . . . . . . . 10 ((((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
82, 3, 4, 7syl21anc 838 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ (𝐴 · 1))
9 ax-1rid 11222 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
109ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1110ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
128, 11breqtrd 5173 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴)
13 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
1413abscld 15471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
1514adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
16 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (norm𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
171, 16sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
1817adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ)
20 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 letr 11352 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) ∧ (𝐴 · (norm𝑥)) ≤ 𝐴) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2412, 23mpan2d 694 . . . . . . 7 ((((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
2524ex 412 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm𝑥) ≤ 1 → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2625com23 86 . . . . 5 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2726ralimdva 3164 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
2827imp 406 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴))
29 rexr 11304 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
3029adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
31 nmfnleub 31953 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((normfn𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3230, 31sylan2 593 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((normfn𝑇) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)))
3332biimpar 477 . . 3 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ 𝐴)) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
3428, 33syldan 591 . 2 (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
35343impa 1109 1 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (norm𝑥))) → (normfn𝑇) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  *cxr 11291  cle 11293  abscabs 15269  chba 30947  normcno 30951  normfncnmf 30979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-hilex 31027  ax-hv0cl 31031  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his3 31112  ax-his4 31113
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-hnorm 30996  df-nmfn 31873
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