HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnleub2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmfnleub2 31446
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯))) β†’ (normfnβ€˜π‘‡) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑇
Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 30645 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
21ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
4 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1)
5 1re 11218 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
6 lemul2a 12073 . . . . . . . . . . 11 ((((normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· 1))
75, 6mp3anl2 1454 . . . . . . . . . 10 ((((normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· 1))
82, 3, 4, 7syl21anc 834 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· 1))
9 ax-1rid 11182 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
109ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
1110ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
128, 11breqtrd 5173 . . . . . . . 8 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)
13 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1413abscld 15387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1514adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
16 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
171, 16sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1817adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1918adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
20 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21 letr 11312 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∧ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∧ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴))
2322adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ (((absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ∧ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴))
2412, 23mpan2d 690 . . . . . . 7 ((((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1) β†’ ((absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴))
2524ex 411 . . . . . 6 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ ((absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)))
2625com23 86 . . . . 5 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)))
2726ralimdva 3165 . . . 4 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)))
2827imp 405 . . 3 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴))
29 rexr 11264 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3029adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
31 nmfnleub 31445 . . . . 5 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((normfnβ€˜π‘‡) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)))
3230, 31sylan2 591 . . . 4 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ ((normfnβ€˜π‘‡) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)))
3332biimpar 476 . . 3 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ ((normβ„Žβ€˜π‘₯) ≀ 1 β†’ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) β†’ (normfnβ€˜π‘‡) ≀ 𝐴)
3428, 33syldan 589 . 2 (((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯))) β†’ (normfnβ€˜π‘‡) ≀ 𝐴)
35343impa 1108 1 ((𝑇: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (absβ€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (normβ„Žβ€˜π‘₯))) β†’ (normfnβ€˜π‘‡) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  abscabs 15185   β„‹chba 30439  normβ„Žcno 30443  normfncnmf 30471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30519  ax-hv0cl 30523  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-hnorm 30488  df-nmfn 31365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator