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Theorem lgsmod 26671
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod 𝑛 when 𝑛 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 13796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
213adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
65adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℙ)
7 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 2 → (𝑛𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
98notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 2 → (¬ 𝑛𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
107, 9syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛𝑁))
1110necon2ad 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛𝑁𝑛 ≠ 2))
1211imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ≠ 2)
13 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
146, 12, 13sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
15 oddprm 16682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
194, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2019zred 12607 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
21 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2321, 17, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2423zred 12607 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
25 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 1 ∈ ℝ)
26 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
2827nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ+)
29 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℤ)
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
31 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3332nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
344, 21zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴) ∈ ℤ)
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
3621zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
3732nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
38 modabs2 13810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
40 moddvds 16147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4132, 4, 21, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
4330, 33, 34, 35, 42dvdstrd 16177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
44 moddvds 16147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4527, 4, 21, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4643, 45mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛))
47 modexp 14141 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛)) → (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛))
484, 21, 17, 28, 46, 47syl221anc 1381 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛))
49 modadd1 13813 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛)) → ((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
5020, 24, 25, 28, 48, 49syl221anc 1381 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
5150oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
52 lgsval3 26663 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
534, 14, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
54 lgsval3 26663 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
5521, 14, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
5651, 53, 553eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑛))
5756oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
583ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
5929ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 lgscl 26659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6261zcnd 12608 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℂ)
6362exp0d 14045 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = 1)
64 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
65 lgscl 26659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
6664, 59, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
6766zcnd 12608 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℂ)
6867exp0d 14045 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑0) = 1)
6963, 68eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
7031adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
71 pceq0 16743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
725, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
7372biimpar 478 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝑛 pCnt 𝑁) = 0)
7473oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0))
7573oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
7669, 74, 753eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
7757, 76pm2.61dan 811 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
7877ifeq1da 4517 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
7978mpteq2dv 5207 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
8079seqeq3d 13914 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
8180fveq1d 6844 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
82 eqid 2736 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
8382lgsval4a 26667 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
843, 31, 83syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
85 eqid 2736 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
8685lgsval4a 26667 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
87863adant3 1132 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
8881, 84, 873eqtr4d 2786 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915   mod cmo 13774  seqcseq 13906  cexp 13967  cdvds 16136  cprime 16547   pCnt cpc 16708   /L clgs 26642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-phi 16638  df-pc 16709  df-lgs 26643
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  26690  lgsqr  26699  lgsdchrval  26702
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