MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsmod 26674
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod ๐‘› when ๐‘› is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 13797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
213adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
32nn0zd 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
43ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„™)
65adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„™)
7 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
8 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› = 2 โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
98notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› = 2 โ†’ (ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘ โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
107, 9syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘› = 2 โ†’ ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
1110necon2ad 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘› โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘› โ‰  2))
1211imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โ‰  2)
13 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โ‰  2))
146, 12, 13sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
15 oddprm 16683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
1716nnnn0d 12474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
18 zexpcl 13983 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
194, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
2019zred 12608 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„)
21 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
22 zexpcl 13983 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
2321, 17, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
2423zred 12608 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„)
25 1red 11157 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
26 prmnn 16551 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2827nnrpd 12956 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
29 prmz 16552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
31 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3332nnzd 12527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
344, 21zsubcld 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ค)
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆฅ ๐‘)
3621zred 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3732nnrpd 12956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
38 modabs2 13811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘))
40 moddvds 16148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
4132, 4, 21, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด))
4330, 33, 34, 35, 42dvdstrd 16178 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด))
44 moddvds 16148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘›) = (๐ด mod ๐‘›) โ†” ๐‘› โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
4527, 4, 21, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘›) = (๐ด mod ๐‘›) โ†” ๐‘› โˆฅ ((๐ด mod ๐‘) โˆ’ ๐ด)))
4643, 45mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘›) = (๐ด mod ๐‘›))
47 modexp 14142 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง (((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง ((๐ด mod ๐‘) mod ๐‘›) = (๐ด mod ๐‘›)) โ†’ (((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›) = ((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›))
484, 21, 17, 28, 46, 47syl221anc 1382 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›) = ((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›))
49 modadd1 13814 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›) = ((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘›)) โ†’ ((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) = (((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›))
5020, 24, 25, 28, 48, 49syl221anc 1382 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) = (((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›))
5150oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
52 lgsval3 26666 . . . . . . . . . 10 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) = (((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
534, 14, 52syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) = (((((๐ด mod ๐‘)โ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
54 lgsval3 26666 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
5521, 14, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
5651, 53, 553eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) = (๐ด /L ๐‘›))
5756oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
583ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5929ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
60 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
6158, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
6261zcnd 12609 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6362exp0d 14046 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘0) = 1)
64 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
65 lgscl 26662 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
6664, 59, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
6766zcnd 12609 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6867exp0d 14046 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘0) = 1)
6963, 68eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘0) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘0))
7031adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
71 pceq0 16744 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› pCnt ๐‘) = 0 โ†” ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
725, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘› pCnt ๐‘) = 0 โ†” ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘))
7372biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘› pCnt ๐‘) = 0)
7473oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘0))
7573oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘0))
7669, 74, 753eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
7757, 76pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
7877ifeq1da 4518 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1) = if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
7978mpteq2dv 5208 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))
8079seqeq3d 13915 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))) = seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))))
8180fveq1d 6845 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
82 eqid 2737 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
8382lgsval4a 26670 . . 3 (((๐ด mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
843, 31, 83syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
85 eqid 2737 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
8685lgsval4a 26670 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
87863adant3 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, ((๐ด /L ๐‘›)โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))โ€˜๐‘))
8881, 84, 873eqtr4d 2787 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„+crp 12916   mod cmo 13775  seqcseq 13907  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548   pCnt cpc 16709   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  26693  lgsqr  26702  lgsdchrval  26705
  Copyright terms: Public domain W3C validator