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Theorem lgsmod 27382
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod 𝑛 when 𝑛 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 13928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
213adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
5 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℙ)
7 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 2 → (𝑛𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
98notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 2 → (¬ 𝑛𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
107, 9syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛𝑁))
1110necon2ad 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛𝑁𝑛 ≠ 2))
1211imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ≠ 2)
13 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
146, 12, 13sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
15 oddprm 16844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1716nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 zexpcl 14114 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
194, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2019zred 12720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
21 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 zexpcl 14114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2321, 17, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
2423zred 12720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
25 1red 11260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 1 ∈ ℝ)
26 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
2726ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
2827nnrpd 13073 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ+)
29 prmz 16709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℤ)
3029ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
31 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3231ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3332nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
344, 21zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴) ∈ ℤ)
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
3621zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
3732nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
38 modabs2 13942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
40 moddvds 16298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4132, 4, 21, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4239, 41mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑁 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
4330, 33, 34, 35, 42dvdstrd 16329 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴))
44 moddvds 16298 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4527, 4, 21, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛) ↔ 𝑛 ∥ ((𝐴 mod 𝑁) − 𝐴)))
4643, 45mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛))
47 modexp 14274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 mod 𝑁) mod 𝑛) = (𝐴 mod 𝑛)) → (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛))
484, 21, 17, 28, 46, 47syl221anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛))
49 modadd1 13945 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛) = ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) mod 𝑛)) → ((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
5020, 24, 25, 28, 48, 49syl221anc 1380 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛))
5150oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
52 lgsval3 27374 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
534, 14, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (((((𝐴 mod 𝑁)↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
54 lgsval3 27374 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
5521, 14, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) = ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))
5651, 53, 553eqtr4d 2785 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑛))
5756oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
583ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ)
5929ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 lgscl 27370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℤ)
6261zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛) ∈ ℂ)
6362exp0d 14177 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = 1)
64 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
65 lgscl 27370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
6664, 59, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℤ)
6766zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝐴 /L 𝑛) ∈ ℂ)
6867exp0d 14177 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑0) = 1)
6963, 68eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
7031adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
71 pceq0 16905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
725, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝑛 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑛𝑁))
7372biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (𝑛 pCnt 𝑁) = 0)
7473oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑0))
7573oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑0))
7669, 74, 753eqtr4d 2785 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
7757, 76pm2.61dan 813 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
7877ifeq1da 4562 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
7978mpteq2dv 5250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
8079seqeq3d 14047 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
8180fveq1d 6909 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
82 eqid 2735 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
8382lgsval4a 27378 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
843, 31, 83syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
85 eqid 2735 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
8685lgsval4a 27378 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
87863adant3 1131 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑁) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘𝑁))
8881, 84, 873eqtr4d 2785 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032   mod cmo 13906  seqcseq 14039  cexp 14099  cdvds 16287  cprime 16705   pCnt cpc 16870   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354
This theorem is referenced by:  lgsmodeq  27401  lgsqr  27410  lgsdchrval  27413
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