Theorem lmod4 20278

Description: Commutative/associative law for left module vector sum. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod4.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod4	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑈)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑈)))

Proof of Theorem lmod4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodcmn 20276	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
2		lmod4.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmod4.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4	2, 3	cmn4 19501	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑈)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑈)))
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑈)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  Basecbs 17009  +_gcplusg 17059  CMndccmn 19481  LModclmod 20228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-lmod 20230

This theorem is referenced by:  lspsolvlem  20509  lshpkrlem4  37431