Theorem lsmelvalmi 19722

Description: Membership of vector subtraction in subgroup sum. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelvalm.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
lsmelvalm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalmi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
lsmelvalmi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalmi	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmelvalmi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelvalmi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
2		lsmelvalmi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
3		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌))
4		rspceov 7460	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋 − 𝑌) = (𝑥 − 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋 − 𝑌) = (𝑥 − 𝑦))
6		lsmelvalm.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7		lsmelvalm.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
8		lsmelvalm.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		lsmelvalm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	6, 7, 8, 9	lsmelvalm 19721	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋 − 𝑌) = (𝑥 − 𝑦)))
11	5, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  -_gcsg 19002  SubGrpcsubg 19186  LSSumclsm 19704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-lsm 19706

This theorem is referenced by:  lspprabs  21194