Theorem lsmelvalmi 19520

Description: Membership of vector subtraction in subgroup sum. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelvalm.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
lsmelvalm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalmi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
lsmelvalmi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalmi	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmelvalmi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelvalmi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑇)
2		lsmelvalmi.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
3		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌))
4		rspceov 7456	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋 − 𝑌) = (𝑥 − 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋 − 𝑌) = (𝑥 − 𝑦))
6		lsmelvalm.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7		lsmelvalm.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
8		lsmelvalm.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		lsmelvalm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	6, 7, 8, 9	lsmelvalm 19519	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋 − 𝑌) = (𝑥 − 𝑦)))
11	5, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  -_gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000  LSSumclsm 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-lsm 19504

This theorem is referenced by:  lspprabs  20706