Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltesubnnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltesubnnd 30711
Description: Subtracting an integer number from another number decreases it. See ltsubrpd 12546. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ltesubnnd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ltesubnnd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
ltesubnnd (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem ltesubnnd
StepHypRef Expression
1 ltesubnnd.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21zcnd 12169 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3 1cnd 10714 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4 ltesubnnd.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nncnd 11732 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
62, 3, 5addsubd 11096 . 2 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) = ((𝑀𝑁) + 1))
71zred 12168 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
84nnrpd 12512 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
97, 8ltsubrpd 12546 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑁) < 𝑀)
104nnzd 12167 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
111, 10zsubcld 12173 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
12 zltp1le 12113 . . . 4 (((𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) < 𝑀 ↔ ((𝑀𝑁) + 1) ≤ 𝑀))
1311, 1, 12syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑁) < 𝑀 ↔ ((𝑀𝑁) + 1) ≤ 𝑀))
149, 13mpbid 235 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 1) ≤ 𝑀)
156, 14eqbrtrd 5052 1 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2114   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  1c1 10616   + caddc 10618   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948  cn 11716  cz 12062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-rp 12473
This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  32049  ballotlemsf1o  32050
  Copyright terms: Public domain W3C validator