Theorem ltesubnnd 30538

Description: Subtracting an integer number from another number decreases it. See ltsubrpd 12464. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltesubnnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ltesubnnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
ltesubnnd	⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑀)

Proof of Theorem ltesubnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltesubnnd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12089	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		1cnd 10636	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		ltesubnnd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 11654	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	addsubd 11018	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) = ((𝑀 − 𝑁) + 1))
7	1	zred 12088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
8	4	nnrpd 12430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	7, 8	ltsubrpd 12464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) < 𝑀)
10	4	nnzd 12087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	zsubcld 12093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
12		zltp1le 12033	. . . 4 ⊢ (((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 𝑁) + 1) ≤ 𝑀))
13	11, 1, 12	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 𝑁) + 1) ≤ 𝑀))
14	9, 13	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑁) + 1) ≤ 𝑀)
15	6, 14	eqbrtrd 5088	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℤcz 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  31770  ballotlemsf1o  31771