Theorem nnrpd 12993

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12963	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℕcn 12186  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12994  modmulnn  13851  modaddid  13872  mulp1mod1  13876  modsumfzodifsn  13909  addmodlteq  13911  nnesq  14192  digit1  14202  bcpasc  14286  cshwn  14762  iseralt  15651  climcndslem2  15816  mertenslem1  15850  mertenslem2  15851  fprodmodd  15963  efcllem  16043  ege2le3  16056  eftlub  16077  effsumlt  16079  eirrlem  16172  sqrt2irrlem  16216  p1modz1  16229  dvdsmod  16299  bitsfzo  16405  bitsmod  16406  bitscmp  16408  bitsinv1lem  16411  sadaddlem  16436  sadasslem  16440  bitsres  16443  smumul  16463  bezoutlem3  16511  eucalglt  16555  prmind2  16655  prmdvdsbc  16696  crth  16748  eulerthlem2  16752  fermltl  16754  prmdiv  16755  prmdiveq  16756  odzdvds  16766  vfermltlALT  16773  powm2modprm  16774  modprm0  16776  modprmn0modprm0  16778  prmreclem3  16889  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  4sqlem5  16913  4sqlem6  16914  4sqlem7  16915  4sqlem10  16918  4sqlem12  16927  vdwlem1  16952  mndodcong  19472  odmod  19476  oddvds  19477  dfod2  19494  gexexlem  19782  zringlpirlem3  21374  fermltlchr  21439  met1stc  24409  met2ndci  24410  lebnumlem3  24862  lebnumii  24865  ovollb2lem  25389  ovoliunlem1  25403  ovoliunlem3  25405  uniioombllem6  25489  itg2cnlem2  25663  elqaalem2  26228  aalioulem2  26241  aalioulem4  26243  aalioulem5  26244  aaliou2b  26249  aaliou3lem9  26258  logfac  26510  cxpeq  26667  zrtelqelz  26668  rtprmirr  26670  logbgcd1irr  26704  leibpi  26852  birthdaylem2  26862  amgmlem  26900  emcllem1  26906  emcllem2  26907  emcllem3  26908  emcllem5  26910  harmoniclbnd  26919  harmonicubnd  26920  harmonicbnd4  26921  fsumharmonic  26922  zetacvg  26925  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem4  26942  lgamgulmlem5  26943  lgamgulmlem6  26944  lgamgulm2  26946  lgambdd  26947  lgamucov  26948  lgamcvg2  26965  gamcvg  26966  gamcvg2lem  26969  regamcl  26971  relgamcl  26972  lgam1  26974  wilthlem1  26978  wilthlem2  26979  basellem1  26991  basellem6  26996  basellem8  26998  chtf  27018  efchtcl  27021  chtge0  27022  vmacl  27028  efvmacl  27030  sgmnncl  27057  chtprm  27063  chtdif  27068  efchtdvds  27069  prmorcht  27088  sgmppw  27108  vmalelog  27116  chtleppi  27121  chtublem  27122  fsumvma2  27125  pclogsum  27126  vmasum  27127  chpchtsum  27130  chpub  27131  logfacubnd  27132  logfaclbnd  27133  logfacbnd3  27134  logfacrlim  27135  logexprlim  27136  logfacrlim2  27137  perfectlem2  27141  bclbnd  27191  bposlem1  27195  bposlem2  27196  bposlem4  27198  bposlem5  27199  bposlem6  27200  bposlem7  27201  bposlem9  27203  lgslem1  27208  lgsvalmod  27227  lgsmod  27234  lgsdirprm  27242  lgsne0  27246  lgsqrlem2  27258  gausslemma2dlem0i  27275  gausslemma2dlem5a  27281  gausslemma2d  27285  lgseisenlem1  27286  lgseisenlem2  27287  lgseisenlem3  27288  lgseisenlem4  27289  lgseisen  27290  lgsquadlem2  27292  lgsquadlem3  27293  m1lgs  27299  2sqlem8  27337  2sqmod  27347  chebbnd1lem1  27380  chebbnd1lem2  27381  chebbnd1lem3  27382  chebbnd1  27383  chtppilimlem1  27384  chtppilimlem2  27385  chtppilim  27386  chebbnd2  27388  chto1lb  27389  vmadivsum  27393  vmadivsumb  27394  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  dchrisum0lem1a  27397  rpvmasumlem  27398  dchrisumlema  27399  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem2  27401  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem1  27406  dchrvmasum2lem  27407  dchrvmasum2if  27408  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumlem3  27410  dchrvmasumiflem1  27412  dchrvmasumiflem2  27413  dchrisum0flblem2  27420  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0lema  27425  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  dchrisum0lem3  27430  dchrisum0  27431  dirith2  27439  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  mulogsum  27443  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  mulog2sumlem3  27447  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  logsqvma  27453  log2sumbnd  27455  selberglem1  27456  selberglem2  27457  selberglem3  27458  selberg  27459  selbergb  27460  selberg2lem  27461  selberg2  27462  selberg2b  27463  chpdifbndlem1  27464  logdivbnd  27467  selberg3lem1  27468  selberg3lem2  27469  selberg3  27470  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrsumo1  27476  pntrsumbnd2  27478  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntsf  27484  pntsval2  27487  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntlemn  27511  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemk  27517  pntlemo  27518  pnt  27525  padicabvcxp  27543  ostth2lem2  27545  ostth2lem3  27546  ostth2lem4  27547  ostth2  27548  ostth3  27549  clwwisshclwwslemlem  29942  numclwwlk5  30317  numclwwlk7  30320  nrt2irr  30402  ubthlem2  30800  minvecolem3  30805  lnconi  31962  ltesubnnd  32747  2exple2exp  32770  cshwrnid  32883  cycpmfv2  33071  znfermltl  33337  madjusmdetlem2  33818  eulerpartlemgc  34353  reprle  34605  hgt750lemc  34638  hgt750lemd  34639  hgt750lemb  34647  hgt750leme  34649  tgoldbachgtde  34651  iprodgam  35729  faclimlem1  35730  faclimlem3  35732  faclim  35733  iprodfac  35734  knoppndvlem17  36516  poimirlem29  37643  heiborlem3  37807  heiborlem5  37809  heiborlem6  37810  heiborlem7  37811  heiborlem8  37812  heibor  37815  rrndstprj2  37825  rrncmslem  37826  rrnequiv  37829  lcmineqlem20  42036  lcmineqlem23  42039  3lexlogpow5ineq2  42043  3lexlogpow2ineq2  42047  aks4d1p5  42068  aks4d1p6  42069  aks4d1p8d2  42073  aks4d1p8  42075  remexz  42092  hashscontpow1  42109  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c2  42118  bcled  42166  bcle2d  42167  aks6d1c7lem1  42168  dvdsexpnn  42321  fltne  42632  flt4lem7  42647  fltltc  42649  fltnltalem  42650  fltnlta  42651  irrapxlem5  42814  pell14qrgapw  42864  pellqrexplicit  42865  pellqrex  42867  pellfundge  42870  pellfundgt1  42871  jm3.1lem1  43006  jm3.1lem2  43007  hashnzfz2  44310  xralrple4  45369  recnnltrp  45373  rpgtrecnn  45376  fsumnncl  45570  limsup10exlem  45770  stoweidlem31  46029  stoweidlem59  46057  wallispilem3  46065  wallispi  46068  stirlinglem12  46083  stirlinglem15  46086  fourierdlem73  46177  etransclem23  46255  nnfoctbdjlem  46453  ovnsubaddlem1  46568  ovolval5lem1  46650  ovolval5lem2  46651  vonioolem1  46678  vonioolem2  46679  vonicclem2  46682  fmtnoprmfac1lem  47565  sfprmdvdsmersenne  47604  lighneallem2  47607  proththd  47615  perfectALTVlem2  47723  fppr2odd  47732  fpprwppr  47740  fpprel2  47742  gpgedgvtx1  48053  gpg5nbgrvtx03starlem2  48060  gpg5nbgrvtx13starlem2  48063  gpg3nbgrvtx0  48067  pw2m1lepw2m1  48509  logbge0b  48552  logblt1b  48553  logbpw2m1  48556  nnpw2pmod  48572  nnolog2flm1  48579  blennngt2o2  48581  dignnld  48592  digexp  48596  amgmlemALT  49792