Theorem nnrpd 12779

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12750	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ℕcn 11982  ℝ⁺crp 12739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-rp 12740

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12780  modmulnn  13618  mulp1mod1  13641  modsumfzodifsn  13673  addmodlteq  13675  nnesq  13951  digit1  13961  bcpasc  14044  cshwn  14519  iseralt  15405  climcndslem2  15571  mertenslem1  15605  mertenslem2  15606  fprodmodd  15716  efcllem  15796  ege2le3  15808  eftlub  15827  effsumlt  15829  eirrlem  15922  sqrt2irrlem  15966  p1modz1  15979  dvdsmod  16047  bitsfzo  16151  bitsmod  16152  bitscmp  16154  bitsinv1lem  16157  sadaddlem  16182  sadasslem  16186  bitsres  16189  smumul  16209  bezoutlem3  16258  eucalglt  16299  prmind2  16399  crth  16488  eulerthlem2  16492  fermltl  16494  prmdiv  16495  prmdiveq  16496  odzdvds  16505  vfermltlALT  16512  powm2modprm  16513  modprm0  16515  modprmn0modprm0  16517  prmreclem3  16628  prmreclem5  16630  prmreclem6  16631  4sqlem5  16652  4sqlem6  16653  4sqlem7  16654  4sqlem10  16657  4sqlem12  16666  vdwlem1  16691  mndodcong  19159  odmod  19163  oddvds  19164  dfod2  19180  gexexlem  19462  zringlpirlem3  20695  met1stc  23686  met2ndci  23687  lebnumlem3  24135  lebnumii  24138  ovollb2lem  24661  ovoliunlem1  24675  ovoliunlem3  24677  uniioombllem6  24761  itg2cnlem2  24936  elqaalem2  25489  aalioulem2  25502  aalioulem4  25504  aalioulem5  25505  aaliou2b  25510  aaliou3lem9  25519  logfac  25765  cxpeq  25919  logbgcd1irr  25953  leibpi  26101  birthdaylem2  26111  amgmlem  26148  emcllem1  26154  emcllem2  26155  emcllem3  26156  emcllem5  26158  harmoniclbnd  26167  harmonicubnd  26168  harmonicbnd4  26169  fsumharmonic  26170  zetacvg  26173  lgamgulmlem2  26188  lgamgulmlem3  26189  lgamgulmlem4  26190  lgamgulmlem5  26191  lgamgulmlem6  26192  lgamgulm2  26194  lgambdd  26195  lgamucov  26196  lgamcvg2  26213  gamcvg  26214  gamcvg2lem  26217  regamcl  26219  relgamcl  26220  lgam1  26222  wilthlem1  26226  wilthlem2  26227  basellem1  26239  basellem6  26244  basellem8  26246  chtf  26266  efchtcl  26269  chtge0  26270  vmacl  26276  efvmacl  26278  sgmnncl  26305  chtprm  26311  chtdif  26316  efchtdvds  26317  prmorcht  26336  sgmppw  26354  vmalelog  26362  chtleppi  26367  chtublem  26368  fsumvma2  26371  pclogsum  26372  vmasum  26373  chpchtsum  26376  chpub  26377  logfacubnd  26378  logfaclbnd  26379  logfacbnd3  26380  logfacrlim  26381  logexprlim  26382  logfacrlim2  26383  perfectlem2  26387  bclbnd  26437  bposlem1  26441  bposlem2  26442  bposlem4  26444  bposlem5  26445  bposlem6  26446  bposlem7  26447  bposlem9  26449  lgslem1  26454  lgsvalmod  26473  lgsmod  26480  lgsdirprm  26488  lgsne0  26492  lgsqrlem2  26504  gausslemma2dlem0i  26521  gausslemma2dlem5a  26527  gausslemma2d  26531  lgseisenlem1  26532  lgseisenlem2  26533  lgseisenlem3  26534  lgseisenlem4  26535  lgseisen  26536  lgsquadlem2  26538  lgsquadlem3  26539  m1lgs  26545  2sqlem8  26583  2sqmod  26593  chebbnd1lem1  26626  chebbnd1lem2  26627  chebbnd1lem3  26628  chebbnd1  26629  chtppilimlem1  26630  chtppilimlem2  26631  chtppilim  26632  chebbnd2  26634  chto1lb  26635  vmadivsum  26639  vmadivsumb  26640  rplogsumlem1  26641  rplogsumlem2  26642  dchrisum0lem1a  26643  rpvmasumlem  26644  dchrisumlema  26645  dchrisumlem1  26646  dchrisumlem2  26647  dchrmusum2  26651  dchrvmasumlem1  26652  dchrvmasum2lem  26653  dchrvmasum2if  26654  dchrvmasumlem2  26655  dchrvmasumlem3  26656  dchrvmasumiflem1  26658  dchrvmasumiflem2  26659  dchrisum0flblem2  26666  dchrisum0fno1  26668  dchrisum0lema  26671  dchrisum0lem1b  26672  dchrisum0lem1  26673  dchrisum0lem2a  26674  dchrisum0lem2  26675  dchrisum0lem3  26676  dchrisum0  26677  dirith2  26685  mudivsum  26687  mulogsumlem  26688  mulogsum  26689  mulog2sumlem1  26691  mulog2sumlem2  26692  mulog2sumlem3  26693  vmalogdivsum2  26695  vmalogdivsum  26696  2vmadivsumlem  26697  logsqvma  26699  log2sumbnd  26701  selberglem1  26702  selberglem2  26703  selberglem3  26704  selberg  26705  selbergb  26706  selberg2lem  26707  selberg2  26708  selberg2b  26709  chpdifbndlem1  26710  logdivbnd  26713  selberg3lem1  26714  selberg3lem2  26715  selberg3  26716  selberg4lem1  26717  selberg4  26718  pntrsumo1  26722  pntrsumbnd2  26724  selbergr  26725  selberg3r  26726  selberg4r  26727  selberg34r  26728  pntsf  26730  pntsval2  26733  pntrlog2bndlem1  26734  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem3  26736  pntrlog2bndlem4  26737  pntrlog2bndlem5  26738  pntrlog2bndlem6  26740  pntrlog2bnd  26741  pntpbnd1a  26742  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  pntibndlem2  26748  pntlemn  26757  pntlemj  26760  pntlemf  26762  pntlemk  26763  pntlemo  26764  pnt  26771  padicabvcxp  26789  ostth2lem2  26791  ostth2lem3  26792  ostth2lem4  26793  ostth2  26794  ostth3  26795  clwwisshclwwslemlem  28386  numclwwlk5  28761  numclwwlk7  28764  ubthlem2  29242  minvecolem3  29247  lnconi  30404  prmdvdsbc  31139  ltesubnnd  31145  cshwrnid  31242  cycpmfv2  31390  znfermltl  31571  madjusmdetlem2  31787  eulerpartlemgc  32338  reprle  32603  hgt750lemc  32636  hgt750lemd  32637  hgt750lemb  32645  hgt750leme  32647  tgoldbachgtde  32649  iprodgam  33717  faclimlem1  33718  faclimlem3  33720  faclim  33721  iprodfac  33722  knoppndvlem17  34717  poimirlem29  35815  heiborlem3  35980  heiborlem5  35982  heiborlem6  35983  heiborlem7  35984  heiborlem8  35985  heibor  35988  rrndstprj2  35998  rrncmslem  35999  rrnequiv  36002  lcmineqlem20  40063  lcmineqlem23  40066  3lexlogpow5ineq2  40070  3lexlogpow2ineq2  40074  aks4d1p5  40095  aks4d1p6  40096  aks4d1p8d2  40100  aks4d1p8  40102  metakunt18  40149  metakunt30  40161  dvdsexpnn  40347  zrtelqelz  40352  rtprmirr  40354  fltne  40488  flt4lem7  40503  fltltc  40505  fltnltalem  40506  fltnlta  40507  irrapxlem5  40655  pell14qrgapw  40705  pellqrexplicit  40706  pellqrex  40708  pellfundge  40711  pellfundgt1  40712  jm3.1lem1  40846  jm3.1lem2  40847  hashnzfz2  41946  xralrple4  42919  recnnltrp  42923  rpgtrecnn  42926  fsumnncl  43120  limsup10exlem  43320  stoweidlem31  43579  stoweidlem59  43607  wallispilem3  43615  wallispi  43618  stirlinglem12  43633  stirlinglem15  43636  fourierdlem73  43727  etransclem23  43805  nnfoctbdjlem  44000  ovnsubaddlem1  44115  ovolval5lem1  44197  ovolval5lem2  44198  vonioolem1  44225  vonioolem2  44226  vonicclem2  44229  fmtnoprmfac1lem  45027  sfprmdvdsmersenne  45066  lighneallem2  45069  proththd  45077  perfectALTVlem2  45185  fppr2odd  45194  fpprwppr  45202  fpprel2  45204  pw2m1lepw2m1  45872  logbge0b  45920  logblt1b  45921  logbpw2m1  45924  nnpw2pmod  45940  nnolog2flm1  45947  blennngt2o2  45949  dignnld  45960  digexp  45964  amgmlemALT  46518