Theorem nnrpd 13054

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 13025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℕcn 12245  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  13055  modmulnn  13911  mulp1mod1  13934  modsumfzodifsn  13967  addmodlteq  13969  nnesq  14250  digit1  14260  bcpasc  14344  cshwn  14820  iseralt  15706  climcndslem2  15871  mertenslem1  15905  mertenslem2  15906  fprodmodd  16018  efcllem  16098  ege2le3  16111  eftlub  16132  effsumlt  16134  eirrlem  16227  sqrt2irrlem  16271  p1modz1  16284  dvdsmod  16353  bitsfzo  16459  bitsmod  16460  bitscmp  16462  bitsinv1lem  16465  sadaddlem  16490  sadasslem  16494  bitsres  16497  smumul  16517  bezoutlem3  16565  eucalglt  16609  prmind2  16709  prmdvdsbc  16750  crth  16802  eulerthlem2  16806  fermltl  16808  prmdiv  16809  prmdiveq  16810  odzdvds  16820  vfermltlALT  16827  powm2modprm  16828  modprm0  16830  modprmn0modprm0  16832  prmreclem3  16943  prmreclem5  16945  prmreclem6  16946  4sqlem5  16967  4sqlem6  16968  4sqlem7  16969  4sqlem10  16972  4sqlem12  16981  vdwlem1  17006  mndodcong  19528  odmod  19532  oddvds  19533  dfod2  19550  gexexlem  19838  zringlpirlem3  21430  fermltlchr  21495  met1stc  24465  met2ndci  24466  lebnumlem3  24918  lebnumii  24921  ovollb2lem  25446  ovoliunlem1  25460  ovoliunlem3  25462  uniioombllem6  25546  itg2cnlem2  25720  elqaalem2  26285  aalioulem2  26298  aalioulem4  26300  aalioulem5  26301  aaliou2b  26306  aaliou3lem9  26315  logfac  26567  cxpeq  26724  zrtelqelz  26725  rtprmirr  26727  logbgcd1irr  26761  leibpi  26909  birthdaylem2  26919  amgmlem  26957  emcllem1  26963  emcllem2  26964  emcllem3  26965  emcllem5  26967  harmoniclbnd  26976  harmonicubnd  26977  harmonicbnd4  26978  fsumharmonic  26979  zetacvg  26982  lgamgulmlem2  26997  lgamgulmlem3  26998  lgamgulmlem4  26999  lgamgulmlem5  27000  lgamgulmlem6  27001  lgamgulm2  27003  lgambdd  27004  lgamucov  27005  lgamcvg2  27022  gamcvg  27023  gamcvg2lem  27026  regamcl  27028  relgamcl  27029  lgam1  27031  wilthlem1  27035  wilthlem2  27036  basellem1  27048  basellem6  27053  basellem8  27055  chtf  27075  efchtcl  27078  chtge0  27079  vmacl  27085  efvmacl  27087  sgmnncl  27114  chtprm  27120  chtdif  27125  efchtdvds  27126  prmorcht  27145  sgmppw  27165  vmalelog  27173  chtleppi  27178  chtublem  27179  fsumvma2  27182  pclogsum  27183  vmasum  27184  chpchtsum  27187  chpub  27188  logfacubnd  27189  logfaclbnd  27190  logfacbnd3  27191  logfacrlim  27192  logexprlim  27193  logfacrlim2  27194  perfectlem2  27198  bclbnd  27248  bposlem1  27252  bposlem2  27253  bposlem4  27255  bposlem5  27256  bposlem6  27257  bposlem7  27258  bposlem9  27260  lgslem1  27265  lgsvalmod  27284  lgsmod  27291  lgsdirprm  27299  lgsne0  27303  lgsqrlem2  27315  gausslemma2dlem0i  27332  gausslemma2dlem5a  27338  gausslemma2d  27342  lgseisenlem1  27343  lgseisenlem2  27344  lgseisenlem3  27345  lgseisenlem4  27346  lgseisen  27347  lgsquadlem2  27349  lgsquadlem3  27350  m1lgs  27356  2sqlem8  27394  2sqmod  27404  chebbnd1lem1  27437  chebbnd1lem2  27438  chebbnd1lem3  27439  chebbnd1  27440  chtppilimlem1  27441  chtppilimlem2  27442  chtppilim  27443  chebbnd2  27445  chto1lb  27446  vmadivsum  27450  vmadivsumb  27451  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  dchrisum0lem1a  27454  rpvmasumlem  27455  dchrisumlema  27456  dchrisumlem1  27457  dchrisumlem2  27458  dchrmusum2  27462  dchrvmasumlem1  27463  dchrvmasum2lem  27464  dchrvmasum2if  27465  dchrvmasumlem2  27466  dchrvmasumlem3  27467  dchrvmasumiflem1  27469  dchrvmasumiflem2  27470  dchrisum0flblem2  27477  dchrisum0fno1  27479  dchrisum0lema  27482  dchrisum0lem1b  27483  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem2a  27485  dchrisum0lem2  27486  dchrisum0lem3  27487  dchrisum0  27488  dirith2  27496  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  mulogsum  27500  mulog2sumlem1  27502  mulog2sumlem2  27503  mulog2sumlem3  27504  vmalogdivsum2  27506  vmalogdivsum  27507  2vmadivsumlem  27508  logsqvma  27510  log2sumbnd  27512  selberglem1  27513  selberglem2  27514  selberglem3  27515  selberg  27516  selbergb  27517  selberg2lem  27518  selberg2  27519  selberg2b  27520  chpdifbndlem1  27521  logdivbnd  27524  selberg3lem1  27525  selberg3lem2  27526  selberg3  27527  selberg4lem1  27528  selberg4  27529  pntrsumo1  27533  pntrsumbnd2  27535  selbergr  27536  selberg3r  27537  selberg4r  27538  selberg34r  27539  pntsf  27541  pntsval2  27544  pntrlog2bndlem1  27545  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem3  27547  pntrlog2bndlem4  27548  pntrlog2bndlem5  27549  pntrlog2bndlem6  27551  pntrlog2bnd  27552  pntpbnd1a  27553  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntibndlem2  27559  pntlemn  27568  pntlemj  27571  pntlemf  27573  pntlemk  27574  pntlemo  27575  pnt  27582  padicabvcxp  27600  ostth2lem2  27602  ostth2lem3  27603  ostth2lem4  27604  ostth2  27605  ostth3  27606  clwwisshclwwslemlem  29999  numclwwlk5  30374  numclwwlk7  30377  nrt2irr  30459  ubthlem2  30857  minvecolem3  30862  lnconi  32019  ltesubnnd  32806  2exple2exp  32829  cshwrnid  32942  cycpmfv2  33130  znfermltl  33386  madjusmdetlem2  33864  eulerpartlemgc  34399  reprle  34651  hgt750lemc  34684  hgt750lemd  34685  hgt750lemb  34693  hgt750leme  34695  tgoldbachgtde  34697  iprodgam  35764  faclimlem1  35765  faclimlem3  35767  faclim  35768  iprodfac  35769  knoppndvlem17  36551  poimirlem29  37678  heiborlem3  37842  heiborlem5  37844  heiborlem6  37845  heiborlem7  37846  heiborlem8  37847  heibor  37850  rrndstprj2  37860  rrncmslem  37861  rrnequiv  37864  lcmineqlem20  42066  lcmineqlem23  42069  3lexlogpow5ineq2  42073  3lexlogpow2ineq2  42077  aks4d1p5  42098  aks4d1p6  42099  aks4d1p8d2  42103  aks4d1p8  42105  remexz  42122  hashscontpow1  42139  aks6d1c2lem4  42145  aks6d1c2  42148  bcled  42196  bcle2d  42197  aks6d1c7lem1  42198  dvdsexpnn  42351  fltne  42642  flt4lem7  42657  fltltc  42659  fltnltalem  42660  fltnlta  42661  irrapxlem5  42824  pell14qrgapw  42874  pellqrexplicit  42875  pellqrex  42877  pellfundge  42880  pellfundgt1  42881  jm3.1lem1  43016  jm3.1lem2  43017  hashnzfz2  44320  xralrple4  45380  recnnltrp  45384  rpgtrecnn  45387  fsumnncl  45581  limsup10exlem  45781  stoweidlem31  46040  stoweidlem59  46068  wallispilem3  46076  wallispi  46079  stirlinglem12  46094  stirlinglem15  46097  fourierdlem73  46188  etransclem23  46266  nnfoctbdjlem  46464  ovnsubaddlem1  46579  ovolval5lem1  46661  ovolval5lem2  46662  vonioolem1  46689  vonioolem2  46690  vonicclem2  46693  fmtnoprmfac1lem  47558  sfprmdvdsmersenne  47597  lighneallem2  47600  proththd  47608  perfectALTVlem2  47716  fppr2odd  47725  fpprwppr  47733  fpprel2  47735  gpgedgvtx1  48046  gpg5nbgrvtx03starlem2  48051  gpg5nbgrvtx13starlem2  48054  gpg3nbgrvtx0  48058  pw2m1lepw2m1  48476  logbge0b  48523  logblt1b  48524  logbpw2m1  48527  nnpw2pmod  48543  nnolog2flm1  48550  blennngt2o2  48552  dignnld  48563  digexp  48567  amgmlemALT  49647