MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrpd 12419
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrpd (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrp 12390 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  cn 11627  +crp 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-rp 12380
This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12420  modmulnn  13247  mulp1mod1  13270  modsumfzodifsn  13302  addmodlteq  13304  nnesq  13578  digit1  13588  bcpasc  13671  cshwn  14149  iseralt  15031  climcndslem2  15195  mertenslem1  15230  mertenslem2  15231  fprodmodd  15341  efcllem  15421  ege2le3  15433  eftlub  15452  effsumlt  15454  eirrlem  15547  sqrt2irrlem  15591  p1modz1  15604  dvdsmod  15668  bitsfzo  15774  bitsmod  15775  bitscmp  15777  bitsinv1lem  15780  sadaddlem  15805  sadasslem  15809  bitsres  15812  smumul  15832  bezoutlem3  15879  eucalglt  15919  prmind2  16019  crth  16105  eulerthlem2  16109  fermltl  16111  prmdiv  16112  prmdiveq  16113  odzdvds  16122  vfermltlALT  16129  powm2modprm  16130  modprm0  16132  modprmn0modprm0  16134  prmreclem3  16244  prmreclem5  16246  prmreclem6  16247  4sqlem5  16268  4sqlem6  16269  4sqlem7  16270  4sqlem10  16273  4sqlem12  16282  vdwlem1  16307  mndodcong  18601  odmod  18605  oddvds  18606  dfod2  18622  gexexlem  18903  zringlpirlem3  20563  met1stc  23060  met2ndci  23061  lebnumlem3  23496  lebnumii  23499  ovollb2lem  24018  ovoliunlem1  24032  ovoliunlem3  24034  uniioombllem6  24118  itg2cnlem2  24292  elqaalem2  24838  aalioulem2  24851  aalioulem4  24853  aalioulem5  24854  aaliou2b  24859  aaliou3lem9  24868  logfac  25111  cxpeq  25265  logbgcd1irr  25299  leibpi  25448  birthdaylem2  25458  amgmlem  25495  emcllem1  25501  emcllem2  25502  emcllem3  25503  emcllem5  25505  harmoniclbnd  25514  harmonicubnd  25515  harmonicbnd4  25516  fsumharmonic  25517  zetacvg  25520  lgamgulmlem2  25535  lgamgulmlem3  25536  lgamgulmlem4  25537  lgamgulmlem5  25538  lgamgulmlem6  25539  lgamgulm2  25541  lgambdd  25542  lgamucov  25543  lgamcvg2  25560  gamcvg  25561  gamcvg2lem  25564  regamcl  25566  relgamcl  25567  lgam1  25569  wilthlem1  25573  wilthlem2  25574  basellem1  25586  basellem6  25591  basellem8  25593  chtf  25613  efchtcl  25616  chtge0  25617  vmacl  25623  efvmacl  25625  sgmnncl  25652  chtprm  25658  chtdif  25663  efchtdvds  25664  prmorcht  25683  sgmppw  25701  vmalelog  25709  chtleppi  25714  chtublem  25715  fsumvma2  25718  pclogsum  25719  vmasum  25720  chpchtsum  25723  chpub  25724  logfacubnd  25725  logfaclbnd  25726  logfacbnd3  25727  logfacrlim  25728  logexprlim  25729  logfacrlim2  25730  perfectlem2  25734  bclbnd  25784  bposlem1  25788  bposlem2  25789  bposlem4  25791  bposlem5  25792  bposlem6  25793  bposlem7  25794  bposlem9  25796  lgslem1  25801  lgsvalmod  25820  lgsmod  25827  lgsdirprm  25835  lgsne0  25839  lgsqrlem2  25851  gausslemma2dlem0i  25868  gausslemma2dlem5a  25874  gausslemma2d  25878  lgseisenlem1  25879  lgseisenlem2  25880  lgseisenlem3  25881  lgseisenlem4  25882  lgseisen  25883  lgsquadlem2  25885  lgsquadlem3  25886  m1lgs  25892  2sqlem8  25930  2sqmod  25940  chebbnd1lem1  25973  chebbnd1lem2  25974  chebbnd1lem3  25975  chebbnd1  25976  chtppilimlem1  25977  chtppilimlem2  25978  chtppilim  25979  chebbnd2  25981  chto1lb  25982  vmadivsum  25986  vmadivsumb  25987  rplogsumlem1  25988  rplogsumlem2  25989  dchrisum0lem1a  25990  rpvmasumlem  25991  dchrisumlema  25992  dchrisumlem1  25993  dchrisumlem2  25994  dchrmusum2  25998  dchrvmasumlem1  25999  dchrvmasum2lem  26000  dchrvmasum2if  26001  dchrvmasumlem2  26002  dchrvmasumlem3  26003  dchrvmasumiflem1  26005  dchrvmasumiflem2  26006  dchrisum0flblem2  26013  dchrisum0fno1  26015  dchrisum0lema  26018  dchrisum0lem1b  26019  dchrisum0lem1  26020  dchrisum0lem2a  26021  dchrisum0lem2  26022  dchrisum0lem3  26023  dchrisum0  26024  dirith2  26032  mudivsum  26034  mulogsumlem  26035  mulogsum  26036  mulog2sumlem1  26038  mulog2sumlem2  26039  mulog2sumlem3  26040  vmalogdivsum2  26042  vmalogdivsum  26043  2vmadivsumlem  26044  logsqvma  26046  log2sumbnd  26048  selberglem1  26049  selberglem2  26050  selberglem3  26051  selberg  26052  selbergb  26053  selberg2lem  26054  selberg2  26055  selberg2b  26056  chpdifbndlem1  26057  logdivbnd  26060  selberg3lem1  26061  selberg3lem2  26062  selberg3  26063  selberg4lem1  26064  selberg4  26065  pntrsumo1  26069  pntrsumbnd2  26071  selbergr  26072  selberg3r  26073  selberg4r  26074  selberg34r  26075  pntsf  26077  pntsval2  26080  pntrlog2bndlem1  26081  pntrlog2bndlem2  26082  pntrlog2bndlem3  26083  pntrlog2bndlem4  26084  pntrlog2bndlem5  26085  pntrlog2bndlem6  26087  pntrlog2bnd  26088  pntpbnd1a  26089  pntpbnd1  26090  pntpbnd2  26091  pntibndlem2  26095  pntlemn  26104  pntlemj  26107  pntlemf  26109  pntlemk  26110  pntlemo  26111  pnt  26118  padicabvcxp  26136  ostth2lem2  26138  ostth2lem3  26139  ostth2lem4  26140  ostth2  26141  ostth3  26142  clwwisshclwwslemlem  27719  numclwwlk5  28095  numclwwlk7  28098  ubthlem2  28576  minvecolem3  28581  lnconi  29738  prmdvdsbc  30459  ltesubnnd  30466  cshwrnid  30563  cycpmfv2  30684  madjusmdetlem2  30993  eulerpartlemgc  31520  reprle  31785  hgt750lemc  31818  hgt750lemd  31819  hgt750lemb  31827  hgt750leme  31829  tgoldbachgtde  31831  iprodgam  32872  faclimlem1  32873  faclimlem3  32875  faclim  32876  iprodfac  32877  knoppndvlem17  33765  poimirlem29  34803  heiborlem3  34974  heiborlem5  34976  heiborlem6  34977  heiborlem7  34978  heiborlem8  34979  heibor  34982  rrndstprj2  34992  rrncmslem  34993  rrnequiv  34996  zrtelqelz  39072  rtprmirr  39074  fltne  39152  fltltc  39153  fltnltalem  39154  fltnlta  39155  irrapxlem5  39303  pell14qrgapw  39353  pellqrexplicit  39354  pellqrex  39356  pellfundge  39359  pellfundgt1  39360  jm3.1lem1  39494  jm3.1lem2  39495  hashnzfz2  40533  xralrple4  41521  recnnltrp  41525  rpgtrecnn  41529  fsumnncl  41732  limsup10exlem  41933  stoweidlem31  42197  stoweidlem59  42225  wallispilem3  42233  wallispi  42236  stirlinglem12  42251  stirlinglem15  42254  fourierdlem73  42345  etransclem23  42423  nnfoctbdjlem  42618  ovnsubaddlem1  42733  ovolval5lem1  42815  ovolval5lem2  42816  vonioolem1  42843  vonioolem2  42844  vonicclem2  42847  fmtnoprmfac1lem  43573  sfprmdvdsmersenne  43615  lighneallem2  43618  proththd  43626  perfectALTVlem2  43734  fppr2odd  43743  fpprwppr  43751  fpprel2  43753  pw2m1lepw2m1  44473  logbge0b  44521  logblt1b  44522  logbpw2m1  44525  nnpw2pmod  44541  nnolog2flm1  44548  blennngt2o2  44550  dignnld  44561  digexp  44565  amgmlemALT  44802
  Copyright terms: Public domain W3C validator