Theorem nnrpd 13072

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 13043	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ℕcn 12263  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  13073  modmulnn  13925  mulp1mod1  13948  modsumfzodifsn  13981  addmodlteq  13983  nnesq  14262  digit1  14272  bcpasc  14356  cshwn  14831  iseralt  15717  climcndslem2  15882  mertenslem1  15916  mertenslem2  15917  fprodmodd  16029  efcllem  16109  ege2le3  16122  eftlub  16141  effsumlt  16143  eirrlem  16236  sqrt2irrlem  16280  p1modz1  16293  dvdsmod  16362  bitsfzo  16468  bitsmod  16469  bitscmp  16471  bitsinv1lem  16474  sadaddlem  16499  sadasslem  16503  bitsres  16506  smumul  16526  bezoutlem3  16574  eucalglt  16618  prmind2  16718  prmdvdsbc  16759  crth  16811  eulerthlem2  16815  fermltl  16817  prmdiv  16818  prmdiveq  16819  odzdvds  16828  vfermltlALT  16835  powm2modprm  16836  modprm0  16838  modprmn0modprm0  16840  prmreclem3  16951  prmreclem5  16953  prmreclem6  16954  4sqlem5  16975  4sqlem6  16976  4sqlem7  16977  4sqlem10  16980  4sqlem12  16989  vdwlem1  17014  mndodcong  19574  odmod  19578  oddvds  19579  dfod2  19596  gexexlem  19884  zringlpirlem3  21492  fermltlchr  21561  met1stc  24549  met2ndci  24550  lebnumlem3  25008  lebnumii  25011  ovollb2lem  25536  ovoliunlem1  25550  ovoliunlem3  25552  uniioombllem6  25636  itg2cnlem2  25811  elqaalem2  26376  aalioulem2  26389  aalioulem4  26391  aalioulem5  26392  aaliou2b  26397  aaliou3lem9  26406  logfac  26657  cxpeq  26814  zrtelqelz  26815  rtprmirr  26817  logbgcd1irr  26851  leibpi  26999  birthdaylem2  27009  amgmlem  27047  emcllem1  27053  emcllem2  27054  emcllem3  27055  emcllem5  27057  harmoniclbnd  27066  harmonicubnd  27067  harmonicbnd4  27068  fsumharmonic  27069  zetacvg  27072  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  lgamgulmlem4  27089  lgamgulmlem5  27090  lgamgulmlem6  27091  lgamgulm2  27093  lgambdd  27094  lgamucov  27095  lgamcvg2  27112  gamcvg  27113  gamcvg2lem  27116  regamcl  27118  relgamcl  27119  lgam1  27121  wilthlem1  27125  wilthlem2  27126  basellem1  27138  basellem6  27143  basellem8  27145  chtf  27165  efchtcl  27168  chtge0  27169  vmacl  27175  efvmacl  27177  sgmnncl  27204  chtprm  27210  chtdif  27215  efchtdvds  27216  prmorcht  27235  sgmppw  27255  vmalelog  27263  chtleppi  27268  chtublem  27269  fsumvma2  27272  pclogsum  27273  vmasum  27274  chpchtsum  27277  chpub  27278  logfacubnd  27279  logfaclbnd  27280  logfacbnd3  27281  logfacrlim  27282  logexprlim  27283  logfacrlim2  27284  perfectlem2  27288  bclbnd  27338  bposlem1  27342  bposlem2  27343  bposlem4  27345  bposlem5  27346  bposlem6  27347  bposlem7  27348  bposlem9  27350  lgslem1  27355  lgsvalmod  27374  lgsmod  27381  lgsdirprm  27389  lgsne0  27393  lgsqrlem2  27405  gausslemma2dlem0i  27422  gausslemma2dlem5a  27428  gausslemma2d  27432  lgseisenlem1  27433  lgseisenlem2  27434  lgseisenlem3  27435  lgseisenlem4  27436  lgseisen  27437  lgsquadlem2  27439  lgsquadlem3  27440  m1lgs  27446  2sqlem8  27484  2sqmod  27494  chebbnd1lem1  27527  chebbnd1lem2  27528  chebbnd1lem3  27529  chebbnd1  27530  chtppilimlem1  27531  chtppilimlem2  27532  chtppilim  27533  chebbnd2  27535  chto1lb  27536  vmadivsum  27540  vmadivsumb  27541  rplogsumlem1  27542  rplogsumlem2  27543  dchrisum0lem1a  27544  rpvmasumlem  27545  dchrisumlema  27546  dchrisumlem1  27547  dchrisumlem2  27548  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem1  27553  dchrvmasum2lem  27554  dchrvmasum2if  27555  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumlem3  27557  dchrvmasumiflem1  27559  dchrvmasumiflem2  27560  dchrisum0flblem2  27567  dchrisum0fno1  27569  dchrisum0lema  27572  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  dchrisum0lem3  27577  dchrisum0  27578  dirith2  27586  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  mulogsum  27590  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  mulog2sumlem3  27594  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  logsqvma  27600  log2sumbnd  27602  selberglem1  27603  selberglem2  27604  selberglem3  27605  selberg  27606  selbergb  27607  selberg2lem  27608  selberg2  27609  selberg2b  27610  chpdifbndlem1  27611  logdivbnd  27614  selberg3lem1  27615  selberg3lem2  27616  selberg3  27617  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  pntrsumo1  27623  pntrsumbnd2  27625  selbergr  27626  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntsf  27631  pntsval2  27634  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1a  27643  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  pntibndlem2  27649  pntlemn  27658  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemk  27664  pntlemo  27665  pnt  27672  padicabvcxp  27690  ostth2lem2  27692  ostth2lem3  27693  ostth2lem4  27694  ostth2  27695  ostth3  27696  clwwisshclwwslemlem  30041  numclwwlk5  30416  numclwwlk7  30419  nrt2irr  30501  ubthlem2  30899  minvecolem3  30904  lnconi  32061  ltesubnnd  32828  cshwrnid  32930  cycpmfv2  33116  znfermltl  33373  madjusmdetlem2  33788  eulerpartlemgc  34343  reprle  34607  hgt750lemc  34640  hgt750lemd  34641  hgt750lemb  34649  hgt750leme  34651  tgoldbachgtde  34653  iprodgam  35721  faclimlem1  35722  faclimlem3  35724  faclim  35725  iprodfac  35726  knoppndvlem17  36510  poimirlem29  37635  heiborlem3  37799  heiborlem5  37801  heiborlem6  37802  heiborlem7  37803  heiborlem8  37804  heibor  37807  rrndstprj2  37817  rrncmslem  37818  rrnequiv  37821  lcmineqlem20  42029  lcmineqlem23  42032  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow2ineq2  42040  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p8d2  42066  aks4d1p8  42068  remexz  42085  hashscontpow1  42102  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c2  42111  bcled  42159  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  metakunt18  42203  metakunt30  42215  dvdsexpnn  42346  fltne  42630  flt4lem7  42645  fltltc  42647  fltnltalem  42648  fltnlta  42649  irrapxlem5  42813  pell14qrgapw  42863  pellqrexplicit  42864  pellqrex  42866  pellfundge  42869  pellfundgt1  42870  jm3.1lem1  43005  jm3.1lem2  43006  hashnzfz2  44316  xralrple4  45322  recnnltrp  45326  rpgtrecnn  45329  fsumnncl  45527  limsup10exlem  45727  stoweidlem31  45986  stoweidlem59  46014  wallispilem3  46022  wallispi  46025  stirlinglem12  46040  stirlinglem15  46043  fourierdlem73  46134  etransclem23  46212  nnfoctbdjlem  46410  ovnsubaddlem1  46525  ovolval5lem1  46607  ovolval5lem2  46608  vonioolem1  46635  vonioolem2  46636  vonicclem2  46639  fmtnoprmfac1lem  47488  sfprmdvdsmersenne  47527  lighneallem2  47530  proththd  47538  perfectALTVlem2  47646  fppr2odd  47655  fpprwppr  47663  fpprel2  47665  gpgedgvtx1  47954  gpg5nbgrvtx03starlem2  47959  gpg5nbgrvtx13starlem2  47962  gpg3nbgrvtx0  47966  pw2m1lepw2m1  48365  logbge0b  48412  logblt1b  48413  logbpw2m1  48416  nnpw2pmod  48432  nnolog2flm1  48439  blennngt2o2  48441  dignnld  48452  digexp  48456  amgmlemALT  49033