Theorem nnrpd 12969

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℕcn 12162  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12970  modmulnn  13827  modaddid  13848  mulp1mod1  13852  modsumfzodifsn  13885  addmodlteq  13887  nnesq  14168  digit1  14178  bcpasc  14262  cshwn  14738  iseralt  15627  climcndslem2  15792  mertenslem1  15826  mertenslem2  15827  fprodmodd  15939  efcllem  16019  ege2le3  16032  eftlub  16053  effsumlt  16055  eirrlem  16148  sqrt2irrlem  16192  p1modz1  16205  dvdsmod  16275  bitsfzo  16381  bitsmod  16382  bitscmp  16384  bitsinv1lem  16387  sadaddlem  16412  sadasslem  16416  bitsres  16419  smumul  16439  bezoutlem3  16487  eucalglt  16531  prmind2  16631  prmdvdsbc  16672  crth  16724  eulerthlem2  16728  fermltl  16730  prmdiv  16731  prmdiveq  16732  odzdvds  16742  vfermltlALT  16749  powm2modprm  16750  modprm0  16752  modprmn0modprm0  16754  prmreclem3  16865  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  4sqlem5  16889  4sqlem6  16890  4sqlem7  16891  4sqlem10  16894  4sqlem12  16903  vdwlem1  16928  mndodcong  19456  odmod  19460  oddvds  19461  dfod2  19478  gexexlem  19766  zringlpirlem3  21406  fermltlchr  21471  met1stc  24442  met2ndci  24443  lebnumlem3  24895  lebnumii  24898  ovollb2lem  25422  ovoliunlem1  25436  ovoliunlem3  25438  uniioombllem6  25522  itg2cnlem2  25696  elqaalem2  26261  aalioulem2  26274  aalioulem4  26276  aalioulem5  26277  aaliou2b  26282  aaliou3lem9  26291  logfac  26543  cxpeq  26700  zrtelqelz  26701  rtprmirr  26703  logbgcd1irr  26737  leibpi  26885  birthdaylem2  26895  amgmlem  26933  emcllem1  26939  emcllem2  26940  emcllem3  26941  emcllem5  26943  harmoniclbnd  26952  harmonicubnd  26953  harmonicbnd4  26954  fsumharmonic  26955  zetacvg  26958  lgamgulmlem2  26973  lgamgulmlem3  26974  lgamgulmlem4  26975  lgamgulmlem5  26976  lgamgulmlem6  26977  lgamgulm2  26979  lgambdd  26980  lgamucov  26981  lgamcvg2  26998  gamcvg  26999  gamcvg2lem  27002  regamcl  27004  relgamcl  27005  lgam1  27007  wilthlem1  27011  wilthlem2  27012  basellem1  27024  basellem6  27029  basellem8  27031  chtf  27051  efchtcl  27054  chtge0  27055  vmacl  27061  efvmacl  27063  sgmnncl  27090  chtprm  27096  chtdif  27101  efchtdvds  27102  prmorcht  27121  sgmppw  27141  vmalelog  27149  chtleppi  27154  chtublem  27155  fsumvma2  27158  pclogsum  27159  vmasum  27160  chpchtsum  27163  chpub  27164  logfacubnd  27165  logfaclbnd  27166  logfacbnd3  27167  logfacrlim  27168  logexprlim  27169  logfacrlim2  27170  perfectlem2  27174  bclbnd  27224  bposlem1  27228  bposlem2  27229  bposlem4  27231  bposlem5  27232  bposlem6  27233  bposlem7  27234  bposlem9  27236  lgslem1  27241  lgsvalmod  27260  lgsmod  27267  lgsdirprm  27275  lgsne0  27279  lgsqrlem2  27291  gausslemma2dlem0i  27308  gausslemma2dlem5a  27314  gausslemma2d  27318  lgseisenlem1  27319  lgseisenlem2  27320  lgseisenlem3  27321  lgseisenlem4  27322  lgseisen  27323  lgsquadlem2  27325  lgsquadlem3  27326  m1lgs  27332  2sqlem8  27370  2sqmod  27380  chebbnd1lem1  27413  chebbnd1lem2  27414  chebbnd1lem3  27415  chebbnd1  27416  chtppilimlem1  27417  chtppilimlem2  27418  chtppilim  27419  chebbnd2  27421  chto1lb  27422  vmadivsum  27426  vmadivsumb  27427  rplogsumlem1  27428  rplogsumlem2  27429  dchrisum0lem1a  27430  rpvmasumlem  27431  dchrisumlema  27432  dchrisumlem1  27433  dchrisumlem2  27434  dchrmusum2  27438  dchrvmasumlem1  27439  dchrvmasum2lem  27440  dchrvmasum2if  27441  dchrvmasumlem2  27442  dchrvmasumlem3  27443  dchrvmasumiflem1  27445  dchrvmasumiflem2  27446  dchrisum0flblem2  27453  dchrisum0fno1  27455  dchrisum0lema  27458  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem1  27460  dchrisum0lem2a  27461  dchrisum0lem2  27462  dchrisum0lem3  27463  dchrisum0  27464  dirith2  27472  mudivsum  27474  mulogsumlem  27475  mulogsum  27476  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  mulog2sumlem3  27480  vmalogdivsum2  27482  vmalogdivsum  27483  2vmadivsumlem  27484  logsqvma  27486  log2sumbnd  27488  selberglem1  27489  selberglem2  27490  selberglem3  27491  selberg  27492  selbergb  27493  selberg2lem  27494  selberg2  27495  selberg2b  27496  chpdifbndlem1  27497  logdivbnd  27500  selberg3lem1  27501  selberg3lem2  27502  selberg3  27503  selberg4lem1  27504  selberg4  27505  pntrsumo1  27509  pntrsumbnd2  27511  selbergr  27512  selberg3r  27513  selberg4r  27514  selberg34r  27515  pntsf  27517  pntsval2  27520  pntrlog2bndlem1  27521  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem3  27523  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntrlog2bndlem6  27527  pntrlog2bnd  27528  pntpbnd1a  27529  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  pntibndlem2  27535  pntlemn  27544  pntlemj  27547  pntlemf  27549  pntlemk  27550  pntlemo  27551  pnt  27558  padicabvcxp  27576  ostth2lem2  27578  ostth2lem3  27579  ostth2lem4  27580  ostth2  27581  ostth3  27582  clwwisshclwwslemlem  29992  numclwwlk5  30367  numclwwlk7  30370  nrt2irr  30452  ubthlem2  30850  minvecolem3  30855  lnconi  32012  ltesubnnd  32797  2exple2exp  32820  cshwrnid  32933  cycpmfv2  33086  znfermltl  33330  madjusmdetlem2  33811  eulerpartlemgc  34346  reprle  34598  hgt750lemc  34631  hgt750lemd  34632  hgt750lemb  34640  hgt750leme  34642  tgoldbachgtde  34644  iprodgam  35722  faclimlem1  35723  faclimlem3  35725  faclim  35726  iprodfac  35727  knoppndvlem17  36509  poimirlem29  37636  heiborlem3  37800  heiborlem5  37802  heiborlem6  37803  heiborlem7  37804  heiborlem8  37805  heibor  37808  rrndstprj2  37818  rrncmslem  37819  rrnequiv  37822  lcmineqlem20  42029  lcmineqlem23  42032  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow2ineq2  42040  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p8d2  42066  aks4d1p8  42068  remexz  42085  hashscontpow1  42102  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c2  42111  bcled  42159  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  dvdsexpnn  42314  fltne  42625  flt4lem7  42640  fltltc  42642  fltnltalem  42643  fltnlta  42644  irrapxlem5  42807  pell14qrgapw  42857  pellqrexplicit  42858  pellqrex  42860  pellfundge  42863  pellfundgt1  42864  jm3.1lem1  42999  jm3.1lem2  43000  hashnzfz2  44303  xralrple4  45362  recnnltrp  45366  rpgtrecnn  45369  fsumnncl  45563  limsup10exlem  45763  stoweidlem31  46022  stoweidlem59  46050  wallispilem3  46058  wallispi  46061  stirlinglem12  46076  stirlinglem15  46079  fourierdlem73  46170  etransclem23  46248  nnfoctbdjlem  46446  ovnsubaddlem1  46561  ovolval5lem1  46643  ovolval5lem2  46644  vonioolem1  46671  vonioolem2  46672  vonicclem2  46675  fmtnoprmfac1lem  47558  sfprmdvdsmersenne  47597  lighneallem2  47600  proththd  47608  perfectALTVlem2  47716  fppr2odd  47725  fpprwppr  47733  fpprel2  47735  gpgedgvtx1  48046  gpg5nbgrvtx03starlem2  48053  gpg5nbgrvtx13starlem2  48056  gpg3nbgrvtx0  48060  pw2m1lepw2m1  48502  logbge0b  48545  logblt1b  48546  logbpw2m1  48549  nnpw2pmod  48565  nnolog2flm1  48572  blennngt2o2  48574  dignnld  48585  digexp  48589  amgmlemALT  49785