Theorem nnrpd 13202

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 13172	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ℕcn 12375  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-rp 13161

This theorem is used by:  zgt1rpn0n1  13203  modmulnn  14069  modaddid  14090  mulp1mod1  14094  modsumfzodifsn  14127  addmodlteq  14129  nnesq  14412  digit1  14422  bcpasc  14506  cshwn  14990  iseralt  15896  climcndslem2  16063  mertenslem1  16097  mertenslem2  16098  fprodmodd  16208  efcllem  16287  ege2le3  16300  eftlub  16321  effsumlt  16323  eirrlem  16416  sqrt2irrlem  16460  p1modz1  16473  dvdsmod  16543  bitsfzo  16649  bitsmod  16650  bitscmp  16652  bitsinv1lem  16655  sadaddlem  16680  sadasslem  16684  bitsres  16687  smumul  16707  bezoutlem3  16758  dvdsexpnn  16784  eucalglt  16804  prmind2  16904  prmdvdsbc  16946  crth  16999  eulerthlem2  17003  fermltl  17005  prmdiv  17006  prmdiveq  17007  odzdvds  17017  vfermltlALT  17024  powm2modprm  17025  modprm0  17027  modprmn0modprm0  17029  prmreclem3  17140  prmreclem5  17142  prmreclem6  17143  4sqlem5  17164  4sqlem6  17165  4sqlem7  17166  4sqlem10  17169  4sqlem12  17178  vdwlem1  17203  mndodcong  19807  odmod  19811  oddvds  19812  dfod2  19829  gexexlem  20117  zringlpirlem3  21825  fermltlchr  21890  met1stc  24895  met2ndci  24896  lebnumlem3  25339  lebnumii  25342  ovollb2lem  25864  ovoliunlem1  25878  ovoliunlem3  25880  uniioombllem6  25964  itg2cnlem2  26138  elqaalem2  26700  aalioulem2  26717  aalioulem4  26719  aalioulem5  26720  aaliou2b  26725  aaliou3lem9  26734  logfac  26986  cxpeq  27142  zrtelqelz  27143  rtprmirr  27145  logbgcd1irr  27179  leibpi  27327  birthdaylem2  27337  amgmlem  27374  emcllem1  27380  emcllem2  27381  emcllem3  27382  emcllem5  27384  harmoniclbnd  27393  harmonicubnd  27394  harmonicbnd4  27395  fsumharmonic  27396  zetacvg  27399  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  lgamgulmlem4  27416  lgamgulmlem5  27417  lgamgulmlem6  27418  lgamgulm2  27420  lgambdd  27421  lgamucov  27422  lgamcvg2  27439  gamcvg  27440  gamcvg2lem  27443  regamcl  27445  relgamcl  27446  lgam1  27448  wilthlem1  27452  wilthlem2  27453  basellem1  27465  basellem6  27470  basellem8  27472  chtf  27492  efchtcl  27495  chtge0  27496  vmacl  27502  efvmacl  27504  sgmnncl  27531  chtprm  27537  chtdif  27542  efchtdvds  27543  prmorcht  27562  sgmppw  27581  vmalelog  27589  chtleppi  27594  chtublem  27595  fsumvma2  27598  pclogsum  27599  vmasum  27600  chpchtsum  27603  chpub  27604  logfacubnd  27605  logfaclbnd  27606  logfacbnd3  27607  logfacrlim  27608  logexprlim  27609  logfacrlim2  27610  perfectlem2  27614  bclbnd  27664  bposlem1  27668  bposlem2  27669  bposlem4  27671  bposlem5  27672  bposlem6  27673  bposlem7  27674  bposlem9  27676  lgslem1  27681  lgsvalmod  27700  lgsmod  27707  lgsdirprm  27715  lgsne0  27719  lgsqrlem2  27731  gausslemma2dlem0i  27748  gausslemma2dlem5a  27754  gausslemma2d  27758  lgseisenlem1  27759  lgseisenlem2  27760  lgseisenlem3  27761  lgseisenlem4  27762  lgseisen  27763  lgsquadlem2  27765  lgsquadlem3  27766  m1lgs  27772  2sqlem8  27810  2sqmod  27820  chebbnd1lem1  27853  chebbnd1lem2  27854  chebbnd1lem3  27855  chebbnd1  27856  chtppilimlem1  27857  chtppilimlem2  27858  chtppilim  27859  chebbnd2  27861  chto1lb  27862  vmadivsum  27866  vmadivsumb  27867  rplogsumlem1  27868  rplogsumlem2  27869  dchrisum0lem1a  27870  rpvmasumlem  27871  dchrisumlema  27872  dchrisumlem1  27873  dchrisumlem2  27874  dchrmusum2  27878  dchrvmasumlem1  27879  dchrvmasum2lem  27880  dchrvmasum2if  27881  dchrvmasumlem2  27882  dchrvmasumlem3  27883  dchrvmasumiflem1  27885  dchrvmasumiflem2  27886  dchrisum0flblem2  27893  dchrisum0fno1  27895  dchrisum0lema  27898  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  dchrisum0lem2  27902  dchrisum0lem3  27903  dchrisum0  27904  dirith2  27912  mudivsum  27914  mulogsumlem  27915  mulogsum  27916  mulog2sumlem1  27918  mulog2sumlem2  27919  mulog2sumlem3  27920  vmalogdivsum2  27922  vmalogdivsum  27923  2vmadivsumlem  27924  logsqvma  27926  log2sumbnd  27928  selberglem1  27929  selberglem2  27930  selberglem3  27931  selberg  27932  selbergb  27933  selberg2lem  27934  selberg2  27935  selberg2b  27936  chpdifbndlem1  27937  logdivbnd  27940  selberg3lem1  27941  selberg3lem2  27942  selberg3  27943  selberg4lem1  27944  selberg4  27945  pntrsumo1  27949  pntrsumbnd2  27951  selbergr  27952  selberg3r  27953  selberg4r  27954  selberg34r  27955  pntsf  27957  pntsval2  27960  pntrlog2bndlem1  27961  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem3  27963  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem5  27965  pntrlog2bndlem6  27967  pntrlog2bnd  27968  pntpbnd1a  27969  pntpbnd1  27970  pntpbnd2  27971  pntibndlem2  27975  pntlemn  27984  pntlemj  27987  pntlemf  27989  pntlemk  27990  pntlemo  27991  pnt  27998  padicabvcxp  28016  ostth2lem2  28018  ostth2lem3  28019  ostth2lem4  28020  ostth2  28021  ostth3  28022  fltne  28032  flt4lem7  28046  clwwisshclwwslemlem  30661  numclwwlk5  31046  numclwwlk7  31049  nrt2irr  31131  ubthlem2  31530  minvecolem3  31535  lnconi  32692  ltesubnnd  33510  2exple2exp  33521  cshwrnid  33618  cycpmfv2  33774  znfermltl  34026  madjusmdetlem2  34571  eulerpartlemgc  35105  reprle  35354  hgt750lemc  35387  hgt750lemd  35388  hgt750lemb  35396  hgt750leme  35398  tgoldbachgtde  35400  iprodgam  36722  faclimlem1  36723  faclimlem3  36725  faclim  36726  iprodfac  36727  knoppndvlem17  37609  poimirlem29  38835  heiborlem3  39013  heiborlem5  39015  heiborlem6  39016  heiborlem7  39017  heiborlem8  39018  heibor  39021  rrndstprj2  39031  rrncmslem  39032  rrnequiv  39035  lcmineqlem20  43364  lcmineqlem23  43367  3lexlogpow5ineq2  43371  3lexlogpow2ineq2  43375  aks4d1p5  43396  aks4d1p6  43397  aks4d1p8d2  43401  aks4d1p8  43403  remexz  43420  hashscontpow1  43437  aks6d1c2lem4  43443  aks6d1c2  43446  bcled  43494  bcle2d  43495  aks6d1c7lem1  43496  fltltc  43938  fltnltalem  43939  fltnlta  43940  irrapxlem5  44099  pell14qrgapw  44149  pellqrexplicit  44150  pellqrex  44152  pellfundge  44155  pellfundgt1  44156  jm3.1lem1  44290  jm3.1lem2  44291  hashnzfz2  45566  xralrple4  46657  recnnltrp  46661  rpgtrecnn  46664  fsumnncl  46857  limsup10exlem  47055  stoweidlem31  47314  stoweidlem59  47342  wallispilem3  47350  wallispi  47353  stirlinglem12  47368  stirlinglem15  47371  fourierdlem73  47462  etransclem23  47540  nnfoctbdjlem  47738  ovnsubaddlem1  47853  ovolval5lem1  47935  ovolval5lem2  47936  vonioolem1  47963  vonioolem2  47964  vonicclem2  47967  2timesltsqm1  48722  fmtnoprmfac1lem  48922  sfprmdvdsmersenne  48961  lighneallem2  48964  proththd  48972  perfectALTVlem2  49093  fppr2odd  49102  fpprwppr  49110  fpprel2  49112  gpgedgvtx1  49433  gpg5nbgrvtx03starlem2  49440  gpg5nbgrvtx13starlem2  49443  gpg3nbgrvtx0  49447  pw2m1lepw2m1  49963  logbge0b  50006  logblt1b  50007  logbpw2m1  50010  nnpw2pmod  50026  nnolog2flm1  50033  blennngt2o2  50035  dignnld  50046  digexp  50050  amgmlemALT  51416