Theorem nnrpd 13162

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 13132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ℕcn 12335  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-rp 13121

This theorem is used by:  zgt1rpn0n1  13163  modmulnn  14029  modaddid  14050  mulp1mod1  14054  modsumfzodifsn  14087  addmodlteq  14089  nnesq  14371  digit1  14381  bcpasc  14465  cshwn  14948  iseralt  15852  climcndslem2  16019  mertenslem1  16053  mertenslem2  16054  fprodmodd  16164  efcllem  16243  ege2le3  16256  eftlub  16277  effsumlt  16279  eirrlem  16372  sqrt2irrlem  16416  p1modz1  16429  dvdsmod  16499  bitsfzo  16605  bitsmod  16606  bitscmp  16608  bitsinv1lem  16611  sadaddlem  16636  sadasslem  16640  bitsres  16643  smumul  16663  bezoutlem3  16714  dvdsexpnn  16740  eucalglt  16760  prmind2  16860  prmdvdsbc  16902  crth  16955  eulerthlem2  16959  fermltl  16961  prmdiv  16962  prmdiveq  16963  odzdvds  16973  vfermltlALT  16980  powm2modprm  16981  modprm0  16983  modprmn0modprm0  16985  prmreclem3  17096  prmreclem5  17098  prmreclem6  17099  4sqlem5  17120  4sqlem6  17121  4sqlem7  17122  4sqlem10  17125  4sqlem12  17134  vdwlem1  17159  mndodcong  19756  odmod  19760  oddvds  19761  dfod2  19778  gexexlem  20066  zringlpirlem3  21770  fermltlchr  21835  met1stc  24840  met2ndci  24841  lebnumlem3  25284  lebnumii  25287  ovollb2lem  25809  ovoliunlem1  25823  ovoliunlem3  25825  uniioombllem6  25909  itg2cnlem2  26083  elqaalem2  26643  aalioulem2  26660  aalioulem4  26662  aalioulem5  26663  aaliou2b  26668  aaliou3lem9  26677  logfac  26929  cxpeq  27085  zrtelqelz  27086  rtprmirr  27088  logbgcd1irr  27122  leibpi  27270  birthdaylem2  27280  amgmlem  27317  emcllem1  27323  emcllem2  27324  emcllem3  27325  emcllem5  27327  harmoniclbnd  27336  harmonicubnd  27337  harmonicbnd4  27338  fsumharmonic  27339  zetacvg  27342  lgamgulmlem2  27357  lgamgulmlem3  27358  lgamgulmlem4  27359  lgamgulmlem5  27360  lgamgulmlem6  27361  lgamgulm2  27363  lgambdd  27364  lgamucov  27365  lgamcvg2  27382  gamcvg  27383  gamcvg2lem  27386  regamcl  27388  relgamcl  27389  lgam1  27391  wilthlem1  27395  wilthlem2  27396  basellem1  27408  basellem6  27413  basellem8  27415  chtf  27435  efchtcl  27438  chtge0  27439  vmacl  27445  efvmacl  27447  sgmnncl  27474  chtprm  27480  chtdif  27485  efchtdvds  27486  prmorcht  27505  sgmppw  27524  vmalelog  27532  chtleppi  27537  chtublem  27538  fsumvma2  27541  pclogsum  27542  vmasum  27543  chpchtsum  27546  chpub  27547  logfacubnd  27548  logfaclbnd  27549  logfacbnd3  27550  logfacrlim  27551  logexprlim  27552  logfacrlim2  27553  perfectlem2  27557  bclbnd  27607  bposlem1  27611  bposlem2  27612  bposlem4  27614  bposlem5  27615  bposlem6  27616  bposlem7  27617  bposlem9  27619  lgslem1  27624  lgsvalmod  27643  lgsmod  27650  lgsdirprm  27658  lgsne0  27662  lgsqrlem2  27674  gausslemma2dlem0i  27691  gausslemma2dlem5a  27697  gausslemma2d  27701  lgseisenlem1  27702  lgseisenlem2  27703  lgseisenlem3  27704  lgseisenlem4  27705  lgseisen  27706  lgsquadlem2  27708  lgsquadlem3  27709  m1lgs  27715  2sqlem8  27753  2sqmod  27763  chebbnd1lem1  27796  chebbnd1lem2  27797  chebbnd1lem3  27798  chebbnd1  27799  chtppilimlem1  27800  chtppilimlem2  27801  chtppilim  27802  chebbnd2  27804  chto1lb  27805  vmadivsum  27809  vmadivsumb  27810  rplogsumlem1  27811  rplogsumlem2  27812  dchrisum0lem1a  27813  rpvmasumlem  27814  dchrisumlema  27815  dchrisumlem1  27816  dchrisumlem2  27817  dchrmusum2  27821  dchrvmasumlem1  27822  dchrvmasum2lem  27823  dchrvmasum2if  27824  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumlem3  27826  dchrvmasumiflem1  27828  dchrvmasumiflem2  27829  dchrisum0flblem2  27836  dchrisum0fno1  27838  dchrisum0lema  27841  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem2a  27844  dchrisum0lem2  27845  dchrisum0lem3  27846  dchrisum0  27847  dirith2  27855  mudivsum  27857  mulogsumlem  27858  mulogsum  27859  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  mulog2sumlem3  27863  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  2vmadivsumlem  27867  logsqvma  27869  log2sumbnd  27871  selberglem1  27872  selberglem2  27873  selberglem3  27874  selberg  27875  selbergb  27876  selberg2lem  27877  selberg2  27878  selberg2b  27879  chpdifbndlem1  27880  logdivbnd  27883  selberg3lem1  27884  selberg3lem2  27885  selberg3  27886  selberg4lem1  27887  selberg4  27888  pntrsumo1  27892  pntrsumbnd2  27894  selbergr  27895  selberg3r  27896  selberg4r  27897  selberg34r  27898  pntsf  27900  pntsval2  27903  pntrlog2bndlem1  27904  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6  27910  pntrlog2bnd  27911  pntpbnd1a  27912  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntibndlem2  27918  pntlemn  27927  pntlemj  27930  pntlemf  27932  pntlemk  27933  pntlemo  27934  pnt  27941  padicabvcxp  27959  ostth2lem2  27961  ostth2lem3  27962  ostth2lem4  27963  ostth2  27964  ostth3  27965  fltne  27975  flt4lem7  27989  clwwisshclwwslemlem  30604  numclwwlk5  30989  numclwwlk7  30992  nrt2irr  31074  ubthlem2  31473  minvecolem3  31478  lnconi  32635  ltesubnnd  33414  2exple2exp  33425  cshwrnid  33522  cycpmfv2  33675  znfermltl  33922  madjusmdetlem2  34460  eulerpartlemgc  34994  reprle  35243  hgt750lemc  35276  hgt750lemd  35277  hgt750lemb  35285  hgt750leme  35287  tgoldbachgtde  35289  iprodgam  36507  faclimlem1  36508  faclimlem3  36510  faclim  36511  iprodfac  36512  knoppndvlem17  37394  poimirlem29  38567  heiborlem3  38747  heiborlem5  38749  heiborlem6  38750  heiborlem7  38751  heiborlem8  38752  heibor  38755  rrndstprj2  38765  rrncmslem  38766  rrnequiv  38769  lcmineqlem20  43098  lcmineqlem23  43101  3lexlogpow5ineq2  43105  3lexlogpow2ineq2  43109  aks4d1p5  43130  aks4d1p6  43131  aks4d1p8d2  43135  aks4d1p8  43137  remexz  43154  hashscontpow1  43171  aks6d1c2lem4  43177  aks6d1c2  43180  bcled  43228  bcle2d  43229  aks6d1c7lem1  43230  fltltc  43672  fltnltalem  43673  fltnlta  43674  irrapxlem5  43832  pell14qrgapw  43882  pellqrexplicit  43883  pellqrex  43885  pellfundge  43888  pellfundgt1  43889  jm3.1lem1  44023  jm3.1lem2  44024  hashnzfz2  45304  xralrple4  46383  recnnltrp  46387  rpgtrecnn  46390  fsumnncl  46583  limsup10exlem  46781  stoweidlem31  47040  stoweidlem59  47068  wallispilem3  47076  wallispi  47079  stirlinglem12  47094  stirlinglem15  47097  fourierdlem73  47188  etransclem23  47266  nnfoctbdjlem  47464  ovnsubaddlem1  47579  ovolval5lem1  47661  ovolval5lem2  47662  vonioolem1  47689  vonioolem2  47690  vonicclem2  47693  2timesltsqm1  48448  fmtnoprmfac1lem  48648  sfprmdvdsmersenne  48687  lighneallem2  48690  proththd  48698  perfectALTVlem2  48819  fppr2odd  48828  fpprwppr  48836  fpprel2  48838  gpgedgvtx1  49159  gpg5nbgrvtx03starlem2  49166  gpg5nbgrvtx13starlem2  49169  gpg3nbgrvtx0  49173  pw2m1lepw2m1  49631  logbge0b  49674  logblt1b  49675  logbpw2m1  49678  nnpw2pmod  49694  nnolog2flm1  49701  blennngt2o2  49703  dignnld  49714  digexp  49718  amgmlemALT  50987