MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrpd 12956
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrpd (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrp 12927 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cn 12154  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12957  modmulnn  13795  mulp1mod1  13818  modsumfzodifsn  13850  addmodlteq  13852  nnesq  14131  digit1  14141  bcpasc  14222  cshwn  14686  iseralt  15570  climcndslem2  15736  mertenslem1  15770  mertenslem2  15771  fprodmodd  15881  efcllem  15961  ege2le3  15973  eftlub  15992  effsumlt  15994  eirrlem  16087  sqrt2irrlem  16131  p1modz1  16144  dvdsmod  16212  bitsfzo  16316  bitsmod  16317  bitscmp  16319  bitsinv1lem  16322  sadaddlem  16347  sadasslem  16351  bitsres  16354  smumul  16374  bezoutlem3  16423  eucalglt  16462  prmind2  16562  crth  16651  eulerthlem2  16655  fermltl  16657  prmdiv  16658  prmdiveq  16659  odzdvds  16668  vfermltlALT  16675  powm2modprm  16676  modprm0  16678  modprmn0modprm0  16680  prmreclem3  16791  prmreclem5  16793  prmreclem6  16794  4sqlem5  16815  4sqlem6  16816  4sqlem7  16817  4sqlem10  16820  4sqlem12  16829  vdwlem1  16854  mndodcong  19325  odmod  19329  oddvds  19330  dfod2  19347  gexexlem  19631  zringlpirlem3  20888  met1stc  23880  met2ndci  23881  lebnumlem3  24329  lebnumii  24332  ovollb2lem  24855  ovoliunlem1  24869  ovoliunlem3  24871  uniioombllem6  24955  itg2cnlem2  25130  elqaalem2  25683  aalioulem2  25696  aalioulem4  25698  aalioulem5  25699  aaliou2b  25704  aaliou3lem9  25713  logfac  25959  cxpeq  26113  logbgcd1irr  26147  leibpi  26295  birthdaylem2  26305  amgmlem  26342  emcllem1  26348  emcllem2  26349  emcllem3  26350  emcllem5  26352  harmoniclbnd  26361  harmonicubnd  26362  harmonicbnd4  26363  fsumharmonic  26364  zetacvg  26367  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem3  26383  lgamgulmlem4  26384  lgamgulmlem5  26385  lgamgulmlem6  26386  lgamgulm2  26388  lgambdd  26389  lgamucov  26390  lgamcvg2  26407  gamcvg  26408  gamcvg2lem  26411  regamcl  26413  relgamcl  26414  lgam1  26416  wilthlem1  26420  wilthlem2  26421  basellem1  26433  basellem6  26438  basellem8  26440  chtf  26460  efchtcl  26463  chtge0  26464  vmacl  26470  efvmacl  26472  sgmnncl  26499  chtprm  26505  chtdif  26510  efchtdvds  26511  prmorcht  26530  sgmppw  26548  vmalelog  26556  chtleppi  26561  chtublem  26562  fsumvma2  26565  pclogsum  26566  vmasum  26567  chpchtsum  26570  chpub  26571  logfacubnd  26572  logfaclbnd  26573  logfacbnd3  26574  logfacrlim  26575  logexprlim  26576  logfacrlim2  26577  perfectlem2  26581  bclbnd  26631  bposlem1  26635  bposlem2  26636  bposlem4  26638  bposlem5  26639  bposlem6  26640  bposlem7  26641  bposlem9  26643  lgslem1  26648  lgsvalmod  26667  lgsmod  26674  lgsdirprm  26682  lgsne0  26686  lgsqrlem2  26698  gausslemma2dlem0i  26715  gausslemma2dlem5a  26721  gausslemma2d  26725  lgseisenlem1  26726  lgseisenlem2  26727  lgseisenlem3  26728  lgseisenlem4  26729  lgseisen  26730  lgsquadlem2  26732  lgsquadlem3  26733  m1lgs  26739  2sqlem8  26777  2sqmod  26787  chebbnd1lem1  26820  chebbnd1lem2  26821  chebbnd1lem3  26822  chebbnd1  26823  chtppilimlem1  26824  chtppilimlem2  26825  chtppilim  26826  chebbnd2  26828  chto1lb  26829  vmadivsum  26833  vmadivsumb  26834  rplogsumlem1  26835  rplogsumlem2  26836  dchrisum0lem1a  26837  rpvmasumlem  26838  dchrisumlema  26839  dchrisumlem1  26840  dchrisumlem2  26841  dchrmusum2  26845  dchrvmasumlem1  26846  dchrvmasum2lem  26847  dchrvmasum2if  26848  dchrvmasumlem2  26849  dchrvmasumlem3  26850  dchrvmasumiflem1  26852  dchrvmasumiflem2  26853  dchrisum0flblem2  26860  dchrisum0fno1  26862  dchrisum0lema  26865  dchrisum0lem1b  26866  dchrisum0lem1  26867  dchrisum0lem2a  26868  dchrisum0lem2  26869  dchrisum0lem3  26870  dchrisum0  26871  dirith2  26879  mudivsum  26881  mulogsumlem  26882  mulogsum  26883  mulog2sumlem1  26885  mulog2sumlem2  26886  mulog2sumlem3  26887  vmalogdivsum2  26889  vmalogdivsum  26890  2vmadivsumlem  26891  logsqvma  26893  log2sumbnd  26895  selberglem1  26896  selberglem2  26897  selberglem3  26898  selberg  26899  selbergb  26900  selberg2lem  26901  selberg2  26902  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  logdivbnd  26907  selberg3lem1  26908  selberg3lem2  26909  selberg3  26910  selberg4lem1  26911  selberg4  26912  pntrsumo1  26916  pntrsumbnd2  26918  selbergr  26919  selberg3r  26920  selberg4r  26921  selberg34r  26922  pntsf  26924  pntsval2  26927  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem3  26930  pntrlog2bndlem4  26931  pntrlog2bndlem5  26932  pntrlog2bndlem6  26934  pntrlog2bnd  26935  pntpbnd1a  26936  pntpbnd1  26937  pntpbnd2  26938  pntibndlem2  26942  pntlemn  26951  pntlemj  26954  pntlemf  26956  pntlemk  26957  pntlemo  26958  pnt  26965  padicabvcxp  26983  ostth2lem2  26985  ostth2lem3  26986  ostth2lem4  26987  ostth2  26988  ostth3  26989  clwwisshclwwslemlem  28960  numclwwlk5  29335  numclwwlk7  29338  ubthlem2  29816  minvecolem3  29821  lnconi  30978  prmdvdsbc  31715  ltesubnnd  31721  cshwrnid  31818  cycpmfv2  31966  fermltlchr  32157  znfermltl  32158  madjusmdetlem2  32412  eulerpartlemgc  32965  reprle  33230  hgt750lemc  33263  hgt750lemd  33264  hgt750lemb  33272  hgt750leme  33274  tgoldbachgtde  33276  iprodgam  34318  faclimlem1  34319  faclimlem3  34321  faclim  34322  iprodfac  34323  knoppndvlem17  34994  poimirlem29  36110  heiborlem3  36275  heiborlem5  36277  heiborlem6  36278  heiborlem7  36279  heiborlem8  36280  heibor  36283  rrndstprj2  36293  rrncmslem  36294  rrnequiv  36297  lcmineqlem20  40508  lcmineqlem23  40511  3lexlogpow5ineq2  40515  3lexlogpow2ineq2  40519  aks4d1p5  40540  aks4d1p6  40541  aks4d1p8d2  40545  aks4d1p8  40547  metakunt18  40597  metakunt30  40609  dvdsexpnn  40829  zrtelqelz  40834  rtprmirr  40836  fltne  40985  flt4lem7  41000  fltltc  41002  fltnltalem  41003  fltnlta  41004  irrapxlem5  41152  pell14qrgapw  41202  pellqrexplicit  41203  pellqrex  41205  pellfundge  41208  pellfundgt1  41209  jm3.1lem1  41344  jm3.1lem2  41345  hashnzfz2  42608  xralrple4  43614  recnnltrp  43618  rpgtrecnn  43621  fsumnncl  43820  limsup10exlem  44020  stoweidlem31  44279  stoweidlem59  44307  wallispilem3  44315  wallispi  44318  stirlinglem12  44333  stirlinglem15  44336  fourierdlem73  44427  etransclem23  44505  nnfoctbdjlem  44703  ovnsubaddlem1  44818  ovolval5lem1  44900  ovolval5lem2  44901  vonioolem1  44928  vonioolem2  44929  vonicclem2  44932  fmtnoprmfac1lem  45763  sfprmdvdsmersenne  45802  lighneallem2  45805  proththd  45813  perfectALTVlem2  45921  fppr2odd  45930  fpprwppr  45938  fpprel2  45940  pw2m1lepw2m1  46608  logbge0b  46656  logblt1b  46657  logbpw2m1  46660  nnpw2pmod  46676  nnolog2flm1  46683  blennngt2o2  46685  dignnld  46696  digexp  46700  amgmlemALT  47257
  Copyright terms: Public domain W3C validator