MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrpd 12071
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrpd (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrp 12044 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  cn 11276  +crp 12031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-rp 12032
This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12072  modmulnn  12899  mulp1mod1  12922  modsumfzodifsn  12954  addmodlteq  12956  nnesq  13198  digit1  13208  bcpasc  13315  cshwn  13829  iseralt  14703  climcndslem2  14869  mertenslem1  14902  mertenslem2  14903  fprodmodd  15013  efcllem  15093  ege2le3  15105  eftlub  15124  effsumlt  15126  eirrlem  15217  sqrt2irrlem  15262  sqrt2irrlemOLD  15263  p1modz1  15275  dvdsmod  15338  bitsfzo  15441  bitsmod  15442  bitscmp  15444  bitsinv1lem  15447  sadaddlem  15472  sadasslem  15476  bitsres  15479  smumul  15499  bezoutlem3  15542  eucalglt  15582  prmind2  15681  crth  15765  eulerthlem2  15769  fermltl  15771  prmdiv  15772  prmdiveq  15773  odzdvds  15782  vfermltlALT  15789  powm2modprm  15790  modprm0  15792  modprmn0modprm0  15794  prmreclem3  15904  prmreclem5  15906  prmreclem6  15907  4sqlem5  15928  4sqlem6  15929  4sqlem7  15930  4sqlem10  15933  4sqlem12  15942  vdwlem1  15967  mndodcong  18228  odmod  18232  oddvds  18233  dfod2  18248  gexexlem  18524  zringlpirlem3  20110  met1stc  22608  met2ndci  22609  lebnumlem3  23044  lebnumii  23047  ovollb2lem  23549  ovoliunlem1  23563  ovoliunlem3  23565  uniioombllem6  23649  itg2cnlem2  23823  elqaalem2  24369  aalioulem2  24382  aalioulem4  24384  aalioulem5  24385  aaliou2b  24390  aaliou3lem9  24399  logfac  24641  cxpeq  24792  leibpi  24963  amgmlem  25010  emcllem1  25016  emcllem2  25017  emcllem3  25018  emcllem5  25020  harmoniclbnd  25029  harmonicubnd  25030  harmonicbnd4  25031  fsumharmonic  25032  zetacvg  25035  lgamgulmlem2  25050  lgamgulmlem3  25051  lgamgulmlem4  25052  lgamgulmlem5  25053  lgamgulmlem6  25054  lgamgulm2  25056  lgambdd  25057  lgamucov  25058  lgamcvg2  25075  gamcvg  25076  gamcvg2lem  25079  regamcl  25081  relgamcl  25082  lgam1  25084  wilthlem1  25088  wilthlem2  25089  basellem1  25101  basellem6  25106  basellem8  25108  chtf  25128  efchtcl  25131  chtge0  25132  vmacl  25138  efvmacl  25140  sgmnncl  25167  chtprm  25173  chtdif  25178  efchtdvds  25179  prmorcht  25198  sgmppw  25216  vmalelog  25224  chtleppi  25229  chtublem  25230  fsumvma2  25233  pclogsum  25234  vmasum  25235  chpchtsum  25238  chpub  25239  logfacubnd  25240  logfaclbnd  25241  logfacbnd3  25242  logfacrlim  25243  logexprlim  25244  logfacrlim2  25245  perfectlem2  25249  bclbnd  25299  bposlem1  25303  bposlem2  25304  bposlem4  25306  bposlem5  25307  bposlem6  25308  bposlem7  25309  bposlem9  25311  lgslem1  25316  lgsvalmod  25335  lgsmod  25342  lgsdirprm  25350  lgsne0  25354  lgsqrlem2  25366  gausslemma2dlem0i  25383  gausslemma2dlem5a  25389  gausslemma2d  25393  lgseisenlem1  25394  lgseisenlem2  25395  lgseisenlem3  25396  lgseisenlem4  25397  lgseisen  25398  lgsquadlem2  25400  lgsquadlem3  25401  m1lgs  25407  2sqlem8  25445  chebbnd1lem1  25452  chebbnd1lem2  25453  chebbnd1lem3  25454  chebbnd1  25455  chtppilimlem1  25456  chtppilimlem2  25457  chtppilim  25458  chebbnd2  25460  chto1lb  25461  vmadivsum  25465  vmadivsumb  25466  rplogsumlem1  25467  rplogsumlem2  25468  dchrisum0lem1a  25469  rpvmasumlem  25470  dchrisumlema  25471  dchrisumlem1  25472  dchrisumlem2  25473  dchrmusum2  25477  dchrvmasumlem1  25478  dchrvmasum2lem  25479  dchrvmasum2if  25480  dchrvmasumlem2  25481  dchrvmasumlem3  25482  dchrvmasumiflem1  25484  dchrvmasumiflem2  25485  dchrisum0flblem2  25492  dchrisum0fno1  25494  dchrisum0lema  25497  dchrisum0lem1b  25498  dchrisum0lem1  25499  dchrisum0lem2a  25500  dchrisum0lem2  25501  dchrisum0lem3  25502  dchrisum0  25503  dirith2  25511  mudivsum  25513  mulogsumlem  25514  mulogsum  25515  mulog2sumlem1  25517  mulog2sumlem2  25518  mulog2sumlem3  25519  vmalogdivsum2  25521  vmalogdivsum  25522  2vmadivsumlem  25523  logsqvma  25525  log2sumbnd  25527  selberglem1  25528  selberglem2  25529  selberglem3  25530  selberg  25531  selbergb  25532  selberg2lem  25533  selberg2  25534  selberg2b  25535  chpdifbndlem1  25536  logdivbnd  25539  selberg3lem1  25540  selberg3lem2  25541  selberg3  25542  selberg4lem1  25543  selberg4  25544  pntrsumo1  25548  pntrsumbnd2  25550  selbergr  25551  selberg3r  25552  selberg4r  25553  selberg34r  25554  pntsf  25556  pntsval2  25559  pntrlog2bndlem1  25560  pntrlog2bndlem2  25561  pntrlog2bndlem3  25562  pntrlog2bndlem4  25563  pntrlog2bndlem5  25564  pntrlog2bndlem6  25566  pntrlog2bnd  25567  pntpbnd1a  25568  pntpbnd1  25569  pntpbnd2  25570  pntibndlem2  25574  pntlemn  25583  pntlemj  25586  pntlemf  25588  pntlemk  25589  pntlemo  25590  pnt  25597  padicabvcxp  25615  ostth2lem2  25617  ostth2lem3  25618  ostth2lem4  25619  ostth2  25620  ostth3  25621  clwwisshclwwslemlem  27252  numclwwlk5  27707  numclwwlk7  27710  ubthlem2  28186  minvecolem3  28191  lnconi  29351  ltesubnnd  30020  2sqmod  30098  madjusmdetlem2  30344  eulerpartlemgc  30874  reprle  31146  hgt750lemc  31179  hgt750lemd  31180  hgt750lemb  31188  hgt750leme  31190  tgoldbachgtde  31192  iprodgam  32076  faclimlem1  32077  faclimlem3  32079  faclim  32080  iprodfac  32081  knoppndvlem17  32961  poimirlem29  33865  heiborlem3  34037  heiborlem5  34039  heiborlem6  34040  heiborlem7  34041  heiborlem8  34042  heibor  34045  rrndstprj2  34055  rrncmslem  34056  rrnequiv  34059  irrapxlem5  38071  pell14qrgapw  38121  pellqrexplicit  38122  pellqrex  38124  pellfundge  38127  pellfundgt1  38128  jm3.1lem1  38264  jm3.1lem2  38265  hashnzfz2  39197  xralrple4  40230  recnnltrp  40234  rpgtrecnn  40238  fsumnncl  40444  limsup10exlem  40645  stoweidlem31  40888  stoweidlem59  40916  wallispilem3  40924  wallispi  40927  stirlinglem12  40942  stirlinglem15  40945  fourierdlem73  41036  etransclem23  41114  nnfoctbdjlem  41312  ovnsubaddlem1  41427  ovolval5lem1  41509  ovolval5lem2  41510  vonioolem1  41537  vonioolem2  41538  vonicclem2  41541  fmtnoprmfac1lem  42155  sfprmdvdsmersenne  42199  lighneallem2  42202  proththd  42210  perfectALTVlem2  42310  pw2m1lepw2m1  42982  logbge0b  43029  logblt1b  43030  logbpw2m1  43033  nnpw2pmod  43049  nnolog2flm1  43056  blennngt2o2  43058  dignnld  43069  digexp  43073  amgmlemALT  43224
  Copyright terms: Public domain W3C validator