Theorem nnrpd 12947

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ℕcn 12145  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12948  modmulnn  13809  modaddid  13830  mulp1mod1  13834  modsumfzodifsn  13867  addmodlteq  13869  nnesq  14150  digit1  14160  bcpasc  14244  cshwn  14720  iseralt  15608  climcndslem2  15773  mertenslem1  15807  mertenslem2  15808  fprodmodd  15920  efcllem  16000  ege2le3  16013  eftlub  16034  effsumlt  16036  eirrlem  16129  sqrt2irrlem  16173  p1modz1  16186  dvdsmod  16256  bitsfzo  16362  bitsmod  16363  bitscmp  16365  bitsinv1lem  16368  sadaddlem  16393  sadasslem  16397  bitsres  16400  smumul  16420  bezoutlem3  16468  eucalglt  16512  prmind2  16612  prmdvdsbc  16653  crth  16705  eulerthlem2  16709  fermltl  16711  prmdiv  16712  prmdiveq  16713  odzdvds  16723  vfermltlALT  16730  powm2modprm  16731  modprm0  16733  modprmn0modprm0  16735  prmreclem3  16846  prmreclem5  16848  prmreclem6  16849  4sqlem5  16870  4sqlem6  16871  4sqlem7  16872  4sqlem10  16875  4sqlem12  16884  vdwlem1  16909  mndodcong  19471  odmod  19475  oddvds  19476  dfod2  19493  gexexlem  19781  zringlpirlem3  21419  fermltlchr  21484  met1stc  24465  met2ndci  24466  lebnumlem3  24918  lebnumii  24921  ovollb2lem  25445  ovoliunlem1  25459  ovoliunlem3  25461  uniioombllem6  25545  itg2cnlem2  25719  elqaalem2  26284  aalioulem2  26297  aalioulem4  26299  aalioulem5  26300  aaliou2b  26305  aaliou3lem9  26314  logfac  26566  cxpeq  26723  zrtelqelz  26724  rtprmirr  26726  logbgcd1irr  26760  leibpi  26908  birthdaylem2  26918  amgmlem  26956  emcllem1  26962  emcllem2  26963  emcllem3  26964  emcllem5  26966  harmoniclbnd  26975  harmonicubnd  26976  harmonicbnd4  26977  fsumharmonic  26978  zetacvg  26981  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem4  26998  lgamgulmlem5  26999  lgamgulmlem6  27000  lgamgulm2  27002  lgambdd  27003  lgamucov  27004  lgamcvg2  27021  gamcvg  27022  gamcvg2lem  27025  regamcl  27027  relgamcl  27028  lgam1  27030  wilthlem1  27034  wilthlem2  27035  basellem1  27047  basellem6  27052  basellem8  27054  chtf  27074  efchtcl  27077  chtge0  27078  vmacl  27084  efvmacl  27086  sgmnncl  27113  chtprm  27119  chtdif  27124  efchtdvds  27125  prmorcht  27144  sgmppw  27164  vmalelog  27172  chtleppi  27177  chtublem  27178  fsumvma2  27181  pclogsum  27182  vmasum  27183  chpchtsum  27186  chpub  27187  logfacubnd  27188  logfaclbnd  27189  logfacbnd3  27190  logfacrlim  27191  logexprlim  27192  logfacrlim2  27193  perfectlem2  27197  bclbnd  27247  bposlem1  27251  bposlem2  27252  bposlem4  27254  bposlem5  27255  bposlem6  27256  bposlem7  27257  bposlem9  27259  lgslem1  27264  lgsvalmod  27283  lgsmod  27290  lgsdirprm  27298  lgsne0  27302  lgsqrlem2  27314  gausslemma2dlem0i  27331  gausslemma2dlem5a  27337  gausslemma2d  27341  lgseisenlem1  27342  lgseisenlem2  27343  lgseisenlem3  27344  lgseisenlem4  27345  lgseisen  27346  lgsquadlem2  27348  lgsquadlem3  27349  m1lgs  27355  2sqlem8  27393  2sqmod  27403  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem2  27437  chebbnd1lem3  27438  chebbnd1  27439  chtppilimlem1  27440  chtppilimlem2  27441  chtppilim  27442  chebbnd2  27444  chto1lb  27445  vmadivsum  27449  vmadivsumb  27450  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  dchrisum0lem1a  27453  rpvmasumlem  27454  dchrisumlema  27455  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem1  27462  dchrvmasum2lem  27463  dchrvmasum2if  27464  dchrvmasumlem2  27465  dchrvmasumlem3  27466  dchrvmasumiflem1  27468  dchrvmasumiflem2  27469  dchrisum0flblem2  27476  dchrisum0fno1  27478  dchrisum0lema  27481  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0lem3  27486  dchrisum0  27487  dirith2  27495  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  mulogsum  27499  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  mulog2sumlem3  27503  vmalogdivsum2  27505  vmalogdivsum  27506  2vmadivsumlem  27507  logsqvma  27509  log2sumbnd  27511  selberglem1  27512  selberglem2  27513  selberglem3  27514  selberg  27515  selbergb  27516  selberg2lem  27517  selberg2  27518  selberg2b  27519  chpdifbndlem1  27520  logdivbnd  27523  selberg3lem1  27524  selberg3lem2  27525  selberg3  27526  selberg4lem1  27527  selberg4  27528  pntrsumo1  27532  pntrsumbnd2  27534  selbergr  27535  selberg3r  27536  selberg4r  27537  selberg34r  27538  pntsf  27540  pntsval2  27543  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntpbnd1a  27552  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntlemn  27567  pntlemj  27570  pntlemf  27572  pntlemk  27573  pntlemo  27574  pnt  27581  padicabvcxp  27599  ostth2lem2  27601  ostth2lem3  27602  ostth2lem4  27603  ostth2  27604  ostth3  27605  clwwisshclwwslemlem  30088  numclwwlk5  30463  numclwwlk7  30466  nrt2irr  30548  ubthlem2  30946  minvecolem3  30951  lnconi  32108  ltesubnnd  32903  2exple2exp  32926  cshwrnid  33043  cycpmfv2  33196  znfermltl  33447  madjusmdetlem2  33985  eulerpartlemgc  34519  reprle  34771  hgt750lemc  34804  hgt750lemd  34805  hgt750lemb  34813  hgt750leme  34815  tgoldbachgtde  34817  iprodgam  35936  faclimlem1  35937  faclimlem3  35939  faclim  35940  iprodfac  35941  knoppndvlem17  36728  poimirlem29  37850  heiborlem3  38014  heiborlem5  38016  heiborlem6  38017  heiborlem7  38018  heiborlem8  38019  heibor  38022  rrndstprj2  38032  rrncmslem  38033  rrnequiv  38036  lcmineqlem20  42302  lcmineqlem23  42305  3lexlogpow5ineq2  42309  3lexlogpow2ineq2  42313  aks4d1p5  42334  aks4d1p6  42335  aks4d1p8d2  42339  aks4d1p8  42341  remexz  42358  hashscontpow1  42375  aks6d1c2lem4  42381  aks6d1c2  42384  bcled  42432  bcle2d  42433  aks6d1c7lem1  42434  dvdsexpnn  42588  fltne  42887  flt4lem7  42902  fltltc  42904  fltnltalem  42905  fltnlta  42906  irrapxlem5  43068  pell14qrgapw  43118  pellqrexplicit  43119  pellqrex  43121  pellfundge  43124  pellfundgt1  43125  jm3.1lem1  43259  jm3.1lem2  43260  hashnzfz2  44562  xralrple4  45617  recnnltrp  45621  rpgtrecnn  45624  fsumnncl  45818  limsup10exlem  46016  stoweidlem31  46275  stoweidlem59  46303  wallispilem3  46311  wallispi  46314  stirlinglem12  46329  stirlinglem15  46332  fourierdlem73  46423  etransclem23  46501  nnfoctbdjlem  46699  ovnsubaddlem1  46814  ovolval5lem1  46896  ovolval5lem2  46897  vonioolem1  46924  vonioolem2  46925  vonicclem2  46928  fmtnoprmfac1lem  47810  sfprmdvdsmersenne  47849  lighneallem2  47852  proththd  47860  perfectALTVlem2  47968  fppr2odd  47977  fpprwppr  47985  fpprel2  47987  gpgedgvtx1  48308  gpg5nbgrvtx03starlem2  48315  gpg5nbgrvtx13starlem2  48318  gpg3nbgrvtx0  48322  pw2m1lepw2m1  48766  logbge0b  48809  logblt1b  48810  logbpw2m1  48813  nnpw2pmod  48829  nnolog2flm1  48836  blennngt2o2  48838  dignnld  48849  digexp  48853  amgmlemALT  50048