Theorem nnrpd 12969

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℕcn 12162  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12970  modmulnn  13827  modaddid  13848  mulp1mod1  13852  modsumfzodifsn  13885  addmodlteq  13887  nnesq  14168  digit1  14178  bcpasc  14262  cshwn  14738  iseralt  15627  climcndslem2  15792  mertenslem1  15826  mertenslem2  15827  fprodmodd  15939  efcllem  16019  ege2le3  16032  eftlub  16053  effsumlt  16055  eirrlem  16148  sqrt2irrlem  16192  p1modz1  16205  dvdsmod  16275  bitsfzo  16381  bitsmod  16382  bitscmp  16384  bitsinv1lem  16387  sadaddlem  16412  sadasslem  16416  bitsres  16419  smumul  16439  bezoutlem3  16487  eucalglt  16531  prmind2  16631  prmdvdsbc  16672  crth  16724  eulerthlem2  16728  fermltl  16730  prmdiv  16731  prmdiveq  16732  odzdvds  16742  vfermltlALT  16749  powm2modprm  16750  modprm0  16752  modprmn0modprm0  16754  prmreclem3  16865  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  4sqlem5  16889  4sqlem6  16890  4sqlem7  16891  4sqlem10  16894  4sqlem12  16903  vdwlem1  16928  mndodcong  19448  odmod  19452  oddvds  19453  dfod2  19470  gexexlem  19758  zringlpirlem3  21350  fermltlchr  21415  met1stc  24385  met2ndci  24386  lebnumlem3  24838  lebnumii  24841  ovollb2lem  25365  ovoliunlem1  25379  ovoliunlem3  25381  uniioombllem6  25465  itg2cnlem2  25639  elqaalem2  26204  aalioulem2  26217  aalioulem4  26219  aalioulem5  26220  aaliou2b  26225  aaliou3lem9  26234  logfac  26486  cxpeq  26643  zrtelqelz  26644  rtprmirr  26646  logbgcd1irr  26680  leibpi  26828  birthdaylem2  26838  amgmlem  26876  emcllem1  26882  emcllem2  26883  emcllem3  26884  emcllem5  26886  harmoniclbnd  26895  harmonicubnd  26896  harmonicbnd4  26897  fsumharmonic  26898  zetacvg  26901  lgamgulmlem2  26916  lgamgulmlem3  26917  lgamgulmlem4  26918  lgamgulmlem5  26919  lgamgulmlem6  26920  lgamgulm2  26922  lgambdd  26923  lgamucov  26924  lgamcvg2  26941  gamcvg  26942  gamcvg2lem  26945  regamcl  26947  relgamcl  26948  lgam1  26950  wilthlem1  26954  wilthlem2  26955  basellem1  26967  basellem6  26972  basellem8  26974  chtf  26994  efchtcl  26997  chtge0  26998  vmacl  27004  efvmacl  27006  sgmnncl  27033  chtprm  27039  chtdif  27044  efchtdvds  27045  prmorcht  27064  sgmppw  27084  vmalelog  27092  chtleppi  27097  chtublem  27098  fsumvma2  27101  pclogsum  27102  vmasum  27103  chpchtsum  27106  chpub  27107  logfacubnd  27108  logfaclbnd  27109  logfacbnd3  27110  logfacrlim  27111  logexprlim  27112  logfacrlim2  27113  perfectlem2  27117  bclbnd  27167  bposlem1  27171  bposlem2  27172  bposlem4  27174  bposlem5  27175  bposlem6  27176  bposlem7  27177  bposlem9  27179  lgslem1  27184  lgsvalmod  27203  lgsmod  27210  lgsdirprm  27218  lgsne0  27222  lgsqrlem2  27234  gausslemma2dlem0i  27251  gausslemma2dlem5a  27257  gausslemma2d  27261  lgseisenlem1  27262  lgseisenlem2  27263  lgseisenlem3  27264  lgseisenlem4  27265  lgseisen  27266  lgsquadlem2  27268  lgsquadlem3  27269  m1lgs  27275  2sqlem8  27313  2sqmod  27323  chebbnd1lem1  27356  chebbnd1lem2  27357  chebbnd1lem3  27358  chebbnd1  27359  chtppilimlem1  27360  chtppilimlem2  27361  chtppilim  27362  chebbnd2  27364  chto1lb  27365  vmadivsum  27369  vmadivsumb  27370  rplogsumlem1  27371  rplogsumlem2  27372  dchrisum0lem1a  27373  rpvmasumlem  27374  dchrisumlema  27375  dchrisumlem1  27376  dchrisumlem2  27377  dchrmusum2  27381  dchrvmasumlem1  27382  dchrvmasum2lem  27383  dchrvmasum2if  27384  dchrvmasumlem2  27385  dchrvmasumlem3  27386  dchrvmasumiflem1  27388  dchrvmasumiflem2  27389  dchrisum0flblem2  27396  dchrisum0fno1  27398  dchrisum0lema  27401  dchrisum0lem1b  27402  dchrisum0lem1  27403  dchrisum0lem2a  27404  dchrisum0lem2  27405  dchrisum0lem3  27406  dchrisum0  27407  dirith2  27415  mudivsum  27417  mulogsumlem  27418  mulogsum  27419  mulog2sumlem1  27421  mulog2sumlem2  27422  mulog2sumlem3  27423  vmalogdivsum2  27425  vmalogdivsum  27426  2vmadivsumlem  27427  logsqvma  27429  log2sumbnd  27431  selberglem1  27432  selberglem2  27433  selberglem3  27434  selberg  27435  selbergb  27436  selberg2lem  27437  selberg2  27438  selberg2b  27439  chpdifbndlem1  27440  logdivbnd  27443  selberg3lem1  27444  selberg3lem2  27445  selberg3  27446  selberg4lem1  27447  selberg4  27448  pntrsumo1  27452  pntrsumbnd2  27454  selbergr  27455  selberg3r  27456  selberg4r  27457  selberg34r  27458  pntsf  27460  pntsval2  27463  pntrlog2bndlem1  27464  pntrlog2bndlem2  27465  pntrlog2bndlem3  27466  pntrlog2bndlem4  27467  pntrlog2bndlem5  27468  pntrlog2bndlem6  27470  pntrlog2bnd  27471  pntpbnd1a  27472  pntpbnd1  27473  pntpbnd2  27474  pntibndlem2  27478  pntlemn  27487  pntlemj  27490  pntlemf  27492  pntlemk  27493  pntlemo  27494  pnt  27501  padicabvcxp  27519  ostth2lem2  27521  ostth2lem3  27522  ostth2lem4  27523  ostth2  27524  ostth3  27525  clwwisshclwwslemlem  29915  numclwwlk5  30290  numclwwlk7  30293  nrt2irr  30375  ubthlem2  30773  minvecolem3  30778  lnconi  31935  ltesubnnd  32720  2exple2exp  32743  cshwrnid  32856  cycpmfv2  33044  znfermltl  33310  madjusmdetlem2  33791  eulerpartlemgc  34326  reprle  34578  hgt750lemc  34611  hgt750lemd  34612  hgt750lemb  34620  hgt750leme  34622  tgoldbachgtde  34624  iprodgam  35702  faclimlem1  35703  faclimlem3  35705  faclim  35706  iprodfac  35707  knoppndvlem17  36489  poimirlem29  37616  heiborlem3  37780  heiborlem5  37782  heiborlem6  37783  heiborlem7  37784  heiborlem8  37785  heibor  37788  rrndstprj2  37798  rrncmslem  37799  rrnequiv  37802  lcmineqlem20  42009  lcmineqlem23  42012  3lexlogpow5ineq2  42016  3lexlogpow2ineq2  42020  aks4d1p5  42041  aks4d1p6  42042  aks4d1p8d2  42046  aks4d1p8  42048  remexz  42065  hashscontpow1  42082  aks6d1c2lem4  42088  aks6d1c2  42091  bcled  42139  bcle2d  42140  aks6d1c7lem1  42141  dvdsexpnn  42294  fltne  42605  flt4lem7  42620  fltltc  42622  fltnltalem  42623  fltnlta  42624  irrapxlem5  42787  pell14qrgapw  42837  pellqrexplicit  42838  pellqrex  42840  pellfundge  42843  pellfundgt1  42844  jm3.1lem1  42979  jm3.1lem2  42980  hashnzfz2  44283  xralrple4  45342  recnnltrp  45346  rpgtrecnn  45349  fsumnncl  45543  limsup10exlem  45743  stoweidlem31  46002  stoweidlem59  46030  wallispilem3  46038  wallispi  46041  stirlinglem12  46056  stirlinglem15  46059  fourierdlem73  46150  etransclem23  46228  nnfoctbdjlem  46426  ovnsubaddlem1  46541  ovolval5lem1  46623  ovolval5lem2  46624  vonioolem1  46651  vonioolem2  46652  vonicclem2  46655  fmtnoprmfac1lem  47538  sfprmdvdsmersenne  47577  lighneallem2  47580  proththd  47588  perfectALTVlem2  47696  fppr2odd  47705  fpprwppr  47713  fpprel2  47715  gpgedgvtx1  48026  gpg5nbgrvtx03starlem2  48033  gpg5nbgrvtx13starlem2  48036  gpg3nbgrvtx0  48040  pw2m1lepw2m1  48482  logbge0b  48525  logblt1b  48526  logbpw2m1  48529  nnpw2pmod  48545  nnolog2flm1  48552  blennngt2o2  48554  dignnld  48565  digexp  48569  amgmlemALT  49765