Theorem nnrpd 13074

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 13044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ℕcn 12248  ℝ⁺crp 13032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-rp 13033

This theorem is used by:  zgt1rpn0n1  13075  modmulnn  13940  modaddid  13961  mulp1mod1  13965  modsumfzodifsn  13998  addmodlteq  14000  nnesq  14281  digit1  14291  bcpasc  14375  cshwn  14858  iseralt  15760  climcndslem2  15927  mertenslem1  15961  mertenslem2  15962  fprodmodd  16074  efcllem  16153  ege2le3  16166  eftlub  16187  effsumlt  16189  eirrlem  16282  sqrt2irrlem  16326  p1modz1  16339  dvdsmod  16409  bitsfzo  16515  bitsmod  16516  bitscmp  16518  bitsinv1lem  16521  sadaddlem  16546  sadasslem  16550  bitsres  16553  smumul  16573  bezoutlem3  16621  eucalglt  16665  prmind2  16765  prmdvdsbc  16807  crth  16859  eulerthlem2  16863  fermltl  16865  prmdiv  16866  prmdiveq  16867  odzdvds  16877  vfermltlALT  16884  powm2modprm  16885  modprm0  16887  modprmn0modprm0  16889  prmreclem3  17000  prmreclem5  17002  prmreclem6  17003  4sqlem5  17024  4sqlem6  17025  4sqlem7  17026  4sqlem10  17029  4sqlem12  17038  vdwlem1  17063  mndodcong  19656  odmod  19660  oddvds  19661  dfod2  19678  gexexlem  19966  zringlpirlem3  21664  fermltlchr  21729  met1stc  24729  met2ndci  24730  lebnumlem3  25173  lebnumii  25176  ovollb2lem  25698  ovoliunlem1  25712  ovoliunlem3  25714  uniioombllem6  25798  itg2cnlem2  25972  elqaalem2  26532  aalioulem2  26547  aalioulem4  26549  aalioulem5  26550  aaliou2b  26555  aaliou3lem9  26564  logfac  26817  cxpeq  26973  zrtelqelz  26974  rtprmirr  26976  logbgcd1irr  27010  leibpi  27158  birthdaylem2  27168  amgmlem  27205  emcllem1  27211  emcllem2  27212  emcllem3  27213  emcllem5  27215  harmoniclbnd  27224  harmonicubnd  27225  harmonicbnd4  27226  fsumharmonic  27227  zetacvg  27230  lgamgulmlem2  27245  lgamgulmlem3  27246  lgamgulmlem4  27247  lgamgulmlem5  27248  lgamgulmlem6  27249  lgamgulm2  27251  lgambdd  27252  lgamucov  27253  lgamcvg2  27270  gamcvg  27271  gamcvg2lem  27274  regamcl  27276  relgamcl  27277  lgam1  27279  wilthlem1  27283  wilthlem2  27284  basellem1  27296  basellem6  27301  basellem8  27303  chtf  27323  efchtcl  27326  chtge0  27327  vmacl  27333  efvmacl  27335  sgmnncl  27362  chtprm  27368  chtdif  27373  efchtdvds  27374  prmorcht  27393  sgmppw  27412  vmalelog  27420  chtleppi  27425  chtublem  27426  fsumvma2  27429  pclogsum  27430  vmasum  27431  chpchtsum  27434  chpub  27435  logfacubnd  27436  logfaclbnd  27437  logfacbnd3  27438  logfacrlim  27439  logexprlim  27440  logfacrlim2  27441  perfectlem2  27445  bclbnd  27495  bposlem1  27499  bposlem2  27500  bposlem4  27502  bposlem5  27503  bposlem6  27504  bposlem7  27505  bposlem9  27507  lgslem1  27512  lgsvalmod  27531  lgsmod  27538  lgsdirprm  27546  lgsne0  27550  lgsqrlem2  27562  gausslemma2dlem0i  27579  gausslemma2dlem5a  27585  gausslemma2d  27589  lgseisenlem1  27590  lgseisenlem2  27591  lgseisenlem3  27592  lgseisenlem4  27593  lgseisen  27594  lgsquadlem2  27596  lgsquadlem3  27597  m1lgs  27603  2sqlem8  27641  2sqmod  27651  chebbnd1lem1  27684  chebbnd1lem2  27685  chebbnd1lem3  27686  chebbnd1  27687  chtppilimlem1  27688  chtppilimlem2  27689  chtppilim  27690  chebbnd2  27692  chto1lb  27693  vmadivsum  27697  vmadivsumb  27698  rplogsumlem1  27699  rplogsumlem2  27700  dchrisum0lem1a  27701  rpvmasumlem  27702  dchrisumlema  27703  dchrisumlem1  27704  dchrisumlem2  27705  dchrmusum2  27709  dchrvmasumlem1  27710  dchrvmasum2lem  27711  dchrvmasum2if  27712  dchrvmasumlem2  27713  dchrvmasumlem3  27714  dchrvmasumiflem1  27716  dchrvmasumiflem2  27717  dchrisum0flblem2  27724  dchrisum0fno1  27726  dchrisum0lema  27729  dchrisum0lem1b  27730  dchrisum0lem1  27731  dchrisum0lem2a  27732  dchrisum0lem2  27733  dchrisum0lem3  27734  dchrisum0  27735  dirith2  27743  mudivsum  27745  mulogsumlem  27746  mulogsum  27747  mulog2sumlem1  27749  mulog2sumlem2  27750  mulog2sumlem3  27751  vmalogdivsum2  27753  vmalogdivsum  27754  2vmadivsumlem  27755  logsqvma  27757  log2sumbnd  27759  selberglem1  27760  selberglem2  27761  selberglem3  27762  selberg  27763  selbergb  27764  selberg2lem  27765  selberg2  27766  selberg2b  27767  chpdifbndlem1  27768  logdivbnd  27771  selberg3lem1  27772  selberg3lem2  27773  selberg3  27774  selberg4lem1  27775  selberg4  27776  pntrsumo1  27780  pntrsumbnd2  27782  selbergr  27783  selberg3r  27784  selberg4r  27785  selberg34r  27786  pntsf  27788  pntsval2  27791  pntrlog2bndlem1  27792  pntrlog2bndlem2  27793  pntrlog2bndlem3  27794  pntrlog2bndlem4  27795  pntrlog2bndlem5  27796  pntrlog2bndlem6  27798  pntrlog2bnd  27799  pntpbnd1a  27800  pntpbnd1  27801  pntpbnd2  27802  pntibndlem2  27806  pntlemn  27815  pntlemj  27818  pntlemf  27820  pntlemk  27821  pntlemo  27822  pnt  27829  padicabvcxp  27847  ostth2lem2  27849  ostth2lem3  27850  ostth2lem4  27851  ostth2  27852  ostth3  27853  clwwisshclwwslemlem  30431  numclwwlk5  30810  numclwwlk7  30813  nrt2irr  30895  ubthlem2  31294  minvecolem3  31299  lnconi  32456  ltesubnnd  33237  2exple2exp  33248  cshwrnid  33345  cycpmfv2  33498  znfermltl  33745  madjusmdetlem2  34282  eulerpartlemgc  34817  reprle  35066  hgt750lemc  35099  hgt750lemd  35100  hgt750lemb  35108  hgt750leme  35110  tgoldbachgtde  35112  iprodgam  36271  faclimlem1  36272  faclimlem3  36274  faclim  36275  iprodfac  36276  knoppndvlem17  37174  poimirlem29  38357  heiborlem3  38522  heiborlem5  38524  heiborlem6  38525  heiborlem7  38526  heiborlem8  38527  heibor  38530  rrndstprj2  38540  rrncmslem  38541  rrnequiv  38544  lcmineqlem20  42873  lcmineqlem23  42876  3lexlogpow5ineq2  42880  3lexlogpow2ineq2  42884  aks4d1p5  42905  aks4d1p6  42906  aks4d1p8d2  42910  aks4d1p8  42912  remexz  42929  hashscontpow1  42946  aks6d1c2lem4  42952  aks6d1c2  42955  bcled  43003  bcle2d  43004  aks6d1c7lem1  43005  dvdsexpnn  43152  fltne  43434  flt4lem7  43449  fltltc  43451  fltnltalem  43452  fltnlta  43453  irrapxlem5  43611  pell14qrgapw  43661  pellqrexplicit  43662  pellqrex  43664  pellfundge  43667  pellfundgt1  43668  jm3.1lem1  43802  jm3.1lem2  43803  hashnzfz2  45089  xralrple4  46146  recnnltrp  46150  rpgtrecnn  46153  fsumnncl  46346  limsup10exlem  46544  stoweidlem31  46803  stoweidlem59  46831  wallispilem3  46839  wallispi  46842  stirlinglem12  46857  stirlinglem15  46860  fourierdlem73  46951  etransclem23  47029  nnfoctbdjlem  47227  ovnsubaddlem1  47342  ovolval5lem1  47424  ovolval5lem2  47425  vonioolem1  47452  vonioolem2  47453  vonicclem2  47456  2timesltsqm1  48174  fmtnoprmfac1lem  48374  sfprmdvdsmersenne  48413  lighneallem2  48416  proththd  48424  perfectALTVlem2  48545  fppr2odd  48554  fpprwppr  48562  fpprel2  48564  gpgedgvtx1  48885  gpg5nbgrvtx03starlem2  48892  gpg5nbgrvtx13starlem2  48895  gpg3nbgrvtx0  48899  pw2m1lepw2m1  49357  logbge0b  49400  logblt1b  49401  logbpw2m1  49404  nnpw2pmod  49420  nnolog2flm1  49427  blennngt2o2  49429  dignnld  49440  digexp  49444  amgmlemALT  50708