Theorem nnrpd 13162

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 13132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ℕcn 12335  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-rp 13121

This theorem is used by:  zgt1rpn0n1  13163  modmulnn  14029  modaddid  14050  mulp1mod1  14054  modsumfzodifsn  14087  addmodlteq  14089  nnesq  14371  digit1  14381  bcpasc  14465  cshwn  14948  iseralt  15852  climcndslem2  16019  mertenslem1  16053  mertenslem2  16054  fprodmodd  16164  efcllem  16243  ege2le3  16256  eftlub  16277  effsumlt  16279  eirrlem  16372  sqrt2irrlem  16416  p1modz1  16429  dvdsmod  16499  bitsfzo  16605  bitsmod  16606  bitscmp  16608  bitsinv1lem  16611  sadaddlem  16636  sadasslem  16640  bitsres  16643  smumul  16663  bezoutlem3  16714  dvdsexpnn  16740  eucalglt  16760  prmind2  16860  prmdvdsbc  16902  crth  16955  eulerthlem2  16959  fermltl  16961  prmdiv  16962  prmdiveq  16963  odzdvds  16973  vfermltlALT  16980  powm2modprm  16981  modprm0  16983  modprmn0modprm0  16985  prmreclem3  17096  prmreclem5  17098  prmreclem6  17099  4sqlem5  17120  4sqlem6  17121  4sqlem7  17122  4sqlem10  17125  4sqlem12  17134  vdwlem1  17159  mndodcong  19756  odmod  19760  oddvds  19761  dfod2  19778  gexexlem  20066  zringlpirlem3  21770  fermltlchr  21835  met1stc  24840  met2ndci  24841  lebnumlem3  25284  lebnumii  25287  ovollb2lem  25809  ovoliunlem1  25823  ovoliunlem3  25825  uniioombllem6  25909  itg2cnlem2  26083  elqaalem2  26643  aalioulem2  26660  aalioulem4  26662  aalioulem5  26663  aaliou2b  26668  aaliou3lem9  26677  logfac  26929  cxpeq  27085  zrtelqelz  27086  rtprmirr  27088  logbgcd1irr  27122  leibpi  27270  birthdaylem2  27280  amgmlem  27317  emcllem1  27323  emcllem2  27324  emcllem3  27325  emcllem5  27327  harmoniclbnd  27336  harmonicubnd  27337  harmonicbnd4  27338  fsumharmonic  27339  zetacvg  27342  lgamgulmlem2  27357  lgamgulmlem3  27358  lgamgulmlem4  27359  lgamgulmlem5  27360  lgamgulmlem6  27361  lgamgulm2  27363  lgambdd  27364  lgamucov  27365  lgamcvg2  27382  gamcvg  27383  gamcvg2lem  27386  regamcl  27388  relgamcl  27389  lgam1  27391  wilthlem1  27395  wilthlem2  27396  basellem1  27408  basellem6  27413  basellem8  27415  chtf  27435  efchtcl  27438  chtge0  27439  vmacl  27445  efvmacl  27447  sgmnncl  27474  chtprm  27480  chtdif  27485  efchtdvds  27486  prmorcht  27505  sgmppw  27524  vmalelog  27532  chtleppi  27537  chtublem  27538  fsumvma2  27541  pclogsum  27542  vmasum  27543  chpchtsum  27546  chpub  27547  logfacubnd  27548  logfaclbnd  27549  logfacbnd3  27550  logfacrlim  27551  logexprlim  27552  logfacrlim2  27553  perfectlem2  27557  bclbnd  27607  bposlem1  27611  bposlem2  27612  bposlem4  27614  bposlem5  27615  bposlem6  27616  bposlem7  27617  bposlem9  27619  lgslem1  27624  lgsvalmod  27643  lgsmod  27650  lgsdirprm  27658  lgsne0  27662  lgsqrlem2  27674  gausslemma2dlem0i  27691  gausslemma2dlem5a  27697  gausslemma2d  27701  lgseisenlem1  27702  lgseisenlem2  27703  lgseisenlem3  27704  lgseisenlem4  27705  lgseisen  27706  lgsquadlem2  27708  lgsquadlem3  27709  m1lgs  27715  2sqlem8  27753  2sqmod  27763  chebbnd1lem1  27796  chebbnd1lem2  27797  chebbnd1lem3  27798  chebbnd1  27799  chtppilimlem1  27800  chtppilimlem2  27801  chtppilim  27802  chebbnd2  27804  chto1lb  27805  vmadivsum  27809  vmadivsumb  27810  rplogsumlem1  27811  rplogsumlem2  27812  dchrisum0lem1a  27813  rpvmasumlem  27814  dchrisumlema  27815  dchrisumlem1  27816  dchrisumlem2  27817  dchrmusum2  27821  dchrvmasumlem1  27822  dchrvmasum2lem  27823  dchrvmasum2if  27824  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumlem3  27826  dchrvmasumiflem1  27828  dchrvmasumiflem2  27829  dchrisum0flblem2  27836  dchrisum0fno1  27838  dchrisum0lema  27841  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem2a  27844  dchrisum0lem2  27845  dchrisum0lem3  27846  dchrisum0  27847  dirith2  27855  mudivsum  27857  mulogsumlem  27858  mulogsum  27859  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  mulog2sumlem3  27863  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  2vmadivsumlem  27867  logsqvma  27869  log2sumbnd  27871  selberglem1  27872  selberglem2  27873  selberglem3  27874  selberg  27875  selbergb  27876  selberg2lem  27877  selberg2  27878  selberg2b  27879  chpdifbndlem1  27880  logdivbnd  27883  selberg3lem1  27884  selberg3lem2  27885  selberg3  27886  selberg4lem1  27887  selberg4  27888  pntrsumo1  27892  pntrsumbnd2  27894  selbergr  27895  selberg3r  27896  selberg4r  27897  selberg34r  27898  pntsf  27900  pntsval2  27903  pntrlog2bndlem1  27904  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6  27910  pntrlog2bnd  27911  pntpbnd1a  27912  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntibndlem2  27918  pntlemn  27927  pntlemj  27930  pntlemf  27932  pntlemk  27933  pntlemo  27934  pnt  27941  padicabvcxp  27959  ostth2lem2  27961  ostth2lem3  27962  ostth2lem4  27963  ostth2  27964  ostth3  27965  fltne  27975  flt4lem7  27989  clwwisshclwwslemlem  30604  numclwwlk5  30989  numclwwlk7  30992  nrt2irr  31074  ubthlem2  31473  minvecolem3  31478  lnconi  32635  ltesubnnd  33414  2exple2exp  33425  cshwrnid  33522  cycpmfv2  33675  znfermltl  33922  madjusmdetlem2  34460  eulerpartlemgc  34994  reprle  35243  hgt750lemc  35276  hgt750lemd  35277  hgt750lemb  35285  hgt750leme  35287  tgoldbachgtde  35289  iprodgam  36507  faclimlem1  36508  faclimlem3  36510  faclim  36511  iprodfac  36512  knoppndvlem17  37394  poimirlem29  38568  heiborlem3  38748  heiborlem5  38750  heiborlem6  38751  heiborlem7  38752  heiborlem8  38753  heibor  38756  rrndstprj2  38766  rrncmslem  38767  rrnequiv  38770  lcmineqlem20  43099  lcmineqlem23  43102  3lexlogpow5ineq2  43106  3lexlogpow2ineq2  43110  aks4d1p5  43131  aks4d1p6  43132  aks4d1p8d2  43136  aks4d1p8  43138  remexz  43155  hashscontpow1  43172  aks6d1c2lem4  43178  aks6d1c2  43181  bcled  43229  bcle2d  43230  aks6d1c7lem1  43231  fltltc  43673  fltnltalem  43674  fltnlta  43675  irrapxlem5  43833  pell14qrgapw  43883  pellqrexplicit  43884  pellqrex  43886  pellfundge  43889  pellfundgt1  43890  jm3.1lem1  44024  jm3.1lem2  44025  hashnzfz2  45305  xralrple4  46384  recnnltrp  46388  rpgtrecnn  46391  fsumnncl  46584  limsup10exlem  46782  stoweidlem31  47041  stoweidlem59  47069  wallispilem3  47077  wallispi  47080  stirlinglem12  47095  stirlinglem15  47098  fourierdlem73  47189  etransclem23  47267  nnfoctbdjlem  47465  ovnsubaddlem1  47580  ovolval5lem1  47662  ovolval5lem2  47663  vonioolem1  47690  vonioolem2  47691  vonicclem2  47694  2timesltsqm1  48449  fmtnoprmfac1lem  48649  sfprmdvdsmersenne  48688  lighneallem2  48691  proththd  48699  perfectALTVlem2  48820  fppr2odd  48829  fpprwppr  48837  fpprel2  48839  gpgedgvtx1  49160  gpg5nbgrvtx03starlem2  49167  gpg5nbgrvtx13starlem2  49170  gpg3nbgrvtx0  49174  pw2m1lepw2m1  49632  logbge0b  49675  logblt1b  49676  logbpw2m1  49679  nnpw2pmod  49695  nnolog2flm1  49702  blennngt2o2  49704  dignnld  49715  digexp  49719  amgmlemALT  50988