Theorem nnrpd 13014

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12985	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ℕcn 12212  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  13015  modmulnn  13854  mulp1mod1  13877  modsumfzodifsn  13909  addmodlteq  13911  nnesq  14190  digit1  14200  bcpasc  14281  cshwn  14747  iseralt  15631  climcndslem2  15796  mertenslem1  15830  mertenslem2  15831  fprodmodd  15941  efcllem  16021  ege2le3  16033  eftlub  16052  effsumlt  16054  eirrlem  16147  sqrt2irrlem  16191  p1modz1  16204  dvdsmod  16272  bitsfzo  16376  bitsmod  16377  bitscmp  16379  bitsinv1lem  16382  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  bitsres  16414  smumul  16434  bezoutlem3  16483  eucalglt  16522  prmind2  16622  crth  16711  eulerthlem2  16715  fermltl  16717  prmdiv  16718  prmdiveq  16719  odzdvds  16728  vfermltlALT  16735  powm2modprm  16736  modprm0  16738  modprmn0modprm0  16740  prmreclem3  16851  prmreclem5  16853  prmreclem6  16854  4sqlem5  16875  4sqlem6  16876  4sqlem7  16877  4sqlem10  16880  4sqlem12  16889  vdwlem1  16914  mndodcong  19410  odmod  19414  oddvds  19415  dfod2  19432  gexexlem  19720  zringlpirlem3  21034  met1stc  24030  met2ndci  24031  lebnumlem3  24479  lebnumii  24482  ovollb2lem  25005  ovoliunlem1  25019  ovoliunlem3  25021  uniioombllem6  25105  itg2cnlem2  25280  elqaalem2  25833  aalioulem2  25846  aalioulem4  25848  aalioulem5  25849  aaliou2b  25854  aaliou3lem9  25863  logfac  26109  cxpeq  26265  logbgcd1irr  26299  leibpi  26447  birthdaylem2  26457  amgmlem  26494  emcllem1  26500  emcllem2  26501  emcllem3  26502  emcllem5  26504  harmoniclbnd  26513  harmonicubnd  26514  harmonicbnd4  26515  fsumharmonic  26516  zetacvg  26519  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem4  26536  lgamgulmlem5  26537  lgamgulmlem6  26538  lgamgulm2  26540  lgambdd  26541  lgamucov  26542  lgamcvg2  26559  gamcvg  26560  gamcvg2lem  26563  regamcl  26565  relgamcl  26566  lgam1  26568  wilthlem1  26572  wilthlem2  26573  basellem1  26585  basellem6  26590  basellem8  26592  chtf  26612  efchtcl  26615  chtge0  26616  vmacl  26622  efvmacl  26624  sgmnncl  26651  chtprm  26657  chtdif  26662  efchtdvds  26663  prmorcht  26682  sgmppw  26700  vmalelog  26708  chtleppi  26713  chtublem  26714  fsumvma2  26717  pclogsum  26718  vmasum  26719  chpchtsum  26722  chpub  26723  logfacubnd  26724  logfaclbnd  26725  logfacbnd3  26726  logfacrlim  26727  logexprlim  26728  logfacrlim2  26729  perfectlem2  26733  bclbnd  26783  bposlem1  26787  bposlem2  26788  bposlem4  26790  bposlem5  26791  bposlem6  26792  bposlem7  26793  bposlem9  26795  lgslem1  26800  lgsvalmod  26819  lgsmod  26826  lgsdirprm  26834  lgsne0  26838  lgsqrlem2  26850  gausslemma2dlem0i  26867  gausslemma2dlem5a  26873  gausslemma2d  26877  lgseisenlem1  26878  lgseisenlem2  26879  lgseisenlem3  26880  lgseisenlem4  26881  lgseisen  26882  lgsquadlem2  26884  lgsquadlem3  26885  m1lgs  26891  2sqlem8  26929  2sqmod  26939  chebbnd1lem1  26972  chebbnd1lem2  26973  chebbnd1lem3  26974  chebbnd1  26975  chtppilimlem1  26976  chtppilimlem2  26977  chtppilim  26978  chebbnd2  26980  chto1lb  26981  vmadivsum  26985  vmadivsumb  26986  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  dchrisum0lem1a  26989  rpvmasumlem  26990  dchrisumlema  26991  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem1  26998  dchrvmasum2lem  26999  dchrvmasum2if  27000  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumlem3  27002  dchrvmasumiflem1  27004  dchrvmasumiflem2  27005  dchrisum0flblem2  27012  dchrisum0fno1  27014  dchrisum0lema  27017  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrisum0lem3  27022  dchrisum0  27023  dirith2  27031  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  mulogsum  27035  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  mulog2sumlem3  27039  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  logsqvma  27045  log2sumbnd  27047  selberglem1  27048  selberglem2  27049  selberglem3  27050  selberg  27051  selbergb  27052  selberg2lem  27053  selberg2  27054  selberg2b  27055  chpdifbndlem1  27056  logdivbnd  27059  selberg3lem1  27060  selberg3lem2  27061  selberg3  27062  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrsumo1  27068  pntrsumbnd2  27070  selbergr  27071  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntsf  27076  pntsval2  27079  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntrlog2bnd  27087  pntpbnd1a  27088  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  pntibndlem2  27094  pntlemn  27103  pntlemj  27106  pntlemf  27108  pntlemk  27109  pntlemo  27110  pnt  27117  padicabvcxp  27135  ostth2lem2  27137  ostth2lem3  27138  ostth2lem4  27139  ostth2  27140  ostth3  27141  clwwisshclwwslemlem  29266  numclwwlk5  29641  numclwwlk7  29644  nrt2irr  29726  ubthlem2  30124  minvecolem3  30129  lnconi  31286  prmdvdsbc  32022  ltesubnnd  32028  cshwrnid  32125  cycpmfv2  32273  fermltlchr  32478  znfermltl  32479  madjusmdetlem2  32808  eulerpartlemgc  33361  reprle  33626  hgt750lemc  33659  hgt750lemd  33660  hgt750lemb  33668  hgt750leme  33670  tgoldbachgtde  33672  iprodgam  34712  faclimlem1  34713  faclimlem3  34715  faclim  34716  iprodfac  34717  knoppndvlem17  35404  poimirlem29  36517  heiborlem3  36681  heiborlem5  36683  heiborlem6  36684  heiborlem7  36685  heiborlem8  36686  heibor  36689  rrndstprj2  36699  rrncmslem  36700  rrnequiv  36703  lcmineqlem20  40913  lcmineqlem23  40916  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow2ineq2  40924  aks4d1p5  40945  aks4d1p6  40946  aks4d1p8d2  40950  aks4d1p8  40952  metakunt18  41002  metakunt30  41014  dvdsexpnn  41231  zrtelqelz  41235  rtprmirr  41237  fltne  41386  flt4lem7  41401  fltltc  41403  fltnltalem  41404  fltnlta  41405  irrapxlem5  41564  pell14qrgapw  41614  pellqrexplicit  41615  pellqrex  41617  pellfundge  41620  pellfundgt1  41621  jm3.1lem1  41756  jm3.1lem2  41757  hashnzfz2  43080  xralrple4  44083  recnnltrp  44087  rpgtrecnn  44090  fsumnncl  44288  limsup10exlem  44488  stoweidlem31  44747  stoweidlem59  44775  wallispilem3  44783  wallispi  44786  stirlinglem12  44801  stirlinglem15  44804  fourierdlem73  44895  etransclem23  44973  nnfoctbdjlem  45171  ovnsubaddlem1  45286  ovolval5lem1  45368  ovolval5lem2  45369  vonioolem1  45396  vonioolem2  45397  vonicclem2  45400  fmtnoprmfac1lem  46232  sfprmdvdsmersenne  46271  lighneallem2  46274  proththd  46282  perfectALTVlem2  46390  fppr2odd  46399  fpprwppr  46407  fpprel2  46409  pw2m1lepw2m1  47201  logbge0b  47249  logblt1b  47250  logbpw2m1  47253  nnpw2pmod  47269  nnolog2flm1  47276  blennngt2o2  47278  dignnld  47289  digexp  47293  amgmlemALT  47850