Theorem nnrpd 12935

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 12905	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℕcn 12128  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  12936  modmulnn  13793  modaddid  13814  mulp1mod1  13818  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  nnesq  14134  digit1  14144  bcpasc  14228  cshwn  14703  iseralt  15592  climcndslem2  15757  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  fprodmodd  15904  efcllem  15984  ege2le3  15997  eftlub  16018  effsumlt  16020  eirrlem  16113  sqrt2irrlem  16157  p1modz1  16170  dvdsmod  16240  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  sadaddlem  16377  sadasslem  16381  bitsres  16384  smumul  16404  bezoutlem3  16452  eucalglt  16496  prmind2  16596  prmdvdsbc  16637  crth  16689  eulerthlem2  16693  fermltl  16695  prmdiv  16696  prmdiveq  16697  odzdvds  16707  vfermltlALT  16714  powm2modprm  16715  modprm0  16717  modprmn0modprm0  16719  prmreclem3  16830  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  4sqlem5  16854  4sqlem6  16855  4sqlem7  16856  4sqlem10  16859  4sqlem12  16868  vdwlem1  16893  mndodcong  19421  odmod  19425  oddvds  19426  dfod2  19443  gexexlem  19731  zringlpirlem3  21371  fermltlchr  21436  met1stc  24407  met2ndci  24408  lebnumlem3  24860  lebnumii  24863  ovollb2lem  25387  ovoliunlem1  25401  ovoliunlem3  25403  uniioombllem6  25487  itg2cnlem2  25661  elqaalem2  26226  aalioulem2  26239  aalioulem4  26241  aalioulem5  26242  aaliou2b  26247  aaliou3lem9  26256  logfac  26508  cxpeq  26665  zrtelqelz  26666  rtprmirr  26668  logbgcd1irr  26702  leibpi  26850  birthdaylem2  26860  amgmlem  26898  emcllem1  26904  emcllem2  26905  emcllem3  26906  emcllem5  26908  harmoniclbnd  26917  harmonicubnd  26918  harmonicbnd4  26919  fsumharmonic  26920  zetacvg  26923  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem4  26940  lgamgulmlem5  26941  lgamgulmlem6  26942  lgamgulm2  26944  lgambdd  26945  lgamucov  26946  lgamcvg2  26963  gamcvg  26964  gamcvg2lem  26967  regamcl  26969  relgamcl  26970  lgam1  26972  wilthlem1  26976  wilthlem2  26977  basellem1  26989  basellem6  26994  basellem8  26996  chtf  27016  efchtcl  27019  chtge0  27020  vmacl  27026  efvmacl  27028  sgmnncl  27055  chtprm  27061  chtdif  27066  efchtdvds  27067  prmorcht  27086  sgmppw  27106  vmalelog  27114  chtleppi  27119  chtublem  27120  fsumvma2  27123  pclogsum  27124  vmasum  27125  chpchtsum  27128  chpub  27129  logfacubnd  27130  logfaclbnd  27131  logfacbnd3  27132  logfacrlim  27133  logexprlim  27134  logfacrlim2  27135  perfectlem2  27139  bclbnd  27189  bposlem1  27193  bposlem2  27194  bposlem4  27196  bposlem5  27197  bposlem6  27198  bposlem7  27199  bposlem9  27201  lgslem1  27206  lgsvalmod  27225  lgsmod  27232  lgsdirprm  27240  lgsne0  27244  lgsqrlem2  27256  gausslemma2dlem0i  27273  gausslemma2dlem5a  27279  gausslemma2d  27283  lgseisenlem1  27284  lgseisenlem2  27285  lgseisenlem3  27286  lgseisenlem4  27287  lgseisen  27288  lgsquadlem2  27290  lgsquadlem3  27291  m1lgs  27297  2sqlem8  27335  2sqmod  27345  chebbnd1lem1  27378  chebbnd1lem2  27379  chebbnd1lem3  27380  chebbnd1  27381  chtppilimlem1  27382  chtppilimlem2  27383  chtppilim  27384  chebbnd2  27386  chto1lb  27387  vmadivsum  27391  vmadivsumb  27392  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  dchrisum0lem1a  27395  rpvmasumlem  27396  dchrisumlema  27397  dchrisumlem1  27398  dchrisumlem2  27399  dchrmusum2  27403  dchrvmasumlem1  27404  dchrvmasum2lem  27405  dchrvmasum2if  27406  dchrvmasumlem2  27407  dchrvmasumlem3  27408  dchrvmasumiflem1  27410  dchrvmasumiflem2  27411  dchrisum0flblem2  27418  dchrisum0fno1  27420  dchrisum0lema  27423  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem2a  27426  dchrisum0lem2  27427  dchrisum0lem3  27428  dchrisum0  27429  dirith2  27437  mudivsum  27439  mulogsumlem  27440  mulogsum  27441  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  mulog2sumlem3  27445  vmalogdivsum2  27447  vmalogdivsum  27448  2vmadivsumlem  27449  logsqvma  27451  log2sumbnd  27453  selberglem1  27454  selberglem2  27455  selberglem3  27456  selberg  27457  selbergb  27458  selberg2lem  27459  selberg2  27460  selberg2b  27461  chpdifbndlem1  27462  logdivbnd  27465  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  selberg3  27468  selberg4lem1  27469  selberg4  27470  pntrsumo1  27474  pntrsumbnd2  27476  selbergr  27477  selberg3r  27478  selberg4r  27479  selberg34r  27480  pntsf  27482  pntsval2  27485  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntpbnd1a  27494  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntlemn  27509  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemk  27515  pntlemo  27516  pnt  27523  padicabvcxp  27541  ostth2lem2  27543  ostth2lem3  27544  ostth2lem4  27545  ostth2  27546  ostth3  27547  clwwisshclwwslemlem  29957  numclwwlk5  30332  numclwwlk7  30335  nrt2irr  30417  ubthlem2  30815  minvecolem3  30820  lnconi  31977  ltesubnnd  32767  2exple2exp  32790  cshwrnid  32903  cycpmfv2  33056  znfermltl  33303  madjusmdetlem2  33795  eulerpartlemgc  34330  reprle  34582  hgt750lemc  34615  hgt750lemd  34616  hgt750lemb  34624  hgt750leme  34626  tgoldbachgtde  34628  iprodgam  35715  faclimlem1  35716  faclimlem3  35718  faclim  35719  iprodfac  35720  knoppndvlem17  36502  poimirlem29  37629  heiborlem3  37793  heiborlem5  37795  heiborlem6  37796  heiborlem7  37797  heiborlem8  37798  heibor  37801  rrndstprj2  37811  rrncmslem  37812  rrnequiv  37815  lcmineqlem20  42021  lcmineqlem23  42024  3lexlogpow5ineq2  42028  3lexlogpow2ineq2  42032  aks4d1p5  42053  aks4d1p6  42054  aks4d1p8d2  42058  aks4d1p8  42060  remexz  42077  hashscontpow1  42094  aks6d1c2lem4  42100  aks6d1c2  42103  bcled  42151  bcle2d  42152  aks6d1c7lem1  42153  dvdsexpnn  42306  fltne  42617  flt4lem7  42632  fltltc  42634  fltnltalem  42635  fltnlta  42636  irrapxlem5  42799  pell14qrgapw  42849  pellqrexplicit  42850  pellqrex  42852  pellfundge  42855  pellfundgt1  42856  jm3.1lem1  42990  jm3.1lem2  42991  hashnzfz2  44294  xralrple4  45352  recnnltrp  45356  rpgtrecnn  45359  fsumnncl  45553  limsup10exlem  45753  stoweidlem31  46012  stoweidlem59  46040  wallispilem3  46048  wallispi  46051  stirlinglem12  46066  stirlinglem15  46069  fourierdlem73  46160  etransclem23  46238  nnfoctbdjlem  46436  ovnsubaddlem1  46551  ovolval5lem1  46633  ovolval5lem2  46634  vonioolem1  46661  vonioolem2  46662  vonicclem2  46665  fmtnoprmfac1lem  47548  sfprmdvdsmersenne  47587  lighneallem2  47590  proththd  47598  perfectALTVlem2  47706  fppr2odd  47715  fpprwppr  47723  fpprel2  47725  gpgedgvtx1  48046  gpg5nbgrvtx03starlem2  48053  gpg5nbgrvtx13starlem2  48056  gpg3nbgrvtx0  48060  pw2m1lepw2m1  48505  logbge0b  48548  logblt1b  48549  logbpw2m1  48552  nnpw2pmod  48568  nnolog2flm1  48575  blennngt2o2  48577  dignnld  48588  digexp  48592  amgmlemALT  49788