Theorem fprodeq02 33168

Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq02.1	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprodeq02.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq02	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdif 4433	. . . 4 ⊢ ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3		fprodeq02.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5		undif 4443	. . . . 5 ⊢ ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8		fprodeq02.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fprodeq02.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	2, 7, 8, 9	fprodsplit 16016	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11		fprodeq02.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
12		0cnd 11194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	11, 12	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14		fprodeq02.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
15	14	prodsn 16012	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
16	3, 13, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
17	16, 11	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
18	17	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19		diffi 9155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
20	8, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21		difssd 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
22	21	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 9	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	20, 23	fprodcl 16002	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
25	24	mul02d 11403	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
26	10, 18, 25	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  0cc0 11095   · cmul 11100  ∏cprod 15953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954

This theorem is referenced by:  fprodex01  33169