Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodeq02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq02 30087
Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq02.1 (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k (𝜑𝐾𝐴)
fprodeq02.c (𝜑𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq02 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02
StepHypRef Expression
1 disjdif 4234 . . . 4 ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3 fprodeq02.k . . . . . 6 (𝜑𝐾𝐴)
43snssd 4528 . . . . 5 (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5 undif 4243 . . . . 5 ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
64, 5sylib 210 . . . 4 (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
76eqcomd 2805 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8 fprodeq02.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 fprodeq02.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
102, 7, 8, 9fprodsplit 15033 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11 fprodeq02.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 0)
12 0cnd 10321 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
1311, 12eqeltrd 2878 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
14 fprodeq02.1 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
1514prodsn 15029 . . . . 5 ((𝐾𝐴𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
163, 13, 15syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
1716, 11eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
1817oveq1d 6893 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19 diffi 8434 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
208, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21 difssd 3936 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
2221sselda 3798 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘𝐴)
2322, 9syldan 586 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
2420, 23fprodcl 15019 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
2524mul02d 10524 . 2 (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
2610, 18, 253eqtrd 2837 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cdif 3766  cun 3767  cin 3768  wss 3769  c0 4115  {csn 4368  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  cc 10222  0cc0 10224   · cmul 10229  cprod 14972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-prod 14973
This theorem is referenced by:  fprodex01  30089
  Copyright terms: Public domain W3C validator