Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodeq02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq02 32607
Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq02.1 (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k (𝜑𝐾𝐴)
fprodeq02.c (𝜑𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq02 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02
StepHypRef Expression
1 disjdif 4475 . . . 4 ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3 fprodeq02.k . . . . . 6 (𝜑𝐾𝐴)
43snssd 4817 . . . . 5 (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5 undif 4485 . . . . 5 ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
64, 5sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
76eqcomd 2734 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8 fprodeq02.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 fprodeq02.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
102, 7, 8, 9fprodsplit 15950 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11 fprodeq02.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 0)
12 0cnd 11245 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
1311, 12eqeltrd 2829 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
14 fprodeq02.1 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
1514prodsn 15946 . . . . 5 ((𝐾𝐴𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
163, 13, 15syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
1716, 11eqtrd 2768 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
1817oveq1d 7441 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19 diffi 9210 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
208, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21 difssd 4133 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
2221sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘𝐴)
2322, 9syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
2420, 23fprodcl 15936 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
2524mul02d 11450 . 2 (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
2610, 18, 253eqtrd 2772 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4326  {csn 4632  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  cc 11144  0cc0 11146   · cmul 11151  cprod 15889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-prod 15890
This theorem is referenced by:  fprodex01  32609
  Copyright terms: Public domain W3C validator