Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodeq02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq02 31775
Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq02.1 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fprodeq02.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodeq02.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprodeq02.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
fprodeq02.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq02 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐พ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodeq02
StepHypRef Expression
1 disjdif 4435 . . . 4 ({๐พ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐พ})) = โˆ…
21a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐พ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐พ})) = โˆ…)
3 fprodeq02.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
43snssd 4773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐พ} โŠ† ๐ด)
5 undif 4445 . . . . 5 ({๐พ} โŠ† ๐ด โ†” ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})) = ๐ด)
64, 5sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})) = ๐ด)
76eqcomd 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})))
8 fprodeq02.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
9 fprodeq02.b . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
102, 7, 8, 9fprodsplit 15857 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
11 fprodeq02.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
12 0cnd 11156 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
1311, 12eqeltrd 2834 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14 fprodeq02.1 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
1514prodsn 15853 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = ๐ถ)
163, 13, 15syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = ๐ถ)
1716, 11eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = 0)
1817oveq1d 7376 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
19 diffi 9129 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
208, 19syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
21 difssd 4096 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โŠ† ๐ด)
2221sselda 3948 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
2322, 9syldan 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2420, 23fprodcl 15843 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต โˆˆ โ„‚)
2524mul02d 11361 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = 0)
2610, 18, 253eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3911   โˆช cun 3912   โˆฉ cin 3913   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  {csn 4590  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  โ„‚cc 11057  0cc0 11059   ยท cmul 11064  โˆcprod 15796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-prod 15797
This theorem is referenced by:  fprodex01  31777
  Copyright terms: Public domain W3C validator