Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodeq02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq02 32534
Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq02.1 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fprodeq02.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodeq02.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprodeq02.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
fprodeq02.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq02 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐พ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodeq02
StepHypRef Expression
1 disjdif 4466 . . . 4 ({๐พ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐พ})) = โˆ…
21a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐พ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐พ})) = โˆ…)
3 fprodeq02.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
43snssd 4807 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐พ} โІ ๐ด)
5 undif 4476 . . . . 5 ({๐พ} โІ ๐ด โ†” ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})) = ๐ด)
64, 5sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})) = ๐ด)
76eqcomd 2732 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})))
8 fprodeq02.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
9 fprodeq02.b . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
102, 7, 8, 9fprodsplit 15916 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
11 fprodeq02.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
12 0cnd 11211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
1311, 12eqeltrd 2827 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14 fprodeq02.1 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
1514prodsn 15912 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = ๐ถ)
163, 13, 15syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = ๐ถ)
1716, 11eqtrd 2766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = 0)
1817oveq1d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
19 diffi 9181 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
208, 19syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
21 difssd 4127 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โІ ๐ด)
2221sselda 3977 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
2322, 9syldan 590 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2420, 23fprodcl 15902 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต โˆˆ โ„‚)
2524mul02d 11416 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = 0)
2610, 18, 253eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  {csn 4623  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โˆcprod 15855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856
This theorem is referenced by:  fprodex01  32536
  Copyright terms: Public domain W3C validator