Theorem fprodeq02 33465

Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq02.1	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprodeq02.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq02	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdif 4425	. . . 4 ⊢ ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3		fprodeq02.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5		undif 4437	. . . . 5 ⊢ ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8		fprodeq02.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fprodeq02.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	2, 7, 8, 9	fprodsplit 16142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11		fprodeq02.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
12		0cnd 11306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	11, 12	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14		fprodeq02.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
15	14	prodsn 16138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
16	3, 13, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
17	16, 11	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
18	17	oveq1d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19		diffi 9197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
20	8, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21		difssd 4072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
22	21	sselda 3909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	20, 23	fprodcl 16128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
25	24	mul02d 11515	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
26	10, 18, 25	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  {csn 4584  (class class class)co 7424  Fincfn 8980  ℂcc 11205  0cc0 11207   · cmul 11212  ∏cprod 16081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-prod 16082

This theorem is used by:  fprodex01  33466