Theorem fprodeq02 32024

Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq02.1	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprodeq02.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq02	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdif 4471	. . . 4 ⊢ ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3		fprodeq02.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5		undif 4481	. . . . 5 ⊢ ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8		fprodeq02.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fprodeq02.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	2, 7, 8, 9	fprodsplit 15909	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11		fprodeq02.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
12		0cnd 11206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	11, 12	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14		fprodeq02.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
15	14	prodsn 15905	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
16	3, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
17	16, 11	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
18	17	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19		diffi 9178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
20	8, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21		difssd 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
22	21	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	20, 23	fprodcl 15895	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
25	24	mul02d 11411	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
26	10, 18, 25	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℂcc 11107  0cc0 11109   · cmul 11114  ∏cprod 15848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849

This theorem is referenced by:  fprodex01  32026