Theorem fprodeq02 31039

Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq02.1	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprodeq02.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq02	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdif 4402	. . . 4 ⊢ ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3		fprodeq02.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5		undif 4412	. . . . 5 ⊢ ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8		fprodeq02.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fprodeq02.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	2, 7, 8, 9	fprodsplit 15604	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11		fprodeq02.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
12		0cnd 10899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	11, 12	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14		fprodeq02.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
15	14	prodsn 15600	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
16	3, 13, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
17	16, 11	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
18	17	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19		diffi 8979	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
20	8, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21		difssd 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
22	21	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 9	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	20, 23	fprodcl 15590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
25	24	mul02d 11103	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
26	10, 18, 25	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807  ∏cprod 15543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544

This theorem is referenced by:  fprodex01  31041