Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodeq02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq02 30532
 Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq02.1 (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k (𝜑𝐾𝐴)
fprodeq02.c (𝜑𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq02 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02
StepHypRef Expression
1 disjdif 4419 . . . 4 ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3 fprodeq02.k . . . . . 6 (𝜑𝐾𝐴)
43snssd 4734 . . . . 5 (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5 undif 4428 . . . . 5 ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
64, 5sylib 220 . . . 4 (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
76eqcomd 2825 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8 fprodeq02.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 fprodeq02.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
102, 7, 8, 9fprodsplit 15312 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11 fprodeq02.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 0)
12 0cnd 10626 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
1311, 12eqeltrd 2911 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
14 fprodeq02.1 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
1514prodsn 15308 . . . . 5 ((𝐾𝐴𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
163, 13, 15syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
1716, 11eqtrd 2854 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
1817oveq1d 7163 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19 diffi 8742 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
208, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21 difssd 4107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
2221sselda 3965 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘𝐴)
2322, 9syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
2420, 23fprodcl 15298 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
2524mul02d 10830 . 2 (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
2610, 18, 253eqtrd 2858 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3931   ∪ cun 3932   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  {csn 4559  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  ℂcc 10527  0cc0 10529   · cmul 10534  ∏cprod 15251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252 This theorem is referenced by:  fprodex01  30534
 Copyright terms: Public domain W3C validator