![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fprodeq02 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodeq02.1 | โข (๐ = ๐พ โ ๐ต = ๐ถ) |
fprodeq02.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodeq02.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodeq02.k | โข (๐ โ ๐พ โ ๐ด) |
fprodeq02.c | โข (๐ โ ๐ถ = 0) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodeq02 | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | disjdif 4475 | . . . 4 โข ({๐พ} โฉ (๐ด โ {๐พ})) = โ | |
2 | 1 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ ({๐พ} โฉ (๐ด โ {๐พ})) = โ ) |
3 | fprodeq02.k | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐พ โ ๐ด) | |
4 | 3 | snssd 4817 | . . . . 5 โข (๐ โ {๐พ} โ ๐ด) |
5 | undif 4485 | . . . . 5 โข ({๐พ} โ ๐ด โ ({๐พ} โช (๐ด โ {๐พ})) = ๐ด) | |
6 | 4, 5 | sylib 217 | . . . 4 โข (๐ โ ({๐พ} โช (๐ด โ {๐พ})) = ๐ด) |
7 | 6 | eqcomd 2734 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด = ({๐พ} โช (๐ด โ {๐พ}))) |
8 | fprodeq02.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
9 | fprodeq02.b | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
10 | 2, 7, 8, 9 | fprodsplit 15952 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = (โ๐ โ {๐พ}๐ต ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐พ})๐ต)) |
11 | fprodeq02.c | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ = 0) | |
12 | 0cnd 11247 | . . . . . 6 โข (๐ โ 0 โ โ) | |
13 | 11, 12 | eqeltrd 2829 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
14 | fprodeq02.1 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐พ โ ๐ต = ๐ถ) | |
15 | 14 | prodsn 15948 | . . . . 5 โข ((๐พ โ ๐ด โง ๐ถ โ โ) โ โ๐ โ {๐พ}๐ต = ๐ถ) |
16 | 3, 13, 15 | syl2anc 582 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ {๐พ}๐ต = ๐ถ) |
17 | 16, 11 | eqtrd 2768 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐พ}๐ต = 0) |
18 | 17 | oveq1d 7441 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ {๐พ}๐ต ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐พ})๐ต) = (0 ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐พ})๐ต)) |
19 | diffi 9212 | . . . . 5 โข (๐ด โ Fin โ (๐ด โ {๐พ}) โ Fin) | |
20 | 8, 19 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด โ {๐พ}) โ Fin) |
21 | difssd 4133 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด โ {๐พ}) โ ๐ด) | |
22 | 21 | sselda 3982 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ด โ {๐พ})) โ ๐ โ ๐ด) |
23 | 22, 9 | syldan 589 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ (๐ด โ {๐พ})) โ ๐ต โ โ) |
24 | 20, 23 | fprodcl 15938 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ด โ {๐พ})๐ต โ โ) |
25 | 24 | mul02d 11452 | . 2 โข (๐ โ (0 ยท โ๐ โ (๐ด โ {๐พ})๐ต) = 0) |
26 | 10, 18, 25 | 3eqtrd 2772 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ cdif 3946 โช cun 3947 โฉ cin 3948 โ wss 3949 โ c0 4326 {csn 4632 (class class class)co 7426 Fincfn 8972 โcc 11146 0cc0 11148 ยท cmul 11153 โcprod 15891 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-inf2 9674 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 ax-pre-sup 11226 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-1o 8495 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-fin 8976 df-sup 9475 df-oi 9543 df-card 9972 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-n0 12513 df-z 12599 df-uz 12863 df-rp 13017 df-fz 13527 df-fzo 13670 df-seq 14009 df-exp 14069 df-hash 14332 df-cj 15088 df-re 15089 df-im 15090 df-sqrt 15224 df-abs 15225 df-clim 15474 df-prod 15892 |
This theorem is referenced by: fprodex01 32617 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |