Theorem fprodeq02 30724

Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq02.1	⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
fprodeq02.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodeq02.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq02.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
fprodeq02.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq02	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdif 4371	. . . 4 ⊢ ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∩ (𝐴 ∖ {𝐾})) = ∅)
3		fprodeq02.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ⊆ 𝐴)
5		undif 4381	. . . . 5 ⊢ ({𝐾} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ({𝐾} ∪ (𝐴 ∖ {𝐾})))
8		fprodeq02.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		fprodeq02.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	2, 7, 8, 9	fprodsplit 15424	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
11		fprodeq02.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 0)
12		0cnd 10724	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	11, 12	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14		fprodeq02.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → 𝐵 = 𝐶)
15	14	prodsn 15420	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
16	3, 13, 15	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 𝐶)
17	16, 11	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 = 0)
18	17	oveq1d 7197	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐾}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
19		diffi 8839	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
20	8, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
21		difssd 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝐴)
22	21	sselda 3887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 9	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	20, 23	fprodcl 15410	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
25	24	mul02d 10928	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
26	10, 18, 25	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3850   ∪ cun 3851   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ∅c0 4221  {csn 4526  (class class class)co 7182  Fincfn 8567  ℂcc 10625  0cc0 10627   · cmul 10632  ∏cprod 15363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-sup 8991  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-prod 15364

This theorem is referenced by:  fprodex01  30726