Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodeq02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq02 32615
Description: If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq02.1 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fprodeq02.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodeq02.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprodeq02.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
fprodeq02.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq02 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐พ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodeq02
StepHypRef Expression
1 disjdif 4475 . . . 4 ({๐พ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐พ})) = โˆ…
21a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐พ} โˆฉ (๐ด โˆ– {๐พ})) = โˆ…)
3 fprodeq02.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)
43snssd 4817 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐พ} โІ ๐ด)
5 undif 4485 . . . . 5 ({๐พ} โІ ๐ด โ†” ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})) = ๐ด)
64, 5sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})) = ๐ด)
76eqcomd 2734 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ({๐พ} โˆช (๐ด โˆ– {๐พ})))
8 fprodeq02.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
9 fprodeq02.b . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
102, 7, 8, 9fprodsplit 15952 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
11 fprodeq02.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)
12 0cnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
1311, 12eqeltrd 2829 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14 fprodeq02.1 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
1514prodsn 15948 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = ๐ถ)
163, 13, 15syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = ๐ถ)
1716, 11eqtrd 2768 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต = 0)
1817oveq1d 7441 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐พ}๐ต ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต))
19 diffi 9212 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
208, 19syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โˆˆ Fin)
21 difssd 4133 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– {๐พ}) โІ ๐ด)
2221sselda 3982 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
2322, 9syldan 589 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2420, 23fprodcl 15938 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต โˆˆ โ„‚)
2524mul02d 11452 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐พ})๐ต) = 0)
2610, 18, 253eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948   โІ wss 3949  โˆ…c0 4326  {csn 4632  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  โ„‚cc 11146  0cc0 11148   ยท cmul 11153  โˆcprod 15891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-prod 15892
This theorem is referenced by:  fprodex01  32617
  Copyright terms: Public domain W3C validator