Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemsel1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemsel1i 33112
Description: The range (1...(𝐼𝐶)) is invariant under (𝑆𝐶). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
ballotlemsel1i ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemsel1i
StepHypRef Expression
1 1zzd 12534 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 1 ∈ ℤ)
2 ballotth.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
3 ballotth.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
4 ballotth.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
5 ballotth.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
6 ballotth.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
7 ballotth.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
8 ballotth.mgtn . . . . . 6 𝑁 < 𝑀
9 ballotth.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemiex 33101 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1110simpld 495 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
1211elfzelzd 13442 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
1312adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
14 nnaddcl 12176 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
152, 3, 14mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
1615nnzi 12527 . . . . . . . 8 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
18 elfzle2 13445 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
20 eluz2 12769 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝐼𝐶)) ↔ ((𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2112, 17, 19, 20syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝐼𝐶)))
22 fzss2 13481 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝐼𝐶)) → (1...(𝐼𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1...(𝐼𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
2423sselda 3944 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
25 ballotth.s . . . . 5 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
262, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25ballotlemsdom 33111 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
2724, 26syldan 591 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
2827elfzelzd 13442 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)
29 elfzelz 13441 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
3029adantl 482 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 𝐽 ∈ ℤ)
3130zred 12607 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 𝐽 ∈ ℝ)
3213zred 12607 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → (𝐼𝐶) ∈ ℝ)
33 1red 11156 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 1 ∈ ℝ)
3432, 33readdcld 11184 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝐼𝐶) + 1) ∈ ℝ)
35 elfzle2 13445 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶)) → 𝐽 ≤ (𝐼𝐶))
3635adantl 482 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 𝐽 ≤ (𝐼𝐶))
3713zcnd 12608 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → (𝐼𝐶) ∈ ℂ)
38 1cnd 11150 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 1 ∈ ℂ)
3937, 38pncand 11513 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → (((𝐼𝐶) + 1) − 1) = (𝐼𝐶))
4036, 39breqtrrd 5133 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 𝐽 ≤ (((𝐼𝐶) + 1) − 1))
4131, 34, 33, 40lesubd 11759 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 1 ≤ (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽))
422, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 25ballotlemsv 33109 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽), 𝐽))
4324, 42syldan 591 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽), 𝐽))
4436iftrued 4494 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → if(𝐽 ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽), 𝐽) = (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽))
4543, 44eqtrd 2776 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) = (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽))
4641, 45breqtrrd 5133 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → 1 ≤ ((𝑆𝐶)‘𝐽))
4712adantr 481 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
48 elfznn 13470 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
4948adantl 482 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐽 ∈ ℕ)
5047, 49ltesubnnd 31718 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽) ≤ (𝐼𝐶))
5124, 50syldan 591 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽) ≤ (𝐼𝐶))
5245, 51eqbrtrd 5127 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ≤ (𝐼𝐶))
531, 13, 28, 46, 52elfzd 13432 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  33128  ballotlemfrcn0  33129
  Copyright terms: Public domain W3C validator