MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrcolem2 26334
Description: Lemma for dgrco 26335. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrco.2 𝑁 = (deg‘𝐺)
dgrco.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrco.4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrco.5 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrco.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
dgrco.7 (𝜑𝑀 = (𝐷 + 1))
dgrco.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 → (deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝐷,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plyf 26257 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
43ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6 plyf 26257 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
87ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
94, 8syldan 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
10 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1110coef3 26291 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
125, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (deg‘𝐹)
14 dgrcl 26292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
155, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
1613, 15eqeltrid 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1712, 16ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1916adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
204, 19expcld 14196 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑𝑀) ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 11310 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)) ∈ ℂ)
229, 21npcand 11651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) + ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
2322mpteq2dva 5266 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) + ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
24 cnex 11265 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
269, 21subcld 11647 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ ℂ)
27 eqidd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
28 eqidd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
2925, 26, 21, 27, 28offval2 7734 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘f + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) + ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
303feqmptd 6990 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
317feqmptd 6990 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
32 fveq2 6920 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
334, 30, 31, 32fmptco 7163 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
3423, 29, 333eqtr4rd 2791 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐺) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘f + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
3534fveq2d 6924 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝐺)) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘f + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))))
3635adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘f + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))))
3725, 9, 21, 33, 28offval2 7734 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ∘f − (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
38 plyssc 26259 . . . . . . . . 9 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3938, 5sselid 4006 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4038, 1sselid 4006 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
41 addcl 11266 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
4241adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
43 mulcl 11268 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
4443adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
4539, 40, 42, 44plyco 26300 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
46 eqidd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))
47 oveq1 7455 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦𝑀) = ((𝐺𝑥)↑𝑀))
4847oveq2d 7464 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)) = ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
494, 30, 46, 48fmptco 7163 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
50 ssidd 4032 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
51 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))
5251ply1term 26263 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
5350, 17, 16, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
5453, 40, 42, 44plyco 26300 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∘ 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
5549, 54eqeltrrd 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
56 plysubcl 26281 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((𝐹𝐺) ∘f − (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
5745, 55, 56syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ∘f − (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
5837, 57eqeltrrd 2845 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
5958adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
6055adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
61 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = (𝐷 + 1))
62 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
63 nn0p1nn 12592 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
6561, 64eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6665nngt0d 12342 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑀)
67 fveq2 6920 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (deg‘0𝑝))
68 dgr0 26322 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
6967, 68eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = 0)
7069breq1d 5176 . . . . . . . . 9 ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
7166, 70syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀))
72 idd 24 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀))
73 eqid 2740 . . . . . . . . . . . 12 (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))
7413, 73dgrsub 26332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀))
7539, 53, 74syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀))
7665nnne0d 12343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ≠ 0)
7713, 10dgreq0 26325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
785, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
79 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
8079, 68eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
8113, 80eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 = 0𝑝𝑀 = 0)
8278, 81biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝑀) = 0 → 𝑀 = 0))
8382necon3d 2967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ≠ 0 → (𝐴𝑀) ≠ 0))
8476, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝑀) ≠ 0)
8551dgr1term 26319 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 𝑀)
8617, 84, 16, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 𝑀)
8786ifeq1d 4567 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀, 𝑀))
88 ifid 4588 . . . . . . . . . . 11 if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
8987, 88eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀) = 𝑀)
9075, 89breqtrd 5192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝑀)
91 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))
9210, 91coesub 26316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (𝐴f − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))))
9339, 53, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (𝐴f − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))))
9493fveq1d 6922 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = ((𝐴f − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀))
9512ffnd 6748 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
9691coef3 26291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))):ℕ0⟶ℂ)
9753, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))):ℕ0⟶ℂ)
9897ffnd 6748 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) Fn ℕ0)
99 nn0ex 12559 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
101 inidm 4248 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
102 eqidd 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝑀))
10351coe1term 26318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑀, (𝐴𝑀), 0))
10417, 16, 16, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑀, (𝐴𝑀), 0))
105 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = 𝑀
106105iftruei 4555 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑀 = 𝑀, (𝐴𝑀), 0) = (𝐴𝑀)
107104, 106eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
10995, 98, 100, 100, 101, 102, 108ofval 7725 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴f − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
11016, 109mpdan 686 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴f − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
11117subidd 11635 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)) = 0)
11294, 110, 1113eqtrd 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = 0)
113 plysubcl 26281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
11439, 53, 113syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
115 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))
116 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))
117115, 116dgrlt 26326 . . . . . . . . . 10 (((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = 0)))
118114, 16, 117syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = 0)))
11990, 112, 118mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀))
12071, 72, 119mpjaod 859 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀)
121120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀)
122 dgrcl 26292 . . . . . . . . . 10 ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℕ0)
123114, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℕ0)
124123nn0red 12614 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℝ)
125124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℝ)
12616nn0red 12614 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
127126adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
128 nnre 12300 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
129128adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
130 nngt0 12324 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
131130adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
132 ltmul1 12144 . . . . . . 7 (((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑁)))
133125, 127, 129, 131, 132syl112anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑁)))
134121, 133mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑁))
1357ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
13617adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
137 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
138 expcl 14130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑀) ∈ ℂ)
139137, 16, 138syl2anr 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑀) ∈ ℂ)
140136, 139mulcld 11310 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)) ∈ ℂ)
14125, 135, 140, 31, 46offval2 7734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑦) − ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))
14232, 48oveq12d 7466 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((𝐹𝑦) − ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) = ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
1434, 30, 141, 142fmptco 7163 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
144143fveq2d 6924 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))))
145120, 61breqtrd 5192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < (𝐷 + 1))
146 nn0leltp1 12702 . . . . . . . . . 10 (((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 ↔ (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < (𝐷 + 1)))
147123, 62, 146syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 ↔ (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < (𝐷 + 1)))
148145, 147mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷)
149 fveq2 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))))
150149breq1d 5176 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → ((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 ↔ (deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷))
151 coeq1 5882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (𝑓𝐺) = ((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺))
152151fveq2d 6924 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (deg‘(𝑓𝐺)) = (deg‘((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)))
153149oveq1d 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → ((deg‘𝑓) · 𝑁) = ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
154152, 153eqeq12d 2756 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → ((deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁) ↔ (deg‘((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁)))
155150, 154imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 → (deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁)) ↔ ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 → (deg‘((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))))
156 dgrco.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 → (deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁)))
157155, 156, 114rspcdva 3636 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 → (deg‘((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁)))
158148, 157mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘((𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
159144, 158eqtr3d 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
160159adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = ((deg‘(𝐹f − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
161 fconstmpt 5762 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {(𝐴𝑀)}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑀))
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ × {(𝐴𝑀)}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑀)))
163 eqidd 2741 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
16425, 18, 20, 162, 163offval2 7734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
165164fveq2d 6924 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
166 eqidd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)))
1674, 30, 166, 47fmptco 7163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
168 1cnd 11285 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
169 plypow 26264 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ))
17050, 168, 16, 169syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ))
171170, 40, 42, 44plyco 26300 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∘ 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
172167, 171eqeltrrd 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ))
173 dgrmulc 26331 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
17417, 84, 172, 173syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘f · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
175165, 174eqtr3d 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
176175adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
177 dgrco.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐺)
17865adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
179 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1801adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
181177, 178, 179, 180dgrcolem1 26333 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
182176, 181eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑀 · 𝑁))
183134, 160, 1823brtr4d 5198 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) < (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
184 eqid 2740 . . . . 5 (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
185 eqid 2740 . . . . 5 (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
186184, 185dgradd2 26328 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) < (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘f + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
18759, 60, 183, 186syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘f + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
18836, 187, 1823eqtrd 2784 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
189 0cn 11282 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
190 ffvelcdm 7115 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺‘0) ∈ ℂ)
1913, 189, 190sylancl 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘0) ∈ ℂ)
1927, 191ffvelcdmd 7119 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘0)) ∈ ℂ)
193 0dgr 26304 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐺‘0)) ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = 0)
194192, 193syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = 0)
19516nn0cnd 12615 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
196195mul01d 11489 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
197194, 196eqtr4d 2783 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = (𝑀 · 0))
198197adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = (𝑀 · 0))
199191ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺‘0) ∈ ℂ)
200 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
201177, 200eqtr3id 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘𝐺) = 0)
202 0dgrb 26305 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐺) = 0 ↔ 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)})))
2031, 202syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘𝐺) = 0 ↔ 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)})))
204203adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ((deg‘𝐺) = 0 ↔ 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)})))
205201, 204mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)}))
206 fconstmpt 5762 . . . . . . 7 (ℂ × {(𝐺‘0)}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺‘0))
207205, 206eqtrdi 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺‘0)))
20831adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
209 fveq2 6920 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺‘0) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
210199, 207, 208, 209fmptco 7163 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐹𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺‘0))))
211 fconstmpt 5762 . . . . 5 (ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺‘0)))
212210, 211eqtr4di 2798 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐹𝐺) = (ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))}))
213212fveq2d 6924 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})))
214200oveq2d 7464 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
215198, 213, 2143eqtr4d 2790 . 2 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
216 dgrcl 26292 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2171, 216syl 17 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
218177, 217eqeltrid 2848 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
219 elnn0 12555 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
220218, 219sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
221188, 215, 220mpjaodan 959 1 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  Vcvv 3488  wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166  cmpt 5249   × cxp 5698  ccom 5704  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  f cof 7712  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520  cn 12293  0cn0 12553  cexp 14112  0𝑝c0p 25723  Polycply 26243  coeffccoe 26245  degcdgr 26246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-0p 25724  df-ply 26247  df-coe 26249  df-dgr 26250
This theorem is referenced by:  dgrco  26335
  Copyright terms: Public domain W3C validator