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Theorem dgrcolem2 25788
Description: Lemma for dgrco 25789. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
dgrco.2 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
dgrco.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
dgrco.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
dgrco.5 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrco.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
dgrco.7 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (𝐷 + 1))
dgrco.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Polyβ€˜β„‚)((degβ€˜π‘“) ≀ 𝐷 β†’ (degβ€˜(𝑓 ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜π‘“) Β· 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑀 Β· 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝐷,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 plyf 25712 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
43ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6 plyf 25712 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
87ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
94, 8syldan 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
10 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
1110coef3 25746 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
125, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
13 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
14 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
155, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
1613, 15eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
1712, 16ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
1817adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
1916adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
204, 19expcld 14111 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀) ∈ β„‚)
2118, 20mulcld 11234 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)) ∈ β„‚)
229, 21npcand 11575 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) + ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
2322mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) + ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
24 cnex 11191 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
269, 21subcld 11571 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) ∈ β„‚)
27 eqidd 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
28 eqidd 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
2925, 26, 21, 27, 28offval2 7690 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∘f + (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) + ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
303feqmptd 6961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
317feqmptd 6961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
32 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
334, 30, 31, 32fmptco 7127 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
3423, 29, 333eqtr4rd 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∘f + (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
3534fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∘f + (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))))
3635adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∘f + (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))))
3725, 9, 21, 33, 28offval2 7690 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
38 plyssc 25714 . . . . . . . . 9 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
3938, 5sselid 3981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4038, 1sselid 3981 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
41 addcl 11192 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
4241adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 + 𝑀) ∈ β„‚)
43 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
4443adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
4539, 40, 42, 44plyco 25755 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
46 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))
47 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (𝑦↑𝑀) = ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))
4847oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)) = ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))
494, 30, 46, 48fmptco 7127 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
50 ssidd 4006 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
51 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))
5251ply1term 25718 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5350, 17, 16, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5453, 40, 42, 44plyco 25755 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5549, 54eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
56 plysubcl 25736 . . . . . . 7 (((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5745, 55, 56syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘f βˆ’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5837, 57eqeltrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5958adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
6055adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
61 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (𝐷 + 1))
62 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
63 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ β„•0 β†’ (𝐷 + 1) ∈ β„•)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) ∈ β„•)
6561, 64eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6665nngt0d 12261 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
67 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) = (degβ€˜0𝑝))
68 dgr0 25776 . . . . . . . . . . 11 (degβ€˜0𝑝) = 0
6967, 68eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) = 0)
7069breq1d 5159 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 0𝑝 β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
7166, 70syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀))
72 idd 24 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀 β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀))
73 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))
7413, 73dgrsub 25786 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ if(𝑀 ≀ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), 𝑀))
7539, 53, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ if(𝑀 ≀ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), 𝑀))
7665nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
7713, 10dgreq0 25779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘€) = 0))
785, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘€) = 0))
79 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
8079, 68eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = 0)
8113, 80eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝑀 = 0)
8278, 81syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘€) = 0 β†’ 𝑀 = 0))
8382necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀 β‰  0 β†’ (π΄β€˜π‘€) β‰  0))
8476, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘€) β‰  0)
8551dgr1term 25774 . . . . . . . . . . . . 13 (((π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 𝑀)
8617, 84, 16, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 𝑀)
8786ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ if(𝑀 ≀ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), 𝑀) = if(𝑀 ≀ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), 𝑀, 𝑀))
88 ifid 4569 . . . . . . . . . . 11 if(𝑀 ≀ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
8987, 88eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝑀 ≀ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))), 𝑀) = 𝑀)
9075, 89breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝑀)
91 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))
9210, 91coesub 25771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) = (𝐴 ∘f βˆ’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))))
9339, 53, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) = (𝐴 ∘f βˆ’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))))
9493fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))β€˜π‘€) = ((𝐴 ∘f βˆ’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))β€˜π‘€))
9512ffnd 6719 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
9691coef3 25746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))):β„•0βŸΆβ„‚)
9753, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))):β„•0βŸΆβ„‚)
9897ffnd 6719 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) Fn β„•0)
99 nn0ex 12478 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
101 inidm 4219 . . . . . . . . . . . 12 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
102 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘€) = (π΄β€˜π‘€))
10351coe1term 25773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))β€˜π‘€) = if(𝑀 = 𝑀, (π΄β€˜π‘€), 0))
10417, 16, 16, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))β€˜π‘€) = if(𝑀 = 𝑀, (π΄β€˜π‘€), 0))
105 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = 𝑀
106105iftruei 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑀 = 𝑀, (π΄β€˜π‘€), 0) = (π΄β€˜π‘€)
107104, 106eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))β€˜π‘€) = (π΄β€˜π‘€))
108107adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))β€˜π‘€) = (π΄β€˜π‘€))
10995, 98, 100, 100, 101, 102, 108ofval 7681 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))β€˜π‘€) = ((π΄β€˜π‘€) βˆ’ (π΄β€˜π‘€)))
11016, 109mpdan 686 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ (coeffβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))β€˜π‘€) = ((π΄β€˜π‘€) βˆ’ (π΄β€˜π‘€)))
11117subidd 11559 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘€) βˆ’ (π΄β€˜π‘€)) = 0)
11294, 110, 1113eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))β€˜π‘€) = 0)
113 plysubcl 25736 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
11439, 53, 113syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
115 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) = (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))
116 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) = (coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))
117115, 116dgrlt 25780 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀) ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝑀 ∧ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))β€˜π‘€) = 0)))
118114, 16, 117syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀) ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝑀 ∧ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))β€˜π‘€) = 0)))
11990, 112, 118mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀))
12071, 72, 119mpjaod 859 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀)
121120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀)
122 dgrcl 25747 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ∈ β„•0)
123114, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ∈ β„•0)
124123nn0red 12533 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ∈ ℝ)
125124adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ∈ ℝ)
12616nn0red 12533 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
127126adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
128 nnre 12219 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
129128adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
130 nngt0 12243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
131130adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
132 ltmul1 12064 . . . . . . 7 (((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀 ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁) < (𝑀 Β· 𝑁)))
133125, 127, 129, 131, 132syl112anc 1375 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < 𝑀 ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁) < (𝑀 Β· 𝑁)))
134121, 133mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁) < (𝑀 Β· 𝑁))
1357ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
13617adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
137 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
138 expcl 14045 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑𝑀) ∈ β„‚)
139137, 16, 138syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦↑𝑀) ∈ β„‚)
140136, 139mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)) ∈ β„‚)
14125, 135, 140, 31, 46offval2 7690 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))))
14232, 48oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
1434, 30, 141, 142fmptco 7127 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
144143fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺)) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))))
145120, 61breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < (𝐷 + 1))
146 nn0leltp1 12621 . . . . . . . . . 10 (((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝐷 ↔ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < (𝐷 + 1)))
147123, 62, 146syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝐷 ↔ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) < (𝐷 + 1)))
148145, 147mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝐷)
149 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) β†’ (degβ€˜π‘“) = (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))))
150149breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) β†’ ((degβ€˜π‘“) ≀ 𝐷 ↔ (degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝐷))
151 coeq1 5858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) β†’ (𝑓 ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺))
152151fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) β†’ (degβ€˜(𝑓 ∘ 𝐺)) = (degβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺)))
153149oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) β†’ ((degβ€˜π‘“) Β· 𝑁) = ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁))
154152, 153eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) β†’ ((degβ€˜(𝑓 ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜π‘“) Β· 𝑁) ↔ (degβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁)))
155150, 154imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) β†’ (((degβ€˜π‘“) ≀ 𝐷 β†’ (degβ€˜(𝑓 ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜π‘“) Β· 𝑁)) ↔ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝐷 β†’ (degβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁))))
156 dgrco.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Polyβ€˜β„‚)((degβ€˜π‘“) ≀ 𝐷 β†’ (degβ€˜(𝑓 ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜π‘“) Β· 𝑁)))
157155, 156, 114rspcdva 3614 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) ≀ 𝐷 β†’ (degβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁)))
158148, 157mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁))
159144, 158eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) = ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁))
160159adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) = ((degβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· (𝑦↑𝑀))))) Β· 𝑁))
161 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ Γ— {(π΄β€˜π‘€)}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π΄β€˜π‘€))
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {(π΄β€˜π‘€)}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π΄β€˜π‘€)))
163 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))
16425, 18, 20, 162, 163offval2 7690 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {(π΄β€˜π‘€)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
165164fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {(π΄β€˜π‘€)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
166 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑀)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑀)))
1674, 30, 166, 47fmptco 7127 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑀)) ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))
168 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
169 plypow 25719 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑀)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
17050, 168, 16, 169syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑀)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
171170, 40, 42, 44plyco 25755 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦↑𝑀)) ∘ 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
172167, 171eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
173 dgrmulc 25785 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ (π΄β€˜π‘€) β‰  0 ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {(π΄β€˜π‘€)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
17417, 84, 172, 173syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {(π΄β€˜π‘€)}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
175165, 174eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
176175adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
177 dgrco.2 . . . . . . 7 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
17865adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
179 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1801adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
181177, 178, 179, 180dgrcolem1 25787 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) = (𝑀 Β· 𝑁))
182176, 181eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (𝑀 Β· 𝑁))
183134, 160, 1823brtr4d 5181 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) < (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
184 eqid 2733 . . . . 5 (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
185 eqid 2733 . . . . 5 (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))
186184, 185dgradd2 25782 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) < (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) β†’ (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∘f + (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
18759, 60, 183, 186syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))) ∘f + (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀))))) = (degβ€˜(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π΄β€˜π‘€) Β· ((πΊβ€˜π‘₯)↑𝑀)))))
18836, 187, 1823eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑀 Β· 𝑁))
189 0cn 11206 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
190 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜0) ∈ β„‚)
1913, 189, 190sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) ∈ β„‚)
1927, 191ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)) ∈ β„‚)
193 0dgr 25759 . . . . . 6 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜0)) ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜(πΊβ€˜0))})) = 0)
194192, 193syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜(πΊβ€˜0))})) = 0)
19516nn0cnd 12534 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
196195mul01d 11413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
197194, 196eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜(πΊβ€˜0))})) = (𝑀 Β· 0))
198197adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜(πΊβ€˜0))})) = (𝑀 Β· 0))
199191ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜0) ∈ β„‚)
200 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 = 0)
201177, 200eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (degβ€˜πΊ) = 0)
202 0dgrb 25760 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((degβ€˜πΊ) = 0 ↔ 𝐺 = (β„‚ Γ— {(πΊβ€˜0)})))
2031, 202syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜πΊ) = 0 ↔ 𝐺 = (β„‚ Γ— {(πΊβ€˜0)})))
204203adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ ((degβ€˜πΊ) = 0 ↔ 𝐺 = (β„‚ Γ— {(πΊβ€˜0)})))
205201, 204mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝐺 = (β„‚ Γ— {(πΊβ€˜0)}))
206 fconstmpt 5739 . . . . . . 7 (β„‚ Γ— {(πΊβ€˜0)}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜0))
207205, 206eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΊβ€˜0)))
20831adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
209 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑦 = (πΊβ€˜0) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)))
210199, 207, 208, 209fmptco 7127 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜0))))
211 fconstmpt 5739 . . . . 5 (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜(πΊβ€˜0))}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)))
212210, 211eqtr4di 2791 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜(πΊβ€˜0))}))
213212fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (degβ€˜(β„‚ Γ— {(πΉβ€˜(πΊβ€˜0))})))
214200oveq2d 7425 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (𝑀 Β· 𝑁) = (𝑀 Β· 0))
215198, 213, 2143eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 0) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑀 Β· 𝑁))
216 dgrcl 25747 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
2171, 216syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
218177, 217eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
219 elnn0 12474 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
220218, 219sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
221188, 215, 220mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑀 Β· 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β†‘cexp 14027  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  dgrco  25789
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