MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expeven 14080
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 12567 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
212timesd 12459 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
32oveq2d 7421 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)))
4 neg1cn 12330 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
5 neg1ne0 12332 . . . 4 -1 โ‰  0
6 expaddz 14077 . . . 4 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
74, 5, 6mpanl12 699 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
87anidms 566 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
9 m1expcl2 14056 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
10 ovex 7438 . . . . 5 (-1โ†‘๐‘) โˆˆ V
1110elpr 4646 . . . 4 ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1} โ†” ((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘) = 1))
12 oveq12 7414 . . . . . . 7 (((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆง (-1โ†‘๐‘) = -1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (-1 ยท -1))
1312anidms 566 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘) = -1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (-1 ยท -1))
14 neg1mulneg1e1 12429 . . . . . 6 (-1 ยท -1) = 1
1513, 14eqtrdi 2782 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘) = -1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
16 oveq12 7414 . . . . . . 7 (((-1โ†‘๐‘) = 1 โˆง (-1โ†‘๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (1 ยท 1))
1716anidms 566 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (1 ยท 1))
18 1t1e1 12378 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
1917, 18eqtrdi 2782 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
2015, 19jaoi 854 . . . 4 (((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
2111, 20sylbi 216 . . 3 ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
229, 21syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
233, 8, 223eqtrd 2770 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  {cpr 4625  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  -cneg 11449  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  fallrisefac  15975  m1expe  16324  m1expo  16325  m1exp1  16326  gausslemma2d  27262  stirlinglem5  45366
  Copyright terms: Public domain W3C validator