Theorem m1expeven 14141

Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1expeven	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12592	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 12483	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		neg1cn 12199	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		neg1ne0 12201	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
6		expaddz 14138	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
7	4, 5, 6	mpanl12 714	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
8	7	anidms 576	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9		m1expcl2 14117	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10		ovex 7441	. . . . 5 ⊢ (-1↑𝑁) ∈ V
11	10	elpr 4616	. . . 4 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
12		oveq12 7417	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
13	12	anidms 576	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
14		neg1mulneg1e1 12452	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
16		oveq12 7417	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
17	16	anidms 576	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
18		1t1e1 12398	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
20	15, 19	jaoi 870	. . . 4 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
21	11, 20	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
22	9, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
23	3, 8, 22	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {cpr 4593  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  -cneg 11438  2c2 12291  ℤcz 12587  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  fallrisefac  16075  m1expe  16428  m1expo  16429  m1exp1  16430  gausslemma2d  27500  stirlinglem5  46679