MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expeven 13200
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 11708 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
212timesd 11600 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
32oveq2d 6920 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4 neg1cn 11471 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 neg1ne0 11473 . . . 4 -1 ≠ 0
6 expaddz 13197 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
74, 5, 6mpanl12 695 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
87anidms 564 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9 m1expcl2 13175 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10 ovex 6936 . . . . 5 (-1↑𝑁) ∈ V
1110elpr 4419 . . . 4 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
12 oveq12 6913 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
1312anidms 564 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
14 neg1mulneg1e1 11570 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
1513, 14syl6eq 2876 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
16 oveq12 6913 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
1716anidms 564 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
18 1t1e1 11519 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
1917, 18syl6eq 2876 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2015, 19jaoi 890 . . . 4 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2111, 20sylbi 209 . . 3 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
229, 21syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
233, 8, 223eqtrd 2864 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  {cpr 4398  (class class class)co 6904  cc 10249  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256  -cneg 10585  2c2 11405  cz 11703  cexp 13153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-seq 13095  df-exp 13154
This theorem is referenced by:  fallrisefac  15127  m1expe  15464  m1expo  15465  m1exp1  15466  gausslemma2d  25511  stirlinglem5  41088
  Copyright terms: Public domain W3C validator