MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expeven 13561
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 12060 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
212timesd 11952 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
32oveq2d 7180 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4 neg1cn 11823 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 neg1ne0 11825 . . . 4 -1 ≠ 0
6 expaddz 13558 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
74, 5, 6mpanl12 702 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
87anidms 570 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9 m1expcl2 13536 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10 ovex 7197 . . . . 5 (-1↑𝑁) ∈ V
1110elpr 4536 . . . 4 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
12 oveq12 7173 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
1312anidms 570 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
14 neg1mulneg1e1 11922 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
1513, 14eqtrdi 2789 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
16 oveq12 7173 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
1716anidms 570 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
18 1t1e1 11871 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
1917, 18eqtrdi 2789 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2015, 19jaoi 856 . . . 4 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2111, 20sylbi 220 . . 3 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
229, 21syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
233, 8, 223eqtrd 2777 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  {cpr 4515  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  -cneg 10942  2c2 11764  cz 12055  cexp 13514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-seq 13454  df-exp 13515
This theorem is referenced by:  fallrisefac  15464  m1expe  15812  m1expo  15813  m1exp1  15814  gausslemma2d  26102  stirlinglem5  43145
  Copyright terms: Public domain W3C validator