MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expeven 13830
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 12324 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
212timesd 12216 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
32oveq2d 7291 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4 neg1cn 12087 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 neg1ne0 12089 . . . 4 -1 ≠ 0
6 expaddz 13827 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
74, 5, 6mpanl12 699 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
87anidms 567 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9 m1expcl2 13804 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10 ovex 7308 . . . . 5 (-1↑𝑁) ∈ V
1110elpr 4584 . . . 4 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
12 oveq12 7284 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
1312anidms 567 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
14 neg1mulneg1e1 12186 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
1513, 14eqtrdi 2794 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
16 oveq12 7284 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
1716anidms 567 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
18 1t1e1 12135 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
1917, 18eqtrdi 2794 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2015, 19jaoi 854 . . . 4 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2111, 20sylbi 216 . . 3 ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
229, 21syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
233, 8, 223eqtrd 2782 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  {cpr 4563  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  -cneg 11206  2c2 12028  cz 12319  cexp 13782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783
This theorem is referenced by:  fallrisefac  15735  m1expe  16083  m1expo  16084  m1exp1  16085  gausslemma2d  26522  stirlinglem5  43619
  Copyright terms: Public domain W3C validator