Theorem m1expeven 14257

Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1expeven	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12703	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 12594	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 7438	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑(2 · 𝑁)) = ( -1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		neg1cn 12310	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		neg1ne0 12312	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
6		expaddz 14254	. . . 4 ⊢ ((( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)))
7	4, 5, 6	mpanl12 715	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)))
8	7	anidms 577	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)))
9		m1expcl2 14233	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})
10		ovex 7455	. . . . 5 ⊢ ( -1↑𝑁) ∈ V
11	10	elpr 4605	. . . 4 ⊢ (( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1} ↔ (( -1↑𝑁) = -1 ∨ ( -1↑𝑁) = 1))
12		oveq12 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∧ ( -1↑𝑁) = -1) → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = ( -1 · -1))
13	12	anidms 577	. . . . . 6 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = ( -1 · -1))
14		neg1mulneg1e1 12563	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · -1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (( -1↑𝑁) = -1 → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
16		oveq12 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((( -1↑𝑁) = 1 ∧ ( -1↑𝑁) = 1) → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = (1 · 1))
17	16	anidms 577	. . . . . 6 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = (1 · 1))
18		1t1e1 12509	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (( -1↑𝑁) = 1 → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
20	15, 19	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((( -1↑𝑁) = -1 ∨ ( -1↑𝑁) = 1) → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
21	11, 20	sylbi 220	. . 3 ⊢ (( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1} → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
22	9, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
23	3, 8, 22	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑(2 · 𝑁)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {cpr 4586  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   -cneg 11547  2c2 12402  ℤcz 12698  ↑cexp 14209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-seq 14150  df-exp 14210

This theorem is used by:  fallrisefac  16199  m1expe  16551  m1expo  16552  m1exp1  16553  gausslemma2d  27708  stirlinglem5  47195