MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expeven 14106
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 12593 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
212timesd 12485 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
32oveq2d 7432 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)))
4 neg1cn 12356 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
5 neg1ne0 12358 . . . 4 -1 โ‰  0
6 expaddz 14103 . . . 4 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
74, 5, 6mpanl12 700 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
87anidms 565 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
9 m1expcl2 14082 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
10 ovex 7449 . . . . 5 (-1โ†‘๐‘) โˆˆ V
1110elpr 4648 . . . 4 ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1} โ†” ((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘) = 1))
12 oveq12 7425 . . . . . . 7 (((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆง (-1โ†‘๐‘) = -1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (-1 ยท -1))
1312anidms 565 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘) = -1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (-1 ยท -1))
14 neg1mulneg1e1 12455 . . . . . 6 (-1 ยท -1) = 1
1513, 14eqtrdi 2781 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘) = -1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
16 oveq12 7425 . . . . . . 7 (((-1โ†‘๐‘) = 1 โˆง (-1โ†‘๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (1 ยท 1))
1716anidms 565 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (1 ยท 1))
18 1t1e1 12404 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
1917, 18eqtrdi 2781 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
2015, 19jaoi 855 . . . 4 (((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
2111, 20sylbi 216 . . 3 ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
229, 21syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
233, 8, 223eqtrd 2769 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  {cpr 4626  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  -cneg 11475  2c2 12297  โ„คcz 12588  โ†‘cexp 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059
This theorem is referenced by:  fallrisefac  16001  m1expe  16350  m1expo  16351  m1exp1  16352  gausslemma2d  27325  stirlinglem5  45529
  Copyright terms: Public domain W3C validator