Theorem oddpwp1fsum 16338

Description: An odd power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwp1fsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
oddpwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
oddpwp1fsum	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem oddpwp1fsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwp1fsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
2		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		oddm1even 16289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
7		m1expe 16320	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ (𝑁 − 1) → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
9	8	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) = (1 · (𝐴↑𝑁)))
10	9	oveq1d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1))
11		pwp1fsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 2	pwp1fsum 16337	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
13	2	nnnn0d 12479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	11, 13	expcld 14087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
16	15	oveq1d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴↑𝑁) + 1))
17	10, 12, 16	3eqtr3rd 2773	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382  ℕcn 12162  2c2 12217  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ↑cexp 14002  Σcsu 15628   ∥ cdvds 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-dvds 16199

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  47583  lighneallem4  47584