Theorem oddpwp1fsum 15830

Description: An odd power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwp1fsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
oddpwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
oddpwp1fsum	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem oddpwp1fsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwp1fsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
2		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		oddm1even 15781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
6	1, 5	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
7		m1expe 15812	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ (𝑁 − 1) → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
9	8	oveq1d 7179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) = (1 · (𝐴↑𝑁)))
10	9	oveq1d 7179	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1))
11		pwp1fsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 2	pwp1fsum 15829	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
13	2	nnnn0d 12029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	11, 13	expcld 13595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
15	14	mulid2d 10730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
16	15	oveq1d 7179	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴↑𝑁) + 1))
17	10, 12, 16	3eqtr3rd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613   − cmin 10941  -cneg 10942  ℕcn 11709  2c2 11764  ℤcz 12055  ...cfz 12974  ↑cexp 13514  Σcsu 15128   ∥ cdvds 15692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-sum 15129  df-dvds 15693

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  44579  lighneallem4  44580