Theorem oddpwp1fsum 16354

Description: An odd power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwp1fsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
oddpwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
oddpwp1fsum	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem oddpwp1fsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwp1fsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
2		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		oddm1even 16305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
6	1, 5	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
7		m1expe 16336	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ (𝑁 − 1) → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
9	8	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) = (1 · (𝐴↑𝑁)))
10	9	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1))
11		pwp1fsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 2	pwp1fsum 16353	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
13	2	nnnn0d 12548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	11, 13	expcld 14128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
16	15	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴↑𝑁) + 1))
17	10, 12, 16	3eqtr3rd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11460  -cneg 11461  ℕcn 12228  2c2 12283  ℤcz 12574  ...cfz 13502  ↑cexp 14044  Σcsu 15650   ∥ cdvds 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-dvds 16217

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  46862  lighneallem4  46863