MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddpwp1fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddpwp1fsum 16363
Description: An odd power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwp1fsum.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
pwp1fsum.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
oddpwp1fsum.n (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
oddpwp1fsum (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + 1) = ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem oddpwp1fsum
StepHypRef Expression
1 oddpwp1fsum.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
2 pwp1fsum.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12610 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 oddm1even 16314 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
61, 5mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
7 m1expe 16345 . . . . 5 (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = 1)
86, 7syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = 1)
98oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
109oveq1d 7428 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1) = ((1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1))
11 pwp1fsum.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1211, 2pwp1fsum 16362 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1) = ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
132nnnn0d 12557 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1411, 13expcld 14137 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
1514mullidd 11257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐ดโ†‘๐‘))
1615oveq1d 7428 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1) = ((๐ดโ†‘๐‘) + 1))
1710, 12, 163eqtr3rd 2774 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + 1) = ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„คcz 12583  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  ฮฃcsu 15659   โˆฅ cdvds 16225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-dvds 16226
This theorem is referenced by:  lighneallem4b  47008  lighneallem4  47009
  Copyright terms: Public domain W3C validator