Theorem oddpwp1fsum 16555

Description: An odd power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwp1fsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
oddpwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
oddpwp1fsum	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem oddpwp1fsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwp1fsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
2		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		oddm1even 16506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
6	1, 5	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
7		m1expe 16537	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ (𝑁 − 1) → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
9	8	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) = (1 · (𝐴↑𝑁)))
10	9	oveq1d 7433	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1))
11		pwp1fsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 2	pwp1fsum 16554	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
13	2	nnnn0d 12660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	11, 13	expcld 14282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
16	15	oveq1d 7433	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴↑𝑁) + 1))
17	10, 12, 16	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  -cneg 11535  ℕcn 12328  2c2 12390  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ↑cexp 14197  Σcsu 15846   ∥ cdvds 16415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-dvds 16416

This theorem is used by:  lighneallem4b  48663  lighneallem4  48664