Theorem oddpwp1fsum 16430

Description: An odd power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwp1fsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
oddpwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
oddpwp1fsum	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem oddpwp1fsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwp1fsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
2		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12642	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		oddm1even 16381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
7		m1expe 16412	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ (𝑁 − 1) → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
9	8	oveq1d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) = (1 · (𝐴↑𝑁)))
10	9	oveq1d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1))
11		pwp1fsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 2	pwp1fsum 16429	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
13	2	nnnn0d 12589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	11, 13	expcld 14187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑𝑁))
16	15	oveq1d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴↑𝑁) + 1))
17	10, 12, 16	3eqtr3rd 2785	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  -cneg 11494  ℕcn 12267  2c2 12322  ℤcz 12615  ...cfz 13548  ↑cexp 14103  Σcsu 15723   ∥ cdvds 16291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292

This theorem is referenced by:  lighneallem4b  47601  lighneallem4  47602