MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expo 15833
Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1expo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expo
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 15799 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 oveq2 7191 . . . . . 6 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
32eqcoms 2747 . . . . 5 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
4 neg1cn 11843 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
6 neg1ne0 11845 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
8 2z 12108 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
119, 10zmulcld 12187 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
125, 7, 11expp1zd 13624 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
13 m1expeven 13581 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
1413oveq1d 7198 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
154mulid2i 10737 . . . . . . . 8 (1 · -1) = -1
1614, 15eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
1712, 16eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
1817adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
193, 18sylan9eqr 2796 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
2019rexlimdva2 3198 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
211, 20sylbid 243 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
2221imp 410 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055   class class class wbr 5040  (class class class)co 7183  cc 10626  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633  -cneg 10962  2c2 11784  cz 12075  cexp 13534  cdvds 15712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-seq 13474  df-exp 13535  df-dvds 15713
This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  26165  negexpidd  40117
  Copyright terms: Public domain W3C validator