![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > m1expo | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
m1expo | โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (-1โ๐) = -1) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | odd2np1 16290 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | |
2 | oveq2 7421 | . . . . . 6 โข (๐ = ((2 ยท ๐) + 1) โ (-1โ๐) = (-1โ((2 ยท ๐) + 1))) | |
3 | 2 | eqcoms 2738 | . . . . 5 โข (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (-1โ๐) = (-1โ((2 ยท ๐) + 1))) |
4 | neg1cn 12332 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ โ | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ -1 โ โ) |
6 | neg1ne0 12334 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ 0 | |
7 | 6 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ -1 โ 0) |
8 | 2z 12600 | . . . . . . . . . 10 โข 2 โ โค | |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ 2 โ โค) |
10 | id 22 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โค) | |
11 | 9, 10 | zmulcld 12678 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ (2 ยท ๐) โ โค) |
12 | 5, 7, 11 | expp1zd 14126 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ (-1โ((2 ยท ๐) + 1)) = ((-1โ(2 ยท ๐)) ยท -1)) |
13 | m1expeven 14081 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ (-1โ(2 ยท ๐)) = 1) | |
14 | 13 | oveq1d 7428 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ ((-1โ(2 ยท ๐)) ยท -1) = (1 ยท -1)) |
15 | 4 | mullidi 11225 | . . . . . . . 8 โข (1 ยท -1) = -1 |
16 | 14, 15 | eqtrdi 2786 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ((-1โ(2 ยท ๐)) ยท -1) = -1) |
17 | 12, 16 | eqtrd 2770 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (-1โ((2 ยท ๐) + 1)) = -1) |
18 | 17 | adantl 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (-1โ((2 ยท ๐) + 1)) = -1) |
19 | 3, 18 | sylan9eqr 2792 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ((2 ยท ๐) + 1) = ๐) โ (-1โ๐) = -1) |
20 | 19 | rexlimdva2 3155 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (-1โ๐) = -1)) |
21 | 1, 20 | sylbid 239 | . 2 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ (-1โ๐) = -1)) |
22 | 21 | imp 405 | 1 โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (-1โ๐) = -1) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ wne 2938 โwrex 3068 class class class wbr 5149 (class class class)co 7413 โcc 11112 0cc0 11114 1c1 11115 + caddc 11117 ยท cmul 11119 -cneg 11451 2c2 12273 โคcz 12564 โcexp 14033 โฅ cdvds 16203 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7729 ax-cnex 11170 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7860 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11452 df-neg 11453 df-div 11878 df-nn 12219 df-2 12281 df-n0 12479 df-z 12565 df-uz 12829 df-seq 13973 df-exp 14034 df-dvds 16204 |
This theorem is referenced by: 2lgsoddprm 27153 negexpidd 41724 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |