Theorem m1expo 16589

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expo	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ( -1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expo

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → ( -1↑𝑁) = ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)))
3	2	eqcoms 2771	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ( -1↑𝑁) = ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)))
4		neg1cn 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
6		neg1ne0 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
8		2z 12768	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
11	9, 10	zmulcld 12849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
12	5, 7, 11	expp1zd 14338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)) = (( -1↑(2 · 𝑛)) · -1))
13		m1expeven 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑(2 · 𝑛)) = 1)
14	13	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (( -1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
15	4	mullidi 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · -1) = -1
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (( -1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
17	12, 16	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
19	3, 18	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → ( -1↑𝑁) = -1)
20	19	rexlimdva2 3169	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ( -1↑𝑁) = -1))
21	1, 20	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ( -1↑𝑁) = -1))
22	21	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ( -1↑𝑁) = -1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   -cneg 11581  2c2 12437  ℤcz 12733  ↑cexp 14244   ∥ cdvds 16466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245  df-dvds 16467

This theorem is used by:  2lgsoddprm  27800  cos9thpiminplylem1  34525  negexpidd  43958