Theorem m1expo 16286

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1expo	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expo

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
3	2	eqcoms 2739	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
4		neg1cn 12110	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
6		neg1ne0 12112	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
8		2z 12504	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
10		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
11	9, 10	zmulcld 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
12	5, 7, 11	expp1zd 14062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
13		m1expeven 14016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
14	13	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
15	4	mullidi 11117	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · -1) = -1
16	14, 15	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
17	12, 16	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
19	3, 18	sylan9eqr 2788	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
20	19	rexlimdva2 3135	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
21	1, 20	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
22	21	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  -cneg 11345  2c2 12180  ℤcz 12468  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  27355  cos9thpiminplylem1  33793  negexpidd  42721