Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > m1expo | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 26-Jun-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
m1expo | โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (-1โ๐) = -1) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | odd2np1 16158 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐)) | |
2 | oveq2 7358 | . . . . . 6 โข (๐ = ((2 ยท ๐) + 1) โ (-1โ๐) = (-1โ((2 ยท ๐) + 1))) | |
3 | 2 | eqcoms 2746 | . . . . 5 โข (((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (-1โ๐) = (-1โ((2 ยท ๐) + 1))) |
4 | neg1cn 12201 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ โ | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ -1 โ โ) |
6 | neg1ne0 12203 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ 0 | |
7 | 6 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ -1 โ 0) |
8 | 2z 12466 | . . . . . . . . . 10 โข 2 โ โค | |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ 2 โ โค) |
10 | id 22 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โค) | |
11 | 9, 10 | zmulcld 12546 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ (2 ยท ๐) โ โค) |
12 | 5, 7, 11 | expp1zd 13987 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ (-1โ((2 ยท ๐) + 1)) = ((-1โ(2 ยท ๐)) ยท -1)) |
13 | m1expeven 13944 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ (-1โ(2 ยท ๐)) = 1) | |
14 | 13 | oveq1d 7365 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ ((-1โ(2 ยท ๐)) ยท -1) = (1 ยท -1)) |
15 | 4 | mulid2i 11094 | . . . . . . . 8 โข (1 ยท -1) = -1 |
16 | 14, 15 | eqtrdi 2794 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ((-1โ(2 ยท ๐)) ยท -1) = -1) |
17 | 12, 16 | eqtrd 2778 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (-1โ((2 ยท ๐) + 1)) = -1) |
18 | 17 | adantl 483 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (-1โ((2 ยท ๐) + 1)) = -1) |
19 | 3, 18 | sylan9eqr 2800 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ((2 ยท ๐) + 1) = ๐) โ (-1โ๐) = -1) |
20 | 19 | rexlimdva2 3153 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (โ๐ โ โค ((2 ยท ๐) + 1) = ๐ โ (-1โ๐) = -1)) |
21 | 1, 20 | sylbid 239 | . 2 โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ (-1โ๐) = -1)) |
22 | 21 | imp 408 | 1 โข ((๐ โ โค โง ยฌ 2 โฅ ๐) โ (-1โ๐) = -1) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2942 โwrex 3072 class class class wbr 5104 (class class class)co 7350 โcc 10983 0cc0 10985 1c1 10986 + caddc 10988 ยท cmul 10990 -cneg 11320 2c2 12142 โคcz 12433 โcexp 13896 โฅ cdvds 16071 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2709 ax-sep 5255 ax-nul 5262 ax-pow 5319 ax-pr 5383 ax-un 7663 ax-cnex 11041 ax-resscn 11042 ax-1cn 11043 ax-icn 11044 ax-addcl 11045 ax-addrcl 11046 ax-mulcl 11047 ax-mulrcl 11048 ax-mulcom 11049 ax-addass 11050 ax-mulass 11051 ax-distr 11052 ax-i2m1 11053 ax-1ne0 11054 ax-1rid 11055 ax-rnegex 11056 ax-rrecex 11057 ax-cnre 11058 ax-pre-lttri 11059 ax-pre-lttrn 11060 ax-pre-ltadd 11061 ax-pre-mulgt0 11062 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3064 df-rex 3073 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3739 df-csb 3855 df-dif 3912 df-un 3914 df-in 3916 df-ss 3926 df-pss 3928 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4865 df-iun 4955 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5188 df-tr 5222 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6250 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6444 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7306 df-ov 7353 df-oprab 7354 df-mpo 7355 df-om 7794 df-2nd 7913 df-frecs 8180 df-wrecs 8211 df-recs 8285 df-rdg 8324 df-er 8582 df-en 8818 df-dom 8819 df-sdom 8820 df-pnf 11125 df-mnf 11126 df-xr 11127 df-ltxr 11128 df-le 11129 df-sub 11321 df-neg 11322 df-div 11747 df-nn 12088 df-2 12150 df-n0 12348 df-z 12434 df-uz 12697 df-seq 13836 df-exp 13897 df-dvds 16072 |
This theorem is referenced by: 2lgsoddprm 26686 negexpidd 40839 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |