Theorem nnge1d 12205

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12185	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  1c1 11039   ≤ cle 11179  ℕcn 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158

This theorem is referenced by:  bernneq3  14166  facwordi  14224  faclbnd  14225  faclbnd3  14227  faclbnd4lem3  14230  facavg  14236  hashge1  14324  seqcoll  14399  wrdind  14657  wrd2ind  14658  eftlub  16046  eflegeo  16058  eirrlem  16141  divdenle  16688  eulerthlem2  16721  infpnlem2  16851  4sqlem11  16895  4sqlem12  16896  prmolefac  16986  2expltfac  17032  cshwshash  17044  fislw  19566  gzrngunitlem  21399  psdmul  22121  ovoliunlem1  25471  aalioulem2  26309  aalioulem4  26311  aalioulem5  26312  aaliou2b  26317  aaliou3lem2  26319  aaliou3lem8  26321  lgamgulmlem5  27011  vmage0  27099  chpge0  27104  vma1  27144  sqff1o  27160  fsumfldivdiaglem  27167  vmalelog  27184  chtublem  27190  fsumvma2  27193  chpchtsum  27198  logfacubnd  27200  perfectlem2  27209  dchrelbas4  27222  bposlem1  27263  bposlem2  27264  bposlem5  27267  lgsdir  27311  lgsdilem2  27312  lgseisenlem1  27354  2sqlem8  27405  chebbnd1lem1  27448  chebbnd1lem2  27449  chebbnd1lem3  27450  dchrisumlem3  27470  dchrisum0flblem1  27487  dchrisum0lem1b  27494  dirith2  27507  selbergb  27528  selberg3lem2  27537  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bnd  27563  pntpbnd1a  27564  pntlemj  27582  pntlemk  27585  nexple  32935  mplmulmvr  33715  esplyind  33751  submateqlem2  33985  plymulx0  34724  hgt750lemb  34833  poimirlem7  37875  poimirlem19  37887  poimirlem28  37896  lcmineqlem10  42405  lcmineqlem11  42406  lcmineqlem13  42408  lcmineqlem19  42414  lcmineqlem20  42415  aks4d1p1p2  42437  aks4d1p3  42445  aks4d1p5  42447  aks4d1p6  42448  aks4d1p8  42454  aks4d1p9  42455  posbezout  42467  primrootspoweq0  42473  hashscontpow1  42488  aks6d1c2lem4  42494  sticksstones6  42518  sticksstones7  42519  sticksstones10  42522  sticksstones12a  42524  sticksstones12  42525  aks6d1c6lem4  42540  aks6d1c7lem2  42548  grpods  42561  unitscyglem2  42563  unitscyglem4  42565  unitscyglem5  42566  fimgmcyc  42901  flt4lem7  43014  diophin  43126  irrapxlem4  43179  irrapxlem5  43180  pellexlem2  43184  pell14qrgapw  43230  pellfundgt1  43237  ltrmynn0  43302  jm2.27c  43361  jm3.1lem2  43372  fzisoeu  45659  fmuldfeq  45940  stoweidlem3  46358  stoweidlem20  46375  stoweidlem42  46397  stoweidlem51  46406  stoweidlem59  46414  stirlinglem8  46436  fourierdlem11  46473  fourierdlem41  46503  fourierdlem48  46509  fourierdlem79  46540  etransclem23  46612  etransclem28  46617  etransclem35  46624  etransclem38  46627  etransclem44  46633  etransc  46638  hoicvrrex  46911  iccpartlt  47781  lighneallem4a  47965  perfectALTVlem2  48079