Theorem nnge1d 12257

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  1c1 11108   ≤ cle 11246  ℕcn 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210

This theorem is referenced by:  bernneq3  14191  facwordi  14246  faclbnd  14247  faclbnd3  14249  faclbnd4lem3  14252  facavg  14258  hashge1  14346  seqcoll  14422  wrdind  14669  wrd2ind  14670  eftlub  16049  eflegeo  16061  eirrlem  16144  divdenle  16682  eulerthlem2  16712  infpnlem2  16841  4sqlem11  16885  4sqlem12  16886  prmolefac  16976  2expltfac  17023  cshwshash  17035  fislw  19488  gzrngunitlem  21003  ovoliunlem1  25011  aalioulem2  25838  aalioulem4  25840  aalioulem5  25841  aaliou2b  25846  aaliou3lem2  25848  aaliou3lem8  25850  lgamgulmlem5  26527  vmage0  26615  chpge0  26620  vma1  26660  sqff1o  26676  fsumfldivdiaglem  26683  vmalelog  26698  chtublem  26704  fsumvma2  26707  chpchtsum  26712  logfacubnd  26714  perfectlem2  26723  dchrelbas4  26736  bposlem1  26777  bposlem2  26778  bposlem5  26781  lgsdir  26825  lgsdilem2  26826  lgseisenlem1  26868  2sqlem8  26919  chebbnd1lem1  26962  chebbnd1lem2  26963  chebbnd1lem3  26964  dchrisumlem3  26984  dchrisum0flblem1  27001  dchrisum0lem1b  27008  dirith2  27021  selbergb  27042  selberg3lem2  27051  pntrlog2bndlem1  27070  pntrlog2bndlem3  27072  pntrlog2bndlem4  27073  pntrlog2bndlem5  27074  pntrlog2bnd  27077  pntpbnd1a  27078  pntlemj  27096  pntlemk  27099  submateqlem2  32777  nexple  32996  plymulx0  33547  hgt750lemb  33657  poimirlem7  36484  poimirlem19  36496  poimirlem28  36505  lcmineqlem10  40892  lcmineqlem11  40893  lcmineqlem13  40895  lcmineqlem19  40901  lcmineqlem20  40902  aks4d1p1p2  40924  aks4d1p3  40932  aks4d1p5  40934  aks4d1p6  40935  aks4d1p8  40941  aks4d1p9  40942  sticksstones6  40956  sticksstones7  40957  sticksstones10  40960  sticksstones12a  40962  sticksstones12  40963  metakunt1  40974  metakunt2  40975  metakunt5  40978  metakunt10  40983  metakunt16  40989  metakunt21  40994  metakunt24  40997  metakunt26  40999  metakunt28  41001  metakunt29  41002  flt4lem7  41398  diophin  41496  irrapxlem4  41549  irrapxlem5  41550  pellexlem2  41554  pell14qrgapw  41600  pellfundgt1  41607  ltrmynn0  41673  jm2.27c  41732  jm3.1lem2  41743  fzisoeu  43997  fmuldfeq  44286  stoweidlem3  44706  stoweidlem20  44723  stoweidlem42  44745  stoweidlem51  44754  stoweidlem59  44762  stirlinglem8  44784  fourierdlem11  44821  fourierdlem41  44851  fourierdlem48  44857  fourierdlem79  44888  etransclem23  44960  etransclem28  44965  etransclem35  44972  etransclem38  44975  etransclem44  44981  etransc  44986  hoicvrrex  45259  iccpartlt  46079  lighneallem4a  46263  perfectALTVlem2  46377