MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnge1d 11682
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnge1d (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnge1 11662 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115   class class class wbr 5052  1c1 10536  cle 10674  cn 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635
This theorem is referenced by:  bernneq3  13597  facwordi  13654  faclbnd  13655  faclbnd3  13657  faclbnd4lem3  13660  facavg  13666  hashge1  13755  seqcoll  13827  wrdind  14084  wrd2ind  14085  eftlub  15462  eflegeo  15474  eirrlem  15557  divdenle  16087  eulerthlem2  16117  infpnlem2  16245  4sqlem11  16289  4sqlem12  16290  prmolefac  16380  2expltfac  16426  cshwshash  16438  fislw  18750  gzrngunitlem  20212  ovoliunlem1  24112  aalioulem2  24935  aalioulem4  24937  aalioulem5  24938  aaliou2b  24943  aaliou3lem2  24945  aaliou3lem8  24947  lgamgulmlem5  25624  vmage0  25712  chpge0  25717  vma1  25757  sqff1o  25773  fsumfldivdiaglem  25780  vmalelog  25795  chtublem  25801  fsumvma2  25804  chpchtsum  25809  logfacubnd  25811  perfectlem2  25820  dchrelbas4  25833  bposlem1  25874  bposlem2  25875  bposlem5  25878  lgsdir  25922  lgsdilem2  25923  lgseisenlem1  25965  2sqlem8  26016  chebbnd1lem1  26059  chebbnd1lem2  26060  chebbnd1lem3  26061  dchrisumlem3  26081  dchrisum0flblem1  26098  dchrisum0lem1b  26105  dirith2  26118  selbergb  26139  selberg3lem2  26148  pntrlog2bndlem1  26167  pntrlog2bndlem3  26169  pntrlog2bndlem4  26170  pntrlog2bndlem5  26171  pntrlog2bnd  26174  pntpbnd1a  26175  pntlemj  26193  pntlemk  26196  submateqlem2  31136  nexple  31328  plymulx0  31877  hgt750lemb  31987  poimirlem7  35012  poimirlem19  35024  poimirlem28  35033  lcmineqlem10  39277  lcmineqlem11  39278  lcmineqlem13  39280  lcmineqlem19  39286  lcmineqlem20  39287  3lexlogpow5ineq3  39294  metakunt1  39299  metakunt2  39300  metakunt5  39303  metakunt10  39308  metakunt16  39314  metakunt21  39319  metakunt24  39322  diophin  39633  irrapxlem4  39686  irrapxlem5  39687  pellexlem2  39691  pell14qrgapw  39737  pellfundgt1  39744  ltrmynn0  39809  jm2.27c  39868  jm3.1lem2  39879  fzisoeu  41862  fmuldfeq  42155  stoweidlem3  42575  stoweidlem20  42592  stoweidlem42  42614  stoweidlem51  42623  stoweidlem59  42631  stirlinglem8  42653  fourierdlem11  42690  fourierdlem41  42720  fourierdlem48  42726  fourierdlem79  42757  etransclem23  42829  etransclem28  42834  etransclem35  42841  etransclem38  42844  etransclem44  42850  etransc  42855  hoicvrrex  43125  iccpartlt  43871  lighneallem4a  44056  perfectALTVlem2  44170
  Copyright terms: Public domain W3C validator