Theorem nnge1d 12216

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  1c1 11030   ≤ cle 11171  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  bernneq3  14184  facwordi  14242  faclbnd  14243  faclbnd3  14245  faclbnd4lem3  14248  facavg  14254  hashge1  14342  seqcoll  14417  wrdind  14675  wrd2ind  14676  eftlub  16067  eflegeo  16079  eirrlem  16162  divdenle  16710  eulerthlem2  16743  infpnlem2  16873  4sqlem11  16917  4sqlem12  16918  prmolefac  17008  2expltfac  17054  cshwshash  17066  fislw  19591  gzrngunitlem  21407  psdmul  22154  ovoliunlem1  25487  aalioulem2  26317  aalioulem4  26319  aalioulem5  26320  aaliou2b  26325  aaliou3lem2  26327  aaliou3lem8  26329  lgamgulmlem5  27014  vmage0  27102  chpge0  27107  vma1  27147  sqff1o  27163  fsumfldivdiaglem  27170  vmalelog  27186  chtublem  27192  fsumvma2  27195  chpchtsum  27200  logfacubnd  27202  perfectlem2  27211  dchrelbas4  27224  bposlem1  27265  bposlem2  27266  bposlem5  27269  lgsdir  27313  lgsdilem2  27314  lgseisenlem1  27356  2sqlem8  27407  chebbnd1lem1  27450  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  dchrisumlem3  27472  dchrisum0flblem1  27489  dchrisum0lem1b  27496  dirith2  27509  selbergb  27530  selberg3lem2  27539  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntlemj  27584  pntlemk  27587  nexple  32936  mplmulmvr  33723  esplyind  33759  submateqlem2  33992  plymulx0  34731  hgt750lemb  34840  poimirlem7  37994  poimirlem19  38006  poimirlem28  38015  lcmineqlem10  42523  lcmineqlem11  42524  lcmineqlem13  42526  lcmineqlem19  42532  lcmineqlem20  42533  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p3  42563  aks4d1p5  42565  aks4d1p6  42566  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  posbezout  42585  primrootspoweq0  42591  hashscontpow1  42606  aks6d1c2lem4  42612  sticksstones6  42636  sticksstones7  42637  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  aks6d1c6lem4  42658  aks6d1c7lem2  42666  grpods  42679  unitscyglem2  42681  unitscyglem4  42683  unitscyglem5  42684  fimgmcyc  43020  flt4lem7  43109  diophin  43221  irrapxlem4  43270  irrapxlem5  43271  pellexlem2  43275  pell14qrgapw  43321  pellfundgt1  43328  ltrmynn0  43393  jm2.27c  43452  jm3.1lem2  43463  fzisoeu  45748  fmuldfeq  46028  stoweidlem3  46446  stoweidlem20  46463  stoweidlem42  46485  stoweidlem51  46494  stoweidlem59  46502  stirlinglem8  46524  fourierdlem11  46561  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem79  46628  etransclem23  46700  etransclem28  46705  etransclem35  46712  etransclem38  46715  etransclem44  46721  etransc  46726  hoicvrrex  46999  iccpartlt  47899  lighneallem4a  48086  perfectALTVlem2  48213