Theorem nnge1d 12390

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  1c1 11205   ≤ cle 11348  ℕcn 12339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340

This theorem is used by:  bernneq3  14379  facwordi  14437  faclbnd  14438  faclbnd3  14440  faclbnd4lem3  14443  facavg  14449  hashge1  14537  seqcoll  14613  wrdind  14876  wrd2ind  14877  eftlub  16283  eflegeo  16295  eirrlem  16378  divdenle  16931  eulerthlem2  16965  infpnlem2  17095  4sqlem11  17139  4sqlem12  17140  prmolefac  17230  2expltfac  17276  cshwshash  17288  fislw  19845  gzrngunitlem  21744  psdmul  22493  ovoliunlem1  25829  plyn0mulidp  26608  aalioulem2  26666  aalioulem4  26668  aalioulem5  26669  aaliou2b  26674  aaliou3lem2  26676  aaliou3lem8  26678  lgamgulmlem5  27366  vmage0  27454  chpge0  27459  vma1  27499  sqff1o  27515  fsumfldivdiaglem  27522  vmalelog  27538  chtublem  27544  fsumvma2  27547  chpchtsum  27552  logfacubnd  27554  perfectlem2  27563  dchrelbas4  27576  bposlem1  27617  bposlem2  27618  bposlem5  27621  lgsdir  27665  lgsdilem2  27666  lgseisenlem1  27708  2sqlem8  27759  chebbnd1lem1  27802  chebbnd1lem2  27803  chebbnd1lem3  27804  dchrisumlem3  27824  dchrisum0flblem1  27841  dchrisum0lem1b  27848  dirith2  27861  selbergb  27882  selberg3lem2  27891  pntrlog2bndlem1  27910  pntrlog2bndlem3  27912  pntrlog2bndlem4  27913  pntrlog2bndlem5  27914  pntrlog2bnd  27917  pntpbnd1a  27918  pntlemj  27936  pntlemk  27939  flt4lem7  27995  nexple  33471  mplmulmvr  34218  esplyind  34254  submateqlem2  34487  hgt750lemb  35332  poimirlem7  38639  poimirlem19  38651  poimirlem28  38660  lcmineqlem10  43182  lcmineqlem11  43183  lcmineqlem13  43185  lcmineqlem19  43191  lcmineqlem20  43192  aks4d1p1p2  43214  aks4d1p3  43222  aks4d1p5  43224  aks4d1p6  43225  aks4d1p8  43231  aks4d1p9  43232  posbezout  43244  primrootspoweq0  43250  hashscontpow1  43265  aks6d1c2lem4  43271  sticksstones6  43295  sticksstones7  43296  sticksstones10  43299  sticksstones12a  43301  sticksstones12  43302  aks6d1c6lem4  43317  aks6d1c7lem2  43325  grpods  43338  unitscyglem2  43340  unitscyglem4  43342  unitscyglem5  43343  fimgmcyc  43692  diophin  43877  irrapxlem4  43926  irrapxlem5  43927  pellexlem2  43931  pell14qrgapw  43977  pellfundgt1  43984  ltrmynn0  44049  jm2.27c  44108  jm3.1lem2  44119  fzisoeu  46410  fmuldfeq  46689  stoweidlem3  47107  stoweidlem20  47124  stoweidlem42  47146  stoweidlem51  47155  stoweidlem59  47163  stirlinglem8  47185  fourierdlem11  47222  fourierdlem41  47252  fourierdlem48  47258  fourierdlem79  47289  etransclem23  47361  etransclem28  47366  etransclem35  47373  etransclem38  47376  etransclem44  47382  etransc  47387  hoicvrrex  47660  iccpartlt  48600  lighneallem4a  48787  perfectALTVlem2  48914