Theorem nnge1d 11677

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 11657	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  1c1 10530   ≤ cle 10668  ℕcn 11630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631

This theorem is referenced by:  bernneq3  13584  facwordi  13641  faclbnd  13642  faclbnd3  13644  faclbnd4lem3  13647  facavg  13653  hashge1  13742  seqcoll  13814  wrdind  14076  wrd2ind  14077  eftlub  15454  eflegeo  15466  eirrlem  15549  divdenle  16081  eulerthlem2  16111  infpnlem2  16239  4sqlem11  16283  4sqlem12  16284  prmolefac  16374  2expltfac  16418  cshwshash  16430  fislw  18742  gzrngunitlem  20602  ovoliunlem1  24095  aalioulem2  24914  aalioulem4  24916  aalioulem5  24917  aaliou2b  24922  aaliou3lem2  24924  aaliou3lem8  24926  lgamgulmlem5  25602  vmage0  25690  chpge0  25695  vma1  25735  sqff1o  25751  fsumfldivdiaglem  25758  vmalelog  25773  chtublem  25779  fsumvma2  25782  chpchtsum  25787  logfacubnd  25789  perfectlem2  25798  dchrelbas4  25811  bposlem1  25852  bposlem2  25853  bposlem5  25856  lgsdir  25900  lgsdilem2  25901  lgseisenlem1  25943  2sqlem8  25994  chebbnd1lem1  26037  chebbnd1lem2  26038  chebbnd1lem3  26039  dchrisumlem3  26059  dchrisum0flblem1  26076  dchrisum0lem1b  26083  dirith2  26096  selbergb  26117  selberg3lem2  26126  pntrlog2bndlem1  26145  pntrlog2bndlem3  26147  pntrlog2bndlem4  26148  pntrlog2bndlem5  26149  pntrlog2bnd  26152  pntpbnd1a  26153  pntlemj  26171  pntlemk  26174  submateqlem2  31066  nexple  31261  plymulx0  31810  hgt750lemb  31920  poimirlem7  34891  poimirlem19  34903  poimirlem28  34912  diophin  39359  irrapxlem4  39412  irrapxlem5  39413  pellexlem2  39417  pell14qrgapw  39463  pellfundgt1  39470  ltrmynn0  39535  jm2.27c  39594  jm3.1lem2  39605  fzisoeu  41556  fmuldfeq  41853  stoweidlem3  42278  stoweidlem20  42295  stoweidlem42  42317  stoweidlem51  42326  stoweidlem59  42334  stirlinglem8  42356  fourierdlem11  42393  fourierdlem41  42423  fourierdlem48  42429  fourierdlem79  42460  etransclem23  42532  etransclem28  42537  etransclem35  42544  etransclem38  42547  etransclem44  42553  etransc  42558  hoicvrrex  42828  iccpartlt  43574  lighneallem4a  43763  perfectALTVlem2  43877