Theorem nnge1d 12241

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  1c1 11076   ≤ cle 11216  ℕcn 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194

This theorem is referenced by:  bernneq3  14203  facwordi  14261  faclbnd  14262  faclbnd3  14264  faclbnd4lem3  14267  facavg  14273  hashge1  14361  seqcoll  14436  wrdind  14694  wrd2ind  14695  eftlub  16084  eflegeo  16096  eirrlem  16179  divdenle  16726  eulerthlem2  16759  infpnlem2  16889  4sqlem11  16933  4sqlem12  16934  prmolefac  17024  2expltfac  17070  cshwshash  17082  fislw  19562  gzrngunitlem  21356  psdmul  22060  ovoliunlem1  25410  aalioulem2  26248  aalioulem4  26250  aalioulem5  26251  aaliou2b  26256  aaliou3lem2  26258  aaliou3lem8  26260  lgamgulmlem5  26950  vmage0  27038  chpge0  27043  vma1  27083  sqff1o  27099  fsumfldivdiaglem  27106  vmalelog  27123  chtublem  27129  fsumvma2  27132  chpchtsum  27137  logfacubnd  27139  perfectlem2  27148  dchrelbas4  27161  bposlem1  27202  bposlem2  27203  bposlem5  27206  lgsdir  27250  lgsdilem2  27251  lgseisenlem1  27293  2sqlem8  27344  chebbnd1lem1  27387  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1lem3  27389  dchrisumlem3  27409  dchrisum0flblem1  27426  dchrisum0lem1b  27433  dirith2  27446  selbergb  27467  selberg3lem2  27476  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1a  27503  pntlemj  27521  pntlemk  27524  nexple  32776  submateqlem2  33805  plymulx0  34545  hgt750lemb  34654  poimirlem7  37628  poimirlem19  37640  poimirlem28  37649  lcmineqlem10  42033  lcmineqlem11  42034  lcmineqlem13  42036  lcmineqlem19  42042  lcmineqlem20  42043  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p3  42073  aks4d1p5  42075  aks4d1p6  42076  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  posbezout  42095  primrootspoweq0  42101  hashscontpow1  42116  aks6d1c2lem4  42122  sticksstones6  42146  sticksstones7  42147  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  aks6d1c6lem4  42168  aks6d1c7lem2  42176  grpods  42189  unitscyglem2  42191  unitscyglem4  42193  unitscyglem5  42194  fimgmcyc  42529  flt4lem7  42654  diophin  42767  irrapxlem4  42820  irrapxlem5  42821  pellexlem2  42825  pell14qrgapw  42871  pellfundgt1  42878  ltrmynn0  42944  jm2.27c  43003  jm3.1lem2  43014  fzisoeu  45305  fmuldfeq  45588  stoweidlem3  46008  stoweidlem20  46025  stoweidlem42  46047  stoweidlem51  46056  stoweidlem59  46064  stirlinglem8  46086  fourierdlem11  46123  fourierdlem41  46153  fourierdlem48  46159  fourierdlem79  46190  etransclem23  46262  etransclem28  46267  etransclem35  46274  etransclem38  46277  etransclem44  46283  etransc  46288  hoicvrrex  46561  iccpartlt  47429  lighneallem4a  47613  perfectALTVlem2  47727