Theorem nnge1d 12312

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  1c1 11129   ≤ cle 11272  ℕcn 12261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262

This theorem is used by:  bernneq3  14299  facwordi  14357  faclbnd  14358  faclbnd3  14360  faclbnd4lem3  14363  facavg  14369  hashge1  14457  seqcoll  14533  wrdind  14795  wrd2ind  14796  eftlub  16203  eflegeo  16215  eirrlem  16298  divdenle  16846  eulerthlem2  16879  infpnlem2  17009  4sqlem11  17053  4sqlem12  17054  prmolefac  17144  2expltfac  17190  cshwshash  17202  fislw  19758  gzrngunitlem  21651  psdmul  22400  ovoliunlem1  25736  plyn0mulidp  26518  aalioulem2  26576  aalioulem4  26578  aalioulem5  26579  aaliou2b  26584  aaliou3lem2  26586  aaliou3lem8  26588  lgamgulmlem5  27277  vmage0  27365  chpge0  27370  vma1  27410  sqff1o  27426  fsumfldivdiaglem  27433  vmalelog  27449  chtublem  27455  fsumvma2  27458  chpchtsum  27463  logfacubnd  27465  perfectlem2  27474  dchrelbas4  27487  bposlem1  27528  bposlem2  27529  bposlem5  27532  lgsdir  27576  lgsdilem2  27577  lgseisenlem1  27619  2sqlem8  27670  chebbnd1lem1  27713  chebbnd1lem2  27714  chebbnd1lem3  27715  dchrisumlem3  27735  dchrisum0flblem1  27752  dchrisum0lem1b  27759  dirith2  27772  selbergb  27793  selberg3lem2  27802  pntrlog2bndlem1  27821  pntrlog2bndlem3  27823  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem5  27825  pntrlog2bnd  27828  pntpbnd1a  27829  pntlemj  27847  pntlemk  27850  nexple  33311  mplmulmvr  34057  esplyind  34093  submateqlem2  34326  hgt750lemb  35172  poimirlem7  38384  poimirlem19  38396  poimirlem28  38405  lcmineqlem10  42912  lcmineqlem11  42913  lcmineqlem13  42915  lcmineqlem19  42921  lcmineqlem20  42922  aks4d1p1p2  42944  aks4d1p3  42952  aks4d1p5  42954  aks4d1p6  42955  aks4d1p8  42961  aks4d1p9  42962  posbezout  42974  primrootspoweq0  42980  hashscontpow1  42995  aks6d1c2lem4  43001  sticksstones6  43025  sticksstones7  43026  sticksstones10  43029  sticksstones12a  43031  sticksstones12  43032  aks6d1c6lem4  43047  aks6d1c7lem2  43055  grpods  43068  unitscyglem2  43070  unitscyglem4  43072  unitscyglem5  43073  fimgmcyc  43424  flt4lem7  43513  diophin  43625  irrapxlem4  43674  irrapxlem5  43675  pellexlem2  43679  pell14qrgapw  43725  pellfundgt1  43732  ltrmynn0  43797  jm2.27c  43856  jm3.1lem2  43867  fzisoeu  46141  fmuldfeq  46421  stoweidlem3  46839  stoweidlem20  46856  stoweidlem42  46878  stoweidlem51  46887  stoweidlem59  46895  stirlinglem8  46917  fourierdlem11  46954  fourierdlem41  46984  fourierdlem48  46990  fourierdlem79  47021  etransclem23  47093  etransclem28  47098  etransclem35  47105  etransclem38  47108  etransclem44  47114  etransc  47119  hoicvrrex  47392  iccpartlt  48332  lighneallem4a  48519  perfectALTVlem2  48646