Theorem nnge1d 12379

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12359	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  1c1 11194   ≤ cle 11337  ℕcn 12328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329

This theorem is used by:  bernneq3  14368  facwordi  14426  faclbnd  14427  faclbnd3  14429  faclbnd4lem3  14432  facavg  14438  hashge1  14526  seqcoll  14602  wrdind  14864  wrd2ind  14865  eftlub  16270  eflegeo  16282  eirrlem  16365  divdenle  16918  eulerthlem2  16952  infpnlem2  17082  4sqlem11  17126  4sqlem12  17127  prmolefac  17217  2expltfac  17263  cshwshash  17275  fislw  19832  gzrngunitlem  21731  psdmul  22480  ovoliunlem1  25816  plyn0mulidp  26595  aalioulem2  26653  aalioulem4  26655  aalioulem5  26656  aaliou2b  26661  aaliou3lem2  26663  aaliou3lem8  26665  lgamgulmlem5  27353  vmage0  27441  chpge0  27446  vma1  27486  sqff1o  27502  fsumfldivdiaglem  27509  vmalelog  27525  chtublem  27531  fsumvma2  27534  chpchtsum  27539  logfacubnd  27541  perfectlem2  27550  dchrelbas4  27563  bposlem1  27604  bposlem2  27605  bposlem5  27608  lgsdir  27652  lgsdilem2  27653  lgseisenlem1  27695  2sqlem8  27746  chebbnd1lem1  27789  chebbnd1lem2  27790  chebbnd1lem3  27791  dchrisumlem3  27811  dchrisum0flblem1  27828  dchrisum0lem1b  27835  dirith2  27848  selbergb  27869  selberg3lem2  27878  pntrlog2bndlem1  27897  pntrlog2bndlem3  27899  pntrlog2bndlem4  27900  pntrlog2bndlem5  27901  pntrlog2bnd  27904  pntpbnd1a  27905  pntlemj  27923  pntlemk  27926  flt4lem7  27982  nexple  33417  mplmulmvr  34164  esplyind  34200  submateqlem2  34433  hgt750lemb  35278  poimirlem7  38525  poimirlem19  38537  poimirlem28  38546  lcmineqlem10  43068  lcmineqlem11  43069  lcmineqlem13  43071  lcmineqlem19  43077  lcmineqlem20  43078  aks4d1p1p2  43100  aks4d1p3  43108  aks4d1p5  43110  aks4d1p6  43111  aks4d1p8  43117  aks4d1p9  43118  posbezout  43130  primrootspoweq0  43136  hashscontpow1  43151  aks6d1c2lem4  43157  sticksstones6  43181  sticksstones7  43182  sticksstones10  43185  sticksstones12a  43187  sticksstones12  43188  aks6d1c6lem4  43203  aks6d1c7lem2  43211  grpods  43224  unitscyglem2  43226  unitscyglem4  43228  unitscyglem5  43229  fimgmcyc  43578  diophin  43762  irrapxlem4  43811  irrapxlem5  43812  pellexlem2  43816  pell14qrgapw  43862  pellfundgt1  43869  ltrmynn0  43934  jm2.27c  43993  jm3.1lem2  44004  fzisoeu  46285  fmuldfeq  46564  stoweidlem3  46982  stoweidlem20  46999  stoweidlem42  47021  stoweidlem51  47030  stoweidlem59  47038  stirlinglem8  47060  fourierdlem11  47097  fourierdlem41  47127  fourierdlem48  47133  fourierdlem79  47164  etransclem23  47236  etransclem28  47241  etransclem35  47248  etransclem38  47251  etransclem44  47257  etransc  47262  hoicvrrex  47535  iccpartlt  48475  lighneallem4a  48662  perfectALTVlem2  48789