Theorem nnge1d 12341

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  1c1 11185   ≤ cle 11325  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  bernneq3  14280  facwordi  14338  faclbnd  14339  faclbnd3  14341  faclbnd4lem3  14344  facavg  14350  hashge1  14438  seqcoll  14513  wrdind  14770  wrd2ind  14771  eftlub  16157  eflegeo  16169  eirrlem  16252  divdenle  16796  eulerthlem2  16829  infpnlem2  16958  4sqlem11  17002  4sqlem12  17003  prmolefac  17093  2expltfac  17140  cshwshash  17152  fislw  19667  gzrngunitlem  21473  psdmul  22193  ovoliunlem1  25556  aalioulem2  26393  aalioulem4  26395  aalioulem5  26396  aaliou2b  26401  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem8  26405  lgamgulmlem5  27094  vmage0  27182  chpge0  27187  vma1  27227  sqff1o  27243  fsumfldivdiaglem  27250  vmalelog  27267  chtublem  27273  fsumvma2  27276  chpchtsum  27281  logfacubnd  27283  perfectlem2  27292  dchrelbas4  27305  bposlem1  27346  bposlem2  27347  bposlem5  27350  lgsdir  27394  lgsdilem2  27395  lgseisenlem1  27437  2sqlem8  27488  chebbnd1lem1  27531  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1lem3  27533  dchrisumlem3  27553  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0lem1b  27577  dirith2  27590  selbergb  27611  selberg3lem2  27620  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntlemj  27665  pntlemk  27668  submateqlem2  33754  nexple  33973  plymulx0  34524  hgt750lemb  34633  poimirlem7  37587  poimirlem19  37599  poimirlem28  37608  lcmineqlem10  41995  lcmineqlem11  41996  lcmineqlem13  41998  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p3  42035  aks4d1p5  42037  aks4d1p6  42038  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  posbezout  42057  primrootspoweq0  42063  hashscontpow1  42078  aks6d1c2lem4  42084  sticksstones6  42108  sticksstones7  42109  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  aks6d1c6lem4  42130  aks6d1c7lem2  42138  grpods  42151  unitscyglem2  42153  unitscyglem4  42155  unitscyglem5  42156  metakunt1  42162  metakunt2  42163  metakunt5  42166  metakunt10  42171  metakunt16  42177  metakunt21  42182  metakunt24  42185  metakunt26  42187  metakunt28  42189  metakunt29  42190  fimgmcyc  42489  flt4lem7  42614  diophin  42728  irrapxlem4  42781  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  pell14qrgapw  42832  pellfundgt1  42839  ltrmynn0  42905  jm2.27c  42964  jm3.1lem2  42975  fzisoeu  45215  fmuldfeq  45504  stoweidlem3  45924  stoweidlem20  45941  stoweidlem42  45963  stoweidlem51  45972  stoweidlem59  45980  stirlinglem8  46002  fourierdlem11  46039  fourierdlem41  46069  fourierdlem48  46075  fourierdlem79  46106  etransclem23  46178  etransclem28  46183  etransclem35  46190  etransclem38  46193  etransclem44  46199  etransc  46204  hoicvrrex  46477  iccpartlt  47298  lighneallem4a  47482  perfectALTVlem2  47596