Theorem nnge1d 11673

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 11653	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  1c1 10527   ≤ cle 10665  ℕcn 11625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626

This theorem is referenced by:  bernneq3  13588  facwordi  13645  faclbnd  13646  faclbnd3  13648  faclbnd4lem3  13651  facavg  13657  hashge1  13746  seqcoll  13818  wrdind  14075  wrd2ind  14076  eftlub  15454  eflegeo  15466  eirrlem  15549  divdenle  16079  eulerthlem2  16109  infpnlem2  16237  4sqlem11  16281  4sqlem12  16282  prmolefac  16372  2expltfac  16418  cshwshash  16430  fislw  18742  gzrngunitlem  20156  ovoliunlem1  24106  aalioulem2  24929  aalioulem4  24931  aalioulem5  24932  aaliou2b  24937  aaliou3lem2  24939  aaliou3lem8  24941  lgamgulmlem5  25618  vmage0  25706  chpge0  25711  vma1  25751  sqff1o  25767  fsumfldivdiaglem  25774  vmalelog  25789  chtublem  25795  fsumvma2  25798  chpchtsum  25803  logfacubnd  25805  perfectlem2  25814  dchrelbas4  25827  bposlem1  25868  bposlem2  25869  bposlem5  25872  lgsdir  25916  lgsdilem2  25917  lgseisenlem1  25959  2sqlem8  26010  chebbnd1lem1  26053  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  dchrisumlem3  26075  dchrisum0flblem1  26092  dchrisum0lem1b  26099  dirith2  26112  selbergb  26133  selberg3lem2  26142  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bnd  26168  pntpbnd1a  26169  pntlemj  26187  pntlemk  26190  submateqlem2  31161  nexple  31378  plymulx0  31927  hgt750lemb  32037  poimirlem7  35064  poimirlem19  35076  poimirlem28  35085  lcmineqlem10  39326  lcmineqlem11  39327  lcmineqlem13  39329  lcmineqlem19  39335  lcmineqlem20  39336  3lexlogpow5ineq3  39343  metakunt1  39350  metakunt2  39351  metakunt5  39354  metakunt10  39359  metakunt16  39365  metakunt21  39370  metakunt24  39373  metakunt26  39375  metakunt28  39377  metakunt29  39378  diophin  39713  irrapxlem4  39766  irrapxlem5  39767  pellexlem2  39771  pell14qrgapw  39817  pellfundgt1  39824  ltrmynn0  39889  jm2.27c  39948  jm3.1lem2  39959  fzisoeu  41932  fmuldfeq  42225  stoweidlem3  42645  stoweidlem20  42662  stoweidlem42  42684  stoweidlem51  42693  stoweidlem59  42701  stirlinglem8  42723  fourierdlem11  42760  fourierdlem41  42790  fourierdlem48  42796  fourierdlem79  42827  etransclem23  42899  etransclem28  42904  etransclem35  42911  etransclem38  42914  etransclem44  42920  etransc  42925  hoicvrrex  43195  iccpartlt  43941  lighneallem4a  44126  perfectALTVlem2  44240