Theorem nnge1d 12311

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  1c1 11153   ≤ cle 11293  ℕcn 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264

This theorem is referenced by:  bernneq3  14266  facwordi  14324  faclbnd  14325  faclbnd3  14327  faclbnd4lem3  14330  facavg  14336  hashge1  14424  seqcoll  14499  wrdind  14756  wrd2ind  14757  eftlub  16141  eflegeo  16153  eirrlem  16236  divdenle  16782  eulerthlem2  16815  infpnlem2  16944  4sqlem11  16988  4sqlem12  16989  prmolefac  17079  2expltfac  17126  cshwshash  17138  fislw  19657  gzrngunitlem  21467  psdmul  22187  ovoliunlem1  25550  aalioulem2  26389  aalioulem4  26391  aalioulem5  26392  aaliou2b  26397  aaliou3lem2  26399  aaliou3lem8  26401  lgamgulmlem5  27090  vmage0  27178  chpge0  27183  vma1  27223  sqff1o  27239  fsumfldivdiaglem  27246  vmalelog  27263  chtublem  27269  fsumvma2  27272  chpchtsum  27277  logfacubnd  27279  perfectlem2  27288  dchrelbas4  27301  bposlem1  27342  bposlem2  27343  bposlem5  27346  lgsdir  27390  lgsdilem2  27391  lgseisenlem1  27433  2sqlem8  27484  chebbnd1lem1  27527  chebbnd1lem2  27528  chebbnd1lem3  27529  dchrisumlem3  27549  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0lem1b  27573  dirith2  27586  selbergb  27607  selberg3lem2  27616  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1a  27643  pntlemj  27661  pntlemk  27664  submateqlem2  33768  nexple  33989  plymulx0  34540  hgt750lemb  34649  poimirlem7  37613  poimirlem19  37625  poimirlem28  37634  lcmineqlem10  42019  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem13  42022  lcmineqlem19  42028  lcmineqlem20  42029  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p3  42059  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  posbezout  42081  primrootspoweq0  42087  hashscontpow1  42102  aks6d1c2lem4  42108  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  aks6d1c6lem4  42154  aks6d1c7lem2  42162  grpods  42175  unitscyglem2  42177  unitscyglem4  42179  unitscyglem5  42180  metakunt1  42186  metakunt2  42187  metakunt5  42190  metakunt10  42195  metakunt16  42201  metakunt21  42206  metakunt24  42209  metakunt26  42211  metakunt28  42213  metakunt29  42214  fimgmcyc  42520  flt4lem7  42645  diophin  42759  irrapxlem4  42812  irrapxlem5  42813  pellexlem2  42817  pell14qrgapw  42863  pellfundgt1  42870  ltrmynn0  42936  jm2.27c  42995  jm3.1lem2  43006  fzisoeu  45250  fmuldfeq  45538  stoweidlem3  45958  stoweidlem20  45975  stoweidlem42  45997  stoweidlem51  46006  stoweidlem59  46014  stirlinglem8  46036  fourierdlem11  46073  fourierdlem41  46103  fourierdlem48  46109  fourierdlem79  46140  etransclem23  46212  etransclem28  46217  etransclem35  46224  etransclem38  46227  etransclem44  46233  etransc  46238  hoicvrrex  46511  iccpartlt  47348  lighneallem4a  47532  perfectALTVlem2  47646