Theorem nnge1d 12193

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  1c1 11027   ≤ cle 11167  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  bernneq3  14154  facwordi  14212  faclbnd  14213  faclbnd3  14215  faclbnd4lem3  14218  facavg  14224  hashge1  14312  seqcoll  14387  wrdind  14645  wrd2ind  14646  eftlub  16034  eflegeo  16046  eirrlem  16129  divdenle  16676  eulerthlem2  16709  infpnlem2  16839  4sqlem11  16883  4sqlem12  16884  prmolefac  16974  2expltfac  17020  cshwshash  17032  fislw  19554  gzrngunitlem  21387  psdmul  22109  ovoliunlem1  25459  aalioulem2  26297  aalioulem4  26299  aalioulem5  26300  aaliou2b  26305  aaliou3lem2  26307  aaliou3lem8  26309  lgamgulmlem5  26999  vmage0  27087  chpge0  27092  vma1  27132  sqff1o  27148  fsumfldivdiaglem  27155  vmalelog  27172  chtublem  27178  fsumvma2  27181  chpchtsum  27186  logfacubnd  27188  perfectlem2  27197  dchrelbas4  27210  bposlem1  27251  bposlem2  27252  bposlem5  27255  lgsdir  27299  lgsdilem2  27300  lgseisenlem1  27342  2sqlem8  27393  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem2  27437  chebbnd1lem3  27438  dchrisumlem3  27458  dchrisum0flblem1  27475  dchrisum0lem1b  27482  dirith2  27495  selbergb  27516  selberg3lem2  27525  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bnd  27551  pntpbnd1a  27552  pntlemj  27570  pntlemk  27573  nexple  32925  mplmulmvr  33704  esplyind  33731  submateqlem2  33965  plymulx0  34704  hgt750lemb  34813  poimirlem7  37828  poimirlem19  37840  poimirlem28  37849  lcmineqlem10  42292  lcmineqlem11  42293  lcmineqlem13  42295  lcmineqlem19  42301  lcmineqlem20  42302  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p3  42332  aks4d1p5  42334  aks4d1p6  42335  aks4d1p8  42341  aks4d1p9  42342  posbezout  42354  primrootspoweq0  42360  hashscontpow1  42375  aks6d1c2lem4  42381  sticksstones6  42405  sticksstones7  42406  sticksstones10  42409  sticksstones12a  42411  sticksstones12  42412  aks6d1c6lem4  42427  aks6d1c7lem2  42435  grpods  42448  unitscyglem2  42450  unitscyglem4  42452  unitscyglem5  42453  fimgmcyc  42789  flt4lem7  42902  diophin  43014  irrapxlem4  43067  irrapxlem5  43068  pellexlem2  43072  pell14qrgapw  43118  pellfundgt1  43125  ltrmynn0  43190  jm2.27c  43249  jm3.1lem2  43260  fzisoeu  45548  fmuldfeq  45829  stoweidlem3  46247  stoweidlem20  46264  stoweidlem42  46286  stoweidlem51  46295  stoweidlem59  46303  stirlinglem8  46325  fourierdlem11  46362  fourierdlem41  46392  fourierdlem48  46398  fourierdlem79  46429  etransclem23  46501  etransclem28  46506  etransclem35  46513  etransclem38  46516  etransclem44  46522  etransc  46527  hoicvrrex  46800  iccpartlt  47670  lighneallem4a  47854  perfectALTVlem2  47968