Theorem nnge1d 12285

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  1c1 11102   ≤ cle 11245  ℕcn 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235

This theorem is referenced by:  bernneq3  14269  facwordi  14327  faclbnd  14328  faclbnd3  14330  faclbnd4lem3  14333  facavg  14339  hashge1  14427  seqcoll  14503  wrdind  14761  wrd2ind  14762  eftlub  16166  eflegeo  16178  eirrlem  16261  divdenle  16809  eulerthlem2  16842  infpnlem2  16972  4sqlem11  17016  4sqlem12  17017  prmolefac  17107  2expltfac  17153  cshwshash  17165  fislw  19696  gzrngunitlem  21563  psdmul  22310  ovoliunlem1  25642  plyn0mulidp  26423  aalioulem2  26477  aalioulem4  26479  aalioulem5  26480  aaliou2b  26485  aaliou3lem2  26487  aaliou3lem8  26489  lgamgulmlem5  27178  vmage0  27266  chpge0  27271  vma1  27311  sqff1o  27327  fsumfldivdiaglem  27334  vmalelog  27350  chtublem  27356  fsumvma2  27359  chpchtsum  27364  logfacubnd  27366  perfectlem2  27375  dchrelbas4  27388  bposlem1  27429  bposlem2  27430  bposlem5  27433  lgsdir  27477  lgsdilem2  27478  lgseisenlem1  27520  2sqlem8  27571  chebbnd1lem1  27614  chebbnd1lem2  27615  chebbnd1lem3  27616  dchrisumlem3  27636  dchrisum0flblem1  27653  dchrisum0lem1b  27660  dirith2  27673  selbergb  27694  selberg3lem2  27703  pntrlog2bndlem1  27722  pntrlog2bndlem3  27724  pntrlog2bndlem4  27725  pntrlog2bndlem5  27726  pntrlog2bnd  27729  pntpbnd1a  27730  pntlemj  27748  pntlemk  27751  nexple  33158  mplmulmvr  33910  esplyind  33946  submateqlem2  34179  hgt750lemb  35024  poimirlem7  38259  poimirlem19  38271  poimirlem28  38280  lcmineqlem10  42786  lcmineqlem11  42787  lcmineqlem13  42789  lcmineqlem19  42795  lcmineqlem20  42796  aks4d1p1p2  42818  aks4d1p3  42826  aks4d1p5  42828  aks4d1p6  42829  aks4d1p8  42835  aks4d1p9  42836  posbezout  42848  primrootspoweq0  42854  hashscontpow1  42869  aks6d1c2lem4  42875  sticksstones6  42899  sticksstones7  42900  sticksstones10  42903  sticksstones12a  42905  sticksstones12  42906  aks6d1c6lem4  42921  aks6d1c7lem2  42929  grpods  42942  unitscyglem2  42944  unitscyglem4  42946  unitscyglem5  42947  fimgmcyc  43285  flt4lem7  43374  diophin  43486  irrapxlem4  43535  irrapxlem5  43536  pellexlem2  43540  pell14qrgapw  43586  pellfundgt1  43593  ltrmynn0  43658  jm2.27c  43717  jm3.1lem2  43728  fzisoeu  46002  fmuldfeq  46282  stoweidlem3  46700  stoweidlem20  46717  stoweidlem42  46739  stoweidlem51  46748  stoweidlem59  46756  stirlinglem8  46778  fourierdlem11  46815  fourierdlem41  46845  fourierdlem48  46851  fourierdlem79  46882  etransclem23  46954  etransclem28  46959  etransclem35  46966  etransclem38  46969  etransclem44  46975  etransc  46980  hoicvrrex  47253  iccpartlt  48156  lighneallem4a  48343  perfectALTVlem2  48470