Theorem nnge1d 12234

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  1c1 11069   ≤ cle 11209  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  bernneq3  14196  facwordi  14254  faclbnd  14255  faclbnd3  14257  faclbnd4lem3  14260  facavg  14266  hashge1  14354  seqcoll  14429  wrdind  14687  wrd2ind  14688  eftlub  16077  eflegeo  16089  eirrlem  16172  divdenle  16719  eulerthlem2  16752  infpnlem2  16882  4sqlem11  16926  4sqlem12  16927  prmolefac  17017  2expltfac  17063  cshwshash  17075  fislw  19555  gzrngunitlem  21349  psdmul  22053  ovoliunlem1  25403  aalioulem2  26241  aalioulem4  26243  aalioulem5  26244  aaliou2b  26249  aaliou3lem2  26251  aaliou3lem8  26253  lgamgulmlem5  26943  vmage0  27031  chpge0  27036  vma1  27076  sqff1o  27092  fsumfldivdiaglem  27099  vmalelog  27116  chtublem  27122  fsumvma2  27125  chpchtsum  27130  logfacubnd  27132  perfectlem2  27141  dchrelbas4  27154  bposlem1  27195  bposlem2  27196  bposlem5  27199  lgsdir  27243  lgsdilem2  27244  lgseisenlem1  27286  2sqlem8  27337  chebbnd1lem1  27380  chebbnd1lem2  27381  chebbnd1lem3  27382  dchrisumlem3  27402  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0lem1b  27426  dirith2  27439  selbergb  27460  selberg3lem2  27469  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntlemj  27514  pntlemk  27517  nexple  32769  submateqlem2  33798  plymulx0  34538  hgt750lemb  34647  poimirlem7  37621  poimirlem19  37633  poimirlem28  37642  lcmineqlem10  42026  lcmineqlem11  42027  lcmineqlem13  42029  lcmineqlem19  42035  lcmineqlem20  42036  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p3  42066  aks4d1p5  42068  aks4d1p6  42069  aks4d1p8  42075  aks4d1p9  42076  posbezout  42088  primrootspoweq0  42094  hashscontpow1  42109  aks6d1c2lem4  42115  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  aks6d1c6lem4  42161  aks6d1c7lem2  42169  grpods  42182  unitscyglem2  42184  unitscyglem4  42186  unitscyglem5  42187  fimgmcyc  42522  flt4lem7  42647  diophin  42760  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  pellexlem2  42818  pell14qrgapw  42864  pellfundgt1  42871  ltrmynn0  42937  jm2.27c  42996  jm3.1lem2  43007  fzisoeu  45298  fmuldfeq  45581  stoweidlem3  46001  stoweidlem20  46018  stoweidlem42  46040  stoweidlem51  46049  stoweidlem59  46057  stirlinglem8  46079  fourierdlem11  46116  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem79  46183  etransclem23  46255  etransclem28  46260  etransclem35  46267  etransclem38  46270  etransclem44  46276  etransc  46281  hoicvrrex  46554  iccpartlt  47425  lighneallem4a  47609  perfectALTVlem2  47723