Theorem nnge1d 11951

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 11931	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  1c1 10803   ≤ cle 10941  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904

This theorem is referenced by:  bernneq3  13874  facwordi  13931  faclbnd  13932  faclbnd3  13934  faclbnd4lem3  13937  facavg  13943  hashge1  14032  seqcoll  14106  wrdind  14363  wrd2ind  14364  eftlub  15746  eflegeo  15758  eirrlem  15841  divdenle  16381  eulerthlem2  16411  infpnlem2  16540  4sqlem11  16584  4sqlem12  16585  prmolefac  16675  2expltfac  16722  cshwshash  16734  fislw  19145  gzrngunitlem  20575  ovoliunlem1  24571  aalioulem2  25398  aalioulem4  25400  aalioulem5  25401  aaliou2b  25406  aaliou3lem2  25408  aaliou3lem8  25410  lgamgulmlem5  26087  vmage0  26175  chpge0  26180  vma1  26220  sqff1o  26236  fsumfldivdiaglem  26243  vmalelog  26258  chtublem  26264  fsumvma2  26267  chpchtsum  26272  logfacubnd  26274  perfectlem2  26283  dchrelbas4  26296  bposlem1  26337  bposlem2  26338  bposlem5  26341  lgsdir  26385  lgsdilem2  26386  lgseisenlem1  26428  2sqlem8  26479  chebbnd1lem1  26522  chebbnd1lem2  26523  chebbnd1lem3  26524  dchrisumlem3  26544  dchrisum0flblem1  26561  dchrisum0lem1b  26568  dirith2  26581  selbergb  26602  selberg3lem2  26611  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bnd  26637  pntpbnd1a  26638  pntlemj  26656  pntlemk  26659  submateqlem2  31660  nexple  31877  plymulx0  32426  hgt750lemb  32536  poimirlem7  35711  poimirlem19  35723  poimirlem28  35732  lcmineqlem10  39974  lcmineqlem11  39975  lcmineqlem13  39977  lcmineqlem19  39983  lcmineqlem20  39984  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p3  40014  aks4d1p5  40016  aks4d1p6  40017  aks4d1p8  40023  aks4d1p9  40024  sticksstones6  40035  sticksstones7  40036  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  metakunt1  40053  metakunt2  40054  metakunt5  40057  metakunt10  40062  metakunt16  40068  metakunt21  40073  metakunt24  40076  metakunt26  40078  metakunt28  40080  metakunt29  40081  flt4lem7  40412  diophin  40510  irrapxlem4  40563  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  pell14qrgapw  40614  pellfundgt1  40621  ltrmynn0  40686  jm2.27c  40745  jm3.1lem2  40756  fzisoeu  42729  fmuldfeq  43014  stoweidlem3  43434  stoweidlem20  43451  stoweidlem42  43473  stoweidlem51  43482  stoweidlem59  43490  stirlinglem8  43512  fourierdlem11  43549  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem79  43616  etransclem23  43688  etransclem28  43693  etransclem35  43700  etransclem38  43703  etransclem44  43709  etransc  43714  hoicvrrex  43984  iccpartlt  44764  lighneallem4a  44948  perfectALTVlem2  45062