Theorem nnge1d 12286

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  1c1 11128   ≤ cle 11268  ℕcn 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239

This theorem is referenced by:  bernneq3  14247  facwordi  14305  faclbnd  14306  faclbnd3  14308  faclbnd4lem3  14311  facavg  14317  hashge1  14405  seqcoll  14480  wrdind  14738  wrd2ind  14739  eftlub  16125  eflegeo  16137  eirrlem  16220  divdenle  16766  eulerthlem2  16799  infpnlem2  16929  4sqlem11  16973  4sqlem12  16974  prmolefac  17064  2expltfac  17110  cshwshash  17122  fislw  19604  gzrngunitlem  21398  psdmul  22102  ovoliunlem1  25453  aalioulem2  26291  aalioulem4  26293  aalioulem5  26294  aaliou2b  26299  aaliou3lem2  26301  aaliou3lem8  26303  lgamgulmlem5  26993  vmage0  27081  chpge0  27086  vma1  27126  sqff1o  27142  fsumfldivdiaglem  27149  vmalelog  27166  chtublem  27172  fsumvma2  27175  chpchtsum  27180  logfacubnd  27182  perfectlem2  27191  dchrelbas4  27204  bposlem1  27245  bposlem2  27246  bposlem5  27249  lgsdir  27293  lgsdilem2  27294  lgseisenlem1  27336  2sqlem8  27387  chebbnd1lem1  27430  chebbnd1lem2  27431  chebbnd1lem3  27432  dchrisumlem3  27452  dchrisum0flblem1  27469  dchrisum0lem1b  27476  dirith2  27489  selbergb  27510  selberg3lem2  27519  pntrlog2bndlem1  27538  pntrlog2bndlem3  27540  pntrlog2bndlem4  27541  pntrlog2bndlem5  27542  pntrlog2bnd  27545  pntpbnd1a  27546  pntlemj  27564  pntlemk  27567  nexple  32769  submateqlem2  33785  plymulx0  34525  hgt750lemb  34634  poimirlem7  37597  poimirlem19  37609  poimirlem28  37618  lcmineqlem10  41997  lcmineqlem11  41998  lcmineqlem13  42000  lcmineqlem19  42006  lcmineqlem20  42007  aks4d1p1p2  42029  aks4d1p3  42037  aks4d1p5  42039  aks4d1p6  42040  aks4d1p8  42046  aks4d1p9  42047  posbezout  42059  primrootspoweq0  42065  hashscontpow1  42080  aks6d1c2lem4  42086  sticksstones6  42110  sticksstones7  42111  sticksstones10  42114  sticksstones12a  42116  sticksstones12  42117  aks6d1c6lem4  42132  aks6d1c7lem2  42140  grpods  42153  unitscyglem2  42155  unitscyglem4  42157  unitscyglem5  42158  metakunt1  42164  metakunt2  42165  metakunt5  42168  metakunt10  42173  metakunt16  42179  metakunt21  42184  metakunt24  42187  metakunt26  42189  metakunt28  42191  metakunt29  42192  fimgmcyc  42504  flt4lem7  42629  diophin  42742  irrapxlem4  42795  irrapxlem5  42796  pellexlem2  42800  pell14qrgapw  42846  pellfundgt1  42853  ltrmynn0  42919  jm2.27c  42978  jm3.1lem2  42989  fzisoeu  45277  fmuldfeq  45560  stoweidlem3  45980  stoweidlem20  45997  stoweidlem42  46019  stoweidlem51  46028  stoweidlem59  46036  stirlinglem8  46058  fourierdlem11  46095  fourierdlem41  46125  fourierdlem48  46131  fourierdlem79  46162  etransclem23  46234  etransclem28  46239  etransclem35  46246  etransclem38  46249  etransclem44  46255  etransc  46260  hoicvrrex  46533  iccpartlt  47386  lighneallem4a  47570  perfectALTVlem2  47684