Theorem nnge1d 12210

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  1c1 11045   ≤ cle 11185  ℕcn 12162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  bernneq3  14172  facwordi  14230  faclbnd  14231  faclbnd3  14233  faclbnd4lem3  14236  facavg  14242  hashge1  14330  seqcoll  14405  wrdind  14663  wrd2ind  14664  eftlub  16053  eflegeo  16065  eirrlem  16148  divdenle  16695  eulerthlem2  16728  infpnlem2  16858  4sqlem11  16902  4sqlem12  16903  prmolefac  16993  2expltfac  17039  cshwshash  17051  fislw  19531  gzrngunitlem  21325  psdmul  22029  ovoliunlem1  25379  aalioulem2  26217  aalioulem4  26219  aalioulem5  26220  aaliou2b  26225  aaliou3lem2  26227  aaliou3lem8  26229  lgamgulmlem5  26919  vmage0  27007  chpge0  27012  vma1  27052  sqff1o  27068  fsumfldivdiaglem  27075  vmalelog  27092  chtublem  27098  fsumvma2  27101  chpchtsum  27106  logfacubnd  27108  perfectlem2  27117  dchrelbas4  27130  bposlem1  27171  bposlem2  27172  bposlem5  27175  lgsdir  27219  lgsdilem2  27220  lgseisenlem1  27262  2sqlem8  27313  chebbnd1lem1  27356  chebbnd1lem2  27357  chebbnd1lem3  27358  dchrisumlem3  27378  dchrisum0flblem1  27395  dchrisum0lem1b  27402  dirith2  27415  selbergb  27436  selberg3lem2  27445  pntrlog2bndlem1  27464  pntrlog2bndlem3  27466  pntrlog2bndlem4  27467  pntrlog2bndlem5  27468  pntrlog2bnd  27471  pntpbnd1a  27472  pntlemj  27490  pntlemk  27493  nexple  32742  submateqlem2  33771  plymulx0  34511  hgt750lemb  34620  poimirlem7  37594  poimirlem19  37606  poimirlem28  37615  lcmineqlem10  41999  lcmineqlem11  42000  lcmineqlem13  42002  lcmineqlem19  42008  lcmineqlem20  42009  aks4d1p1p2  42031  aks4d1p3  42039  aks4d1p5  42041  aks4d1p6  42042  aks4d1p8  42048  aks4d1p9  42049  posbezout  42061  primrootspoweq0  42067  hashscontpow1  42082  aks6d1c2lem4  42088  sticksstones6  42112  sticksstones7  42113  sticksstones10  42116  sticksstones12a  42118  sticksstones12  42119  aks6d1c6lem4  42134  aks6d1c7lem2  42142  grpods  42155  unitscyglem2  42157  unitscyglem4  42159  unitscyglem5  42160  fimgmcyc  42495  flt4lem7  42620  diophin  42733  irrapxlem4  42786  irrapxlem5  42787  pellexlem2  42791  pell14qrgapw  42837  pellfundgt1  42844  ltrmynn0  42910  jm2.27c  42969  jm3.1lem2  42980  fzisoeu  45271  fmuldfeq  45554  stoweidlem3  45974  stoweidlem20  45991  stoweidlem42  46013  stoweidlem51  46022  stoweidlem59  46030  stirlinglem8  46052  fourierdlem11  46089  fourierdlem41  46119  fourierdlem48  46125  fourierdlem79  46156  etransclem23  46228  etransclem28  46233  etransclem35  46240  etransclem38  46243  etransclem44  46249  etransc  46254  hoicvrrex  46527  iccpartlt  47398  lighneallem4a  47582  perfectALTVlem2  47696