Theorem nnge1d 12225

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  1c1 11039   ≤ cle 11180  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  bernneq3  14193  facwordi  14251  faclbnd  14252  faclbnd3  14254  faclbnd4lem3  14257  facavg  14263  hashge1  14351  seqcoll  14426  wrdind  14684  wrd2ind  14685  eftlub  16076  eflegeo  16088  eirrlem  16171  divdenle  16719  eulerthlem2  16752  infpnlem2  16882  4sqlem11  16926  4sqlem12  16927  prmolefac  17017  2expltfac  17063  cshwshash  17075  fislw  19600  gzrngunitlem  21412  psdmul  22132  ovoliunlem1  25469  aalioulem2  26299  aalioulem4  26301  aalioulem5  26302  aaliou2b  26307  aaliou3lem2  26309  aaliou3lem8  26311  lgamgulmlem5  26996  vmage0  27084  chpge0  27089  vma1  27129  sqff1o  27145  fsumfldivdiaglem  27152  vmalelog  27168  chtublem  27174  fsumvma2  27177  chpchtsum  27182  logfacubnd  27184  perfectlem2  27193  dchrelbas4  27206  bposlem1  27247  bposlem2  27248  bposlem5  27251  lgsdir  27295  lgsdilem2  27296  lgseisenlem1  27338  2sqlem8  27389  chebbnd1lem1  27432  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  dchrisumlem3  27454  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0lem1b  27478  dirith2  27491  selbergb  27512  selberg3lem2  27521  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1a  27548  pntlemj  27566  pntlemk  27569  nexple  32917  mplmulmvr  33683  esplyind  33719  submateqlem2  33952  plymulx0  34691  hgt750lemb  34800  poimirlem7  37948  poimirlem19  37960  poimirlem28  37969  lcmineqlem10  42477  lcmineqlem11  42478  lcmineqlem13  42480  lcmineqlem19  42486  lcmineqlem20  42487  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p3  42517  aks4d1p5  42519  aks4d1p6  42520  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  posbezout  42539  primrootspoweq0  42545  hashscontpow1  42560  aks6d1c2lem4  42566  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c6lem4  42612  aks6d1c7lem2  42620  grpods  42633  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  unitscyglem5  42638  fimgmcyc  42979  flt4lem7  43092  diophin  43204  irrapxlem4  43253  irrapxlem5  43254  pellexlem2  43258  pell14qrgapw  43304  pellfundgt1  43311  ltrmynn0  43376  jm2.27c  43435  jm3.1lem2  43446  fzisoeu  45733  fmuldfeq  46013  stoweidlem3  46431  stoweidlem20  46448  stoweidlem42  46470  stoweidlem51  46479  stoweidlem59  46487  stirlinglem8  46509  fourierdlem11  46546  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem79  46613  etransclem23  46685  etransclem28  46690  etransclem35  46697  etransclem38  46700  etransclem44  46706  etransc  46711  hoicvrrex  46984  iccpartlt  47884  lighneallem4a  48071  perfectALTVlem2  48198