Theorem nnge1d 12267

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  1c1 11117   ≤ cle 11256  ℕcn 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220

This theorem is referenced by:  bernneq3  14201  facwordi  14256  faclbnd  14257  faclbnd3  14259  faclbnd4lem3  14262  facavg  14268  hashge1  14356  seqcoll  14432  wrdind  14679  wrd2ind  14680  eftlub  16059  eflegeo  16071  eirrlem  16154  divdenle  16692  eulerthlem2  16722  infpnlem2  16851  4sqlem11  16895  4sqlem12  16896  prmolefac  16986  2expltfac  17033  cshwshash  17045  fislw  19541  gzrngunitlem  21299  ovoliunlem1  25351  aalioulem2  26185  aalioulem4  26187  aalioulem5  26188  aaliou2b  26193  aaliou3lem2  26195  aaliou3lem8  26197  lgamgulmlem5  26878  vmage0  26966  chpge0  26971  vma1  27011  sqff1o  27027  fsumfldivdiaglem  27034  vmalelog  27051  chtublem  27057  fsumvma2  27060  chpchtsum  27065  logfacubnd  27067  perfectlem2  27076  dchrelbas4  27089  bposlem1  27130  bposlem2  27131  bposlem5  27134  lgsdir  27178  lgsdilem2  27179  lgseisenlem1  27221  2sqlem8  27272  chebbnd1lem1  27315  chebbnd1lem2  27316  chebbnd1lem3  27317  dchrisumlem3  27337  dchrisum0flblem1  27354  dchrisum0lem1b  27361  dirith2  27374  selbergb  27395  selberg3lem2  27404  pntrlog2bndlem1  27423  pntrlog2bndlem3  27425  pntrlog2bndlem4  27426  pntrlog2bndlem5  27427  pntrlog2bnd  27430  pntpbnd1a  27431  pntlemj  27449  pntlemk  27452  submateqlem2  33252  nexple  33471  plymulx0  34022  hgt750lemb  34132  poimirlem7  36959  poimirlem19  36971  poimirlem28  36980  lcmineqlem10  41370  lcmineqlem11  41371  lcmineqlem13  41373  lcmineqlem19  41379  lcmineqlem20  41380  aks4d1p1p2  41402  aks4d1p3  41410  aks4d1p5  41412  aks4d1p6  41413  aks4d1p8  41419  aks4d1p9  41420  sticksstones6  41434  sticksstones7  41435  sticksstones10  41438  sticksstones12a  41440  sticksstones12  41441  metakunt1  41452  metakunt2  41453  metakunt5  41456  metakunt10  41461  metakunt16  41467  metakunt21  41472  metakunt24  41475  metakunt26  41477  metakunt28  41479  metakunt29  41480  flt4lem7  41864  diophin  41973  irrapxlem4  42026  irrapxlem5  42027  pellexlem2  42031  pell14qrgapw  42077  pellfundgt1  42084  ltrmynn0  42150  jm2.27c  42209  jm3.1lem2  42220  fzisoeu  44469  fmuldfeq  44758  stoweidlem3  45178  stoweidlem20  45195  stoweidlem42  45217  stoweidlem51  45226  stoweidlem59  45234  stirlinglem8  45256  fourierdlem11  45293  fourierdlem41  45323  fourierdlem48  45329  fourierdlem79  45360  etransclem23  45432  etransclem28  45437  etransclem35  45444  etransclem38  45447  etransclem44  45453  etransc  45458  hoicvrrex  45731  iccpartlt  46551  lighneallem4a  46735  perfectALTVlem2  46849