Theorem nnge1d 12216

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  1c1 11030   ≤ cle 11171  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  bernneq3  14184  facwordi  14242  faclbnd  14243  faclbnd3  14245  faclbnd4lem3  14248  facavg  14254  hashge1  14342  seqcoll  14417  wrdind  14675  wrd2ind  14676  eftlub  16067  eflegeo  16079  eirrlem  16162  divdenle  16710  eulerthlem2  16743  infpnlem2  16873  4sqlem11  16917  4sqlem12  16918  prmolefac  17008  2expltfac  17054  cshwshash  17066  fislw  19591  gzrngunitlem  21422  psdmul  22142  ovoliunlem1  25479  aalioulem2  26310  aalioulem4  26312  aalioulem5  26313  aaliou2b  26318  aaliou3lem2  26320  aaliou3lem8  26322  lgamgulmlem5  27010  vmage0  27098  chpge0  27103  vma1  27143  sqff1o  27159  fsumfldivdiaglem  27166  vmalelog  27182  chtublem  27188  fsumvma2  27191  chpchtsum  27196  logfacubnd  27198  perfectlem2  27207  dchrelbas4  27220  bposlem1  27261  bposlem2  27262  bposlem5  27265  lgsdir  27309  lgsdilem2  27310  lgseisenlem1  27352  2sqlem8  27403  chebbnd1lem1  27446  chebbnd1lem2  27447  chebbnd1lem3  27448  dchrisumlem3  27468  dchrisum0flblem1  27485  dchrisum0lem1b  27492  dirith2  27505  selbergb  27526  selberg3lem2  27535  pntrlog2bndlem1  27554  pntrlog2bndlem3  27556  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  pntrlog2bnd  27561  pntpbnd1a  27562  pntlemj  27580  pntlemk  27583  nexple  32932  mplmulmvr  33698  esplyind  33734  submateqlem2  33968  plymulx0  34707  hgt750lemb  34816  poimirlem7  37962  poimirlem19  37974  poimirlem28  37983  lcmineqlem10  42491  lcmineqlem11  42492  lcmineqlem13  42494  lcmineqlem19  42500  lcmineqlem20  42501  aks4d1p1p2  42523  aks4d1p3  42531  aks4d1p5  42533  aks4d1p6  42534  aks4d1p8  42540  aks4d1p9  42541  posbezout  42553  primrootspoweq0  42559  hashscontpow1  42574  aks6d1c2lem4  42580  sticksstones6  42604  sticksstones7  42605  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  sticksstones12  42611  aks6d1c6lem4  42626  aks6d1c7lem2  42634  grpods  42647  unitscyglem2  42649  unitscyglem4  42651  unitscyglem5  42652  fimgmcyc  42993  flt4lem7  43106  diophin  43218  irrapxlem4  43271  irrapxlem5  43272  pellexlem2  43276  pell14qrgapw  43322  pellfundgt1  43329  ltrmynn0  43394  jm2.27c  43453  jm3.1lem2  43464  fzisoeu  45751  fmuldfeq  46031  stoweidlem3  46449  stoweidlem20  46466  stoweidlem42  46488  stoweidlem51  46497  stoweidlem59  46505  stirlinglem8  46527  fourierdlem11  46564  fourierdlem41  46594  fourierdlem48  46600  fourierdlem79  46631  etransclem23  46703  etransclem28  46708  etransclem35  46715  etransclem38  46718  etransclem44  46724  etransc  46729  hoicvrrex  47002  iccpartlt  47896  lighneallem4a  48083  perfectALTVlem2  48210