Theorem nnge1d 12194

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12174	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  1c1 11029   ≤ cle 11169  ℕcn 12146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147

This theorem is referenced by:  bernneq3  14156  facwordi  14214  faclbnd  14215  faclbnd3  14217  faclbnd4lem3  14220  facavg  14226  hashge1  14314  seqcoll  14389  wrdind  14646  wrd2ind  14647  eftlub  16036  eflegeo  16048  eirrlem  16131  divdenle  16678  eulerthlem2  16711  infpnlem2  16841  4sqlem11  16885  4sqlem12  16886  prmolefac  16976  2expltfac  17022  cshwshash  17034  fislw  19522  gzrngunitlem  21357  psdmul  22069  ovoliunlem1  25419  aalioulem2  26257  aalioulem4  26259  aalioulem5  26260  aaliou2b  26265  aaliou3lem2  26267  aaliou3lem8  26269  lgamgulmlem5  26959  vmage0  27047  chpge0  27052  vma1  27092  sqff1o  27108  fsumfldivdiaglem  27115  vmalelog  27132  chtublem  27138  fsumvma2  27141  chpchtsum  27146  logfacubnd  27148  perfectlem2  27157  dchrelbas4  27170  bposlem1  27211  bposlem2  27212  bposlem5  27215  lgsdir  27259  lgsdilem2  27260  lgseisenlem1  27302  2sqlem8  27353  chebbnd1lem1  27396  chebbnd1lem2  27397  chebbnd1lem3  27398  dchrisumlem3  27418  dchrisum0flblem1  27435  dchrisum0lem1b  27442  dirith2  27455  selbergb  27476  selberg3lem2  27485  pntrlog2bndlem1  27504  pntrlog2bndlem3  27506  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem5  27508  pntrlog2bnd  27511  pntpbnd1a  27512  pntlemj  27530  pntlemk  27533  nexple  32802  submateqlem2  33777  plymulx0  34517  hgt750lemb  34626  poimirlem7  37609  poimirlem19  37621  poimirlem28  37630  lcmineqlem10  42014  lcmineqlem11  42015  lcmineqlem13  42017  lcmineqlem19  42023  lcmineqlem20  42024  aks4d1p1p2  42046  aks4d1p3  42054  aks4d1p5  42056  aks4d1p6  42057  aks4d1p8  42063  aks4d1p9  42064  posbezout  42076  primrootspoweq0  42082  hashscontpow1  42097  aks6d1c2lem4  42103  sticksstones6  42127  sticksstones7  42128  sticksstones10  42131  sticksstones12a  42133  sticksstones12  42134  aks6d1c6lem4  42149  aks6d1c7lem2  42157  grpods  42170  unitscyglem2  42172  unitscyglem4  42174  unitscyglem5  42175  fimgmcyc  42510  flt4lem7  42635  diophin  42748  irrapxlem4  42801  irrapxlem5  42802  pellexlem2  42806  pell14qrgapw  42852  pellfundgt1  42859  ltrmynn0  42924  jm2.27c  42983  jm3.1lem2  42994  fzisoeu  45285  fmuldfeq  45568  stoweidlem3  45988  stoweidlem20  46005  stoweidlem42  46027  stoweidlem51  46036  stoweidlem59  46044  stirlinglem8  46066  fourierdlem11  46103  fourierdlem41  46133  fourierdlem48  46139  fourierdlem79  46170  etransclem23  46242  etransclem28  46247  etransclem35  46254  etransclem38  46257  etransclem44  46263  etransc  46268  hoicvrrex  46541  iccpartlt  47412  lighneallem4a  47596  perfectALTVlem2  47710