Theorem nnge1d 12295

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  1c1 11112   ≤ cle 11255  ℕcn 12244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245

This theorem is used by:  bernneq3  14280  facwordi  14338  faclbnd  14339  faclbnd3  14341  faclbnd4lem3  14344  facavg  14350  hashge1  14438  seqcoll  14514  wrdind  14776  wrd2ind  14777  eftlub  16182  eflegeo  16194  eirrlem  16277  divdenle  16825  eulerthlem2  16858  infpnlem2  16988  4sqlem11  17032  4sqlem12  17033  prmolefac  17123  2expltfac  17169  cshwshash  17181  fislw  19718  gzrngunitlem  21611  psdmul  22358  ovoliunlem1  25690  plyn0mulidp  26471  aalioulem2  26525  aalioulem4  26527  aalioulem5  26528  aaliou2b  26533  aaliou3lem2  26535  aaliou3lem8  26537  lgamgulmlem5  27226  vmage0  27314  chpge0  27319  vma1  27359  sqff1o  27375  fsumfldivdiaglem  27382  vmalelog  27398  chtublem  27404  fsumvma2  27407  chpchtsum  27412  logfacubnd  27414  perfectlem2  27423  dchrelbas4  27436  bposlem1  27477  bposlem2  27478  bposlem5  27481  lgsdir  27525  lgsdilem2  27526  lgseisenlem1  27568  2sqlem8  27619  chebbnd1lem1  27662  chebbnd1lem2  27663  chebbnd1lem3  27664  dchrisumlem3  27684  dchrisum0flblem1  27701  dchrisum0lem1b  27708  dirith2  27721  selbergb  27742  selberg3lem2  27751  pntrlog2bndlem1  27770  pntrlog2bndlem3  27772  pntrlog2bndlem4  27773  pntrlog2bndlem5  27774  pntrlog2bnd  27777  pntpbnd1a  27778  pntlemj  27796  pntlemk  27799  nexple  33206  mplmulmvr  33952  esplyind  33988  submateqlem2  34221  hgt750lemb  35067  poimirlem7  38311  poimirlem19  38323  poimirlem28  38332  lcmineqlem10  42838  lcmineqlem11  42839  lcmineqlem13  42841  lcmineqlem19  42847  lcmineqlem20  42848  aks4d1p1p2  42870  aks4d1p3  42878  aks4d1p5  42880  aks4d1p6  42881  aks4d1p8  42887  aks4d1p9  42888  posbezout  42900  primrootspoweq0  42906  hashscontpow1  42921  aks6d1c2lem4  42927  sticksstones6  42951  sticksstones7  42952  sticksstones10  42955  sticksstones12a  42957  sticksstones12  42958  aks6d1c6lem4  42973  aks6d1c7lem2  42981  grpods  42994  unitscyglem2  42996  unitscyglem4  42998  unitscyglem5  42999  fimgmcyc  43335  flt4lem7  43424  diophin  43536  irrapxlem4  43585  irrapxlem5  43586  pellexlem2  43590  pell14qrgapw  43636  pellfundgt1  43643  ltrmynn0  43708  jm2.27c  43767  jm3.1lem2  43778  fzisoeu  46052  fmuldfeq  46332  stoweidlem3  46750  stoweidlem20  46767  stoweidlem42  46789  stoweidlem51  46798  stoweidlem59  46806  stirlinglem8  46828  fourierdlem11  46865  fourierdlem41  46895  fourierdlem48  46901  fourierdlem79  46932  etransclem23  47004  etransclem28  47009  etransclem35  47016  etransclem38  47019  etransclem44  47025  etransc  47030  hoicvrrex  47303  iccpartlt  48206  lighneallem4a  48393  perfectALTVlem2  48520