Theorem nnge1d 12280

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  1c1 11097   ≤ cle 11240  ℕcn 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230

This theorem is referenced by:  bernneq3  14263  facwordi  14321  faclbnd  14322  faclbnd3  14324  faclbnd4lem3  14327  facavg  14333  hashge1  14421  seqcoll  14497  wrdind  14755  wrd2ind  14756  eftlub  16161  eflegeo  16173  eirrlem  16256  divdenle  16804  eulerthlem2  16837  infpnlem2  16967  4sqlem11  17011  4sqlem12  17012  prmolefac  17102  2expltfac  17148  cshwshash  17160  fislw  19691  gzrngunitlem  21547  psdmul  22294  ovoliunlem1  25626  plyn0mulidp  26407  aalioulem2  26459  aalioulem4  26461  aalioulem5  26462  aaliou2b  26467  aaliou3lem2  26469  aaliou3lem8  26471  lgamgulmlem5  27159  vmage0  27247  chpge0  27252  vma1  27292  sqff1o  27308  fsumfldivdiaglem  27315  vmalelog  27331  chtublem  27337  fsumvma2  27340  chpchtsum  27345  logfacubnd  27347  perfectlem2  27356  dchrelbas4  27369  bposlem1  27410  bposlem2  27411  bposlem5  27414  lgsdir  27458  lgsdilem2  27459  lgseisenlem1  27501  2sqlem8  27552  chebbnd1lem1  27595  chebbnd1lem2  27596  chebbnd1lem3  27597  dchrisumlem3  27617  dchrisum0flblem1  27634  dchrisum0lem1b  27641  dirith2  27654  selbergb  27675  selberg3lem2  27684  pntrlog2bndlem1  27703  pntrlog2bndlem3  27705  pntrlog2bndlem4  27706  pntrlog2bndlem5  27707  pntrlog2bnd  27710  pntpbnd1a  27711  pntlemj  27729  pntlemk  27732  nexple  33114  mplmulmvr  33870  esplyind  33906  submateqlem2  34139  hgt750lemb  34984  poimirlem7  38161  poimirlem19  38173  poimirlem28  38182  lcmineqlem10  42690  lcmineqlem11  42691  lcmineqlem13  42693  lcmineqlem19  42699  lcmineqlem20  42700  aks4d1p1p2  42722  aks4d1p3  42730  aks4d1p5  42732  aks4d1p6  42733  aks4d1p8  42739  aks4d1p9  42740  posbezout  42752  primrootspoweq0  42758  hashscontpow1  42773  aks6d1c2lem4  42779  sticksstones6  42803  sticksstones7  42804  sticksstones10  42807  sticksstones12a  42809  sticksstones12  42810  aks6d1c6lem4  42825  aks6d1c7lem2  42833  grpods  42846  unitscyglem2  42848  unitscyglem4  42850  unitscyglem5  42851  fimgmcyc  43187  flt4lem7  43276  diophin  43388  irrapxlem4  43437  irrapxlem5  43438  pellexlem2  43442  pell14qrgapw  43488  pellfundgt1  43495  ltrmynn0  43560  jm2.27c  43619  jm3.1lem2  43630  fzisoeu  45904  fmuldfeq  46184  stoweidlem3  46602  stoweidlem20  46619  stoweidlem42  46641  stoweidlem51  46650  stoweidlem59  46658  stirlinglem8  46680  fourierdlem11  46717  fourierdlem41  46747  fourierdlem48  46753  fourierdlem79  46784  etransclem23  46856  etransclem28  46861  etransclem35  46868  etransclem38  46871  etransclem44  46877  etransc  46882  hoicvrrex  47155  iccpartlt  48055  lighneallem4a  48242  perfectALTVlem2  48369