Theorem nnge1d 12308

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnge1d	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnge1 12288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  1c1 11125   ≤ cle 11268  ℕcn 12257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258

This theorem is used by:  bernneq3  14295  facwordi  14353  faclbnd  14354  faclbnd3  14356  faclbnd4lem3  14359  facavg  14365  hashge1  14453  seqcoll  14529  wrdind  14791  wrd2ind  14792  eftlub  16197  eflegeo  16209  eirrlem  16292  divdenle  16840  eulerthlem2  16873  infpnlem2  17003  4sqlem11  17047  4sqlem12  17048  prmolefac  17138  2expltfac  17184  cshwshash  17196  fislw  19752  gzrngunitlem  21645  psdmul  22394  ovoliunlem1  25730  plyn0mulidp  26511  aalioulem2  26569  aalioulem4  26571  aalioulem5  26572  aaliou2b  26577  aaliou3lem2  26579  aaliou3lem8  26581  lgamgulmlem5  27269  vmage0  27357  chpge0  27362  vma1  27402  sqff1o  27418  fsumfldivdiaglem  27425  vmalelog  27441  chtublem  27447  fsumvma2  27450  chpchtsum  27455  logfacubnd  27457  perfectlem2  27466  dchrelbas4  27479  bposlem1  27520  bposlem2  27521  bposlem5  27524  lgsdir  27568  lgsdilem2  27569  lgseisenlem1  27611  2sqlem8  27662  chebbnd1lem1  27705  chebbnd1lem2  27706  chebbnd1lem3  27707  dchrisumlem3  27727  dchrisum0flblem1  27744  dchrisum0lem1b  27751  dirith2  27764  selbergb  27785  selberg3lem2  27794  pntrlog2bndlem1  27813  pntrlog2bndlem3  27815  pntrlog2bndlem4  27816  pntrlog2bndlem5  27817  pntrlog2bnd  27820  pntpbnd1a  27821  pntlemj  27839  pntlemk  27842  nexple  33303  mplmulmvr  34049  esplyind  34085  submateqlem2  34318  hgt750lemb  35164  poimirlem7  38376  poimirlem19  38388  poimirlem28  38397  lcmineqlem10  42904  lcmineqlem11  42905  lcmineqlem13  42907  lcmineqlem19  42913  lcmineqlem20  42914  aks4d1p1p2  42936  aks4d1p3  42944  aks4d1p5  42946  aks4d1p6  42947  aks4d1p8  42953  aks4d1p9  42954  posbezout  42966  primrootspoweq0  42972  hashscontpow1  42987  aks6d1c2lem4  42993  sticksstones6  43017  sticksstones7  43018  sticksstones10  43021  sticksstones12a  43023  sticksstones12  43024  aks6d1c6lem4  43039  aks6d1c7lem2  43047  grpods  43060  unitscyglem2  43062  unitscyglem4  43064  unitscyglem5  43065  fimgmcyc  43416  flt4lem7  43505  diophin  43617  irrapxlem4  43666  irrapxlem5  43667  pellexlem2  43671  pell14qrgapw  43717  pellfundgt1  43724  ltrmynn0  43789  jm2.27c  43848  jm3.1lem2  43859  fzisoeu  46133  fmuldfeq  46413  stoweidlem3  46831  stoweidlem20  46848  stoweidlem42  46870  stoweidlem51  46879  stoweidlem59  46887  stirlinglem8  46909  fourierdlem11  46946  fourierdlem41  46976  fourierdlem48  46982  fourierdlem79  47013  etransclem23  47085  etransclem28  47090  etransclem35  47097  etransclem38  47100  etransclem44  47106  etransc  47111  hoicvrrex  47384  iccpartlt  48324  lighneallem4a  48511  perfectALTVlem2  48638