Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringvscadOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringvscadOLD 42741
Description: Obsolete version of mnringvscad 42740 as of 1-Nov-2024. The scalar product of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringvscad.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringvscad.2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
mnringvscad.3 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐡)
mnringvscad.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘ˆ)
mnringvscad.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
mnringvscadOLD (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‰) = ( ·𝑠 β€˜πΉ))

Proof of Theorem mnringvscadOLD
StepHypRef Expression
1 mnringvscad.1 . 2 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2 df-vsca 17193 . 2 ·𝑠 = Slot 6
3 6nn 12280 . 2 6 ∈ β„•
4 3re 12271 . . . 4 3 ∈ ℝ
5 3lt6 12374 . . . 4 3 < 6
64, 5gtneii 11305 . . 3 6 β‰  3
7 mulrndx 17217 . . 3 (.rβ€˜ndx) = 3
86, 7neeqtrri 3013 . 2 6 β‰  (.rβ€˜ndx)
9 mnringvscad.2 . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
10 mnringvscad.3 . 2 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐡)
11 mnringvscad.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘ˆ)
12 mnringvscad.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
131, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12mnringnmulrdOLD 42726 1 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‰) = ( ·𝑠 β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6529  (class class class)co 7390  3c3 12247  6c6 12250  ndxcnx 17105  Basecbs 17123  .rcmulr 17177   ·𝑠 cvsca 17180   freeLMod cfrlm 21229   MndRing cmnring 42722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-mulr 17190  df-vsca 17193  df-mnring 42723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator