Theorem mnringvscadOLD 43473

Description: Obsolete version of mnringvscad 43472 as of 1-Nov-2024. The scalar product of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringvscad.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringvscad.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mnringvscad.3	⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐵)
mnringvscad.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringvscad.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnringvscadOLD	⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝐹))

Proof of Theorem mnringvscadOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringvscad.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2		df-vsca 17213	. 2 ⊢ ·𝑠 = Slot 6
3		6nn 12298	. 2 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		3re 12289	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		3lt6 12392	. . . 4 ⊢ 3 < 6
6	4, 5	gtneii 11323	. . 3 ⊢ 6 ≠ 3
7		mulrndx 17237	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
8	6, 7	neeqtrri 3006	. 2 ⊢ 6 ≠ (.r‘ndx)
9		mnringvscad.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		mnringvscad.3	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐵)
11		mnringvscad.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
12		mnringvscad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
13	1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12	mnringnmulrdOLD 43458	1 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  3c3 12265  6c6 12268  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197   ·_𝑠 cvsca 17200   freeLMod cfrlm 21609   MndRing cmnring 43454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-mulr 17210  df-vsca 17213  df-mnring 43455

This theorem is referenced by: (None)