Theorem ply1vsca 22067

Description: Value of scalar multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1vscafval.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1vsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Proof of Theorem ply1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vscafval.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplvsca2 21884	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1vsca 22064	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 22037	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressvsca 17296	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2765	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2762	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1_oc1o 8465  Basecbs 17151   ·_𝑠 cvsca 17208   mPwSer cmps 21767   mPoly cmpl 21769  PwSer₁cps1 22018  Poly₁cpl1 22020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-dec 12685  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-vsca 17221  df-ple 17224  df-psr 21772  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-psr1 22023  df-ply1 22025

This theorem is referenced by:  ply1ass23l  22069  ressply1vsca  22074  ply1ascl  22100  coe1tm  22115  ply1coe  22140  deg1vscale  25960  deg1vsca  25961