Theorem ply1vsca 22158

Description: Value of scalar multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1vscafval.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1vsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Proof of Theorem ply1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vscafval.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplvsca2 21972	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1vsca 22155	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6888	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 22127	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressvsca 17356	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2764	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2761	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1_oc1o 8471  Basecbs 17226   ·_𝑠 cvsca 17273   mPwSer cmps 21862   mPoly cmpl 21864  PwSer₁cps1 22108  Poly₁cpl1 22110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-dec 12707  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-vsca 17286  df-ple 17289  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22113  df-ply1 22115

This theorem is referenced by:  ply1ass23l  22160  ressply1vsca  22165  ply1ascl  22193  coe1tm  22208  ply1coe  22234  ply1vscl  22320  rhmply1vsca  22324  deg1vscale  26059  deg1vsca  26060