Theorem ply1vsca 22449

Description: Value of scalar multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1vscafval.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1vsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Proof of Theorem ply1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vscafval.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplvsca2 22228	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1vsca 22446	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6891	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 22419	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressvsca 17429	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2789	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2786	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1_oc1o 8448  Basecbs 17301   ·_𝑠 cvsca 17346   mPwSer cmps 22119   mPoly cmpl 22121  PwSer₁cps1 22400  Poly₁cpl1 22402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-vsca 17359  df-ple 17362  df-psr 22124  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-psr1 22405  df-ply1 22407

This theorem is used by:  ply1ass23l  22451  ressply1vsca  22456  ply1ascl  22484  coe1tm  22499  ply1coe  22523  ply1vscl  22606  rhmply1vsca  22610  deg1vscale  26329  deg1vsca  26330