Theorem ply1vsca 22247

Description: Value of scalar multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1vscafval.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1vsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Proof of Theorem ply1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vscafval.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplvsca2 22057	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1vsca 22244	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 22216	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressvsca 17403	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(PwSer1‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2774	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2771	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515  Basecbs 17258   ·_𝑠 cvsca 17315   mPwSer cmps 21947   mPoly cmpl 21949  PwSer₁cps1 22197  Poly₁cpl1 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-vsca 17328  df-ple 17331  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204

This theorem is referenced by:  ply1ass23l  22249  ressply1vsca  22254  ply1ascl  22282  coe1tm  22297  ply1coe  22323  ply1vscl  22409  rhmply1vsca  22413  deg1vscale  26163  deg1vsca  26164