Theorem gsumsmonply1 22286

Description: A finite group sum of scaled monomials is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummonply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummonply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummonply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummonply1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummonply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummonply1.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummonply1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummonply1.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsummonply1.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsmonply1	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   ↑ (𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsmonply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummonply1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummonply1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummonply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22225	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		ringcmn 20258	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
7	3, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12438	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		gsummonply1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11	10	r19.21bi 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	3	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		gsummonply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16		gsummonply1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17		gsummonply1.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
19		gsummonply1.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
20	15, 4, 16, 17, 18, 19, 1	ply1tmcl 22251	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 20	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
22	11, 21	mpd3an3 1465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
23	22	fmpttd 7063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
24	4	ply1lmod 22229	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
25	3, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
26	4	ply1sca 22230	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
27	3, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	4, 16, 18, 19, 1	ply1moncl 22250	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29	3, 28	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
30		gsummonply1.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31		gsummonply1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
32	9, 25, 27, 1, 11, 29, 2, 30, 17, 31	mptscmfsupp0 20917	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
33	1, 2, 7, 9, 23, 32	gsumcl 19885	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   finSupp cfsupp 9269  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  ._gcmg 19038  CMndccmn 19750  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209  LModclmod 20850  var₁cv1 22153  Poly₁cpl1 22154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-psr 21903  df-mvr 21904  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-vr1 22158  df-ply1 22159

This theorem is referenced by:  gsumply1eq  22288  cayleyhamilton1  22871