MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsmonply1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumsmonply1 22230
Description: A finite group sum of scaled monomials is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummonply1.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
gsummonply1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
gsummonply1.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
gsummonply1.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
gsummonply1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
gsummonply1.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
gsummonply1.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsummonply1.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsummonply1.f (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumsmonply1 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐾   πœ‘,π‘˜   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑃(π‘˜)   𝑅(π‘˜)   ↑ (π‘˜)   𝑋(π‘˜)   0 (π‘˜)
Proof of Theorem gsumsmonply1
StepHypRef Expression
1 gsummonply1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2725 . 2 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
3 gsummonply1.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 gsummonply1.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
54ply1ring 22170 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6 ringcmn 20217 . . 3 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
73, 5, 63syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8 nn0ex 12503 . . 3 β„•0 ∈ V
98a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
10 gsummonply1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 𝐴 ∈ 𝐾)
1110r19.21bi 3239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1233ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 simp3 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
14 simp2 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
15 gsummonply1.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
16 gsummonply1.x . . . . . 6 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
17 gsummonply1.m . . . . . 6 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
18 eqid 2725 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
19 gsummonply1.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
2015, 4, 16, 17, 18, 19, 1ply1tmcl 22195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
2112, 13, 14, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
2211, 21mpd3an3 1458 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
2322fmpttd 7118 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐡)
244ply1lmod 22174 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
253, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
264ply1sca 22175 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
273, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
284, 16, 18, 19, 1ply1moncl 22194 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
293, 28sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
30 gsummonply1.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
31 gsummonply1.f . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
329, 25, 27, 1, 11, 29, 2, 30, 17, 31mptscmfsupp0 20809 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
331, 2, 7, 9, 23, 32gsumcl 19869 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   finSupp cfsupp 9380  β„•0cn0 12497  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415   Ξ£g cgsu 17416  .gcmg 19022  CMndccmn 19734  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104
This theorem is referenced by:  gsumply1eq  22232  cayleyhamilton1  22807
  Copyright terms: Public domain W3C validator