Theorem gsumsmonply1 22652

Description: A finite group sum of scaled monomials is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummonply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummonply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummonply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummonply1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummonply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummonply1.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummonply1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummonply1.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsummonply1.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsmonply1	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   ↑ (𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsmonply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummonply1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummonply1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummonply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22592	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		ringcmn 20538	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
7	3, 5, 6	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12636	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		gsummonply1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11	10	r19.21bi 3258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	3	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		gsummonply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16		gsummonply1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17		gsummonply1.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
19		gsummonply1.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
20	15, 4, 16, 17, 18, 19, 1	ply1tmcl 22618	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 20	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
22	11, 21	mpd3an3 1492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
23	22	fmpttd 7136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
24	4	ply1lmod 22596	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
25	3, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
26	4	ply1sca 22597	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
27	3, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	4, 16, 18, 19, 1	ply1moncl 22617	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29	3, 28	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
30		gsummonply1.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31		gsummonply1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
32	9, 25, 27, 1, 11, 29, 2, 30, 17, 31	mptscmfsupp0 21229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
33	1, 2, 7, 9, 23, 32	gsumcl 20156	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   finSupp cfsupp 9378  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637  ._gcmg 19303  CMndccmn 20021  mulGrpcmgp 20387  Ringcrg 20486  LModclmod 21162  var₁cv1 22521  Poly₁cpl1 22522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527

This theorem is used by:  gsumply1eq  22654  cayleyhamilton1  23237