Theorem gsumsmonply1 21809

Description: A finite group sum of scaled monomials is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummonply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummonply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummonply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummonply1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummonply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummonply1.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummonply1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummonply1.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsummonply1.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsmonply1	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   ↑ (𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsmonply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummonply1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummonply1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummonply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 21752	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		ringcmn 20089	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
7	3, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12474	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		gsummonply1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11	10	r19.21bi 3249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	3	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		gsummonply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16		gsummonply1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17		gsummonply1.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
18		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
19		gsummonply1.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
20	15, 4, 16, 17, 18, 19, 1	ply1tmcl 21776	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 20	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
22	11, 21	mpd3an3 1463	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
23	22	fmpttd 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
24	4	ply1lmod 21756	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
25	3, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
26	4	ply1sca 21757	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
27	3, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	4, 16, 18, 19, 1	ply1moncl 21775	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29	3, 28	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
30		gsummonply1.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31		gsummonply1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
32	9, 25, 27, 1, 11, 29, 2, 30, 17, 31	mptscmfsupp0 20525	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
33	1, 2, 7, 9, 23, 32	gsumcl 19775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   finSupp cfsupp 9357  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  ._gcmg 18944  CMndccmn 19641  mulGrpcmgp 19979  Ringcrg 20047  LModclmod 20459  var₁cv1 21682  Poly₁cpl1 21683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-psr 21444  df-mvr 21445  df-mpl 21446  df-opsr 21448  df-psr1 21686  df-vr1 21687  df-ply1 21688

This theorem is referenced by:  gsumply1eq  21811  cayleyhamilton1  22376