Theorem gsumsmonply1 22625

Description: A finite group sum of scaled monomials is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummonply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummonply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummonply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummonply1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummonply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummonply1.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummonply1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummonply1.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsummonply1.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsmonply1	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   ↑ (𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsmonply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummonply1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummonply1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummonply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22565	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		ringcmn 20511	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
7	3, 5, 6	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12612	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		gsummonply1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11	10	r19.21bi 3254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	3	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		gsummonply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16		gsummonply1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17		gsummonply1.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
19		gsummonply1.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
20	15, 4, 16, 17, 18, 19, 1	ply1tmcl 22591	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
22	11, 21	mpd3an3 1491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
23	22	fmpttd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
24	4	ply1lmod 22569	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
25	3, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
26	4	ply1sca 22570	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
27	3, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	4, 16, 18, 19, 1	ply1moncl 22590	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29	3, 28	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
30		gsummonply1.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31		gsummonply1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
32	9, 25, 27, 1, 11, 29, 2, 30, 17, 31	mptscmfsupp0 21202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
33	1, 2, 7, 9, 23, 32	gsumcl 20129	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   finSupp cfsupp 9353  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  ._gcmg 19277  CMndccmn 19994  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500

This theorem is used by:  gsumply1eq  22627  cayleyhamilton1  23210