Theorem gsumsmonply1 22478

Description: A finite group sum of scaled monomials is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummonply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummonply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummonply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummonply1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummonply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummonply1.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummonply1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummonply1.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsummonply1.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsmonply1	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑘)   ↑ (𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsmonply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummonply1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummonply1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummonply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		ringcmn 20372	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
7	3, 5, 6	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12516	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		gsummonply1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 ∈ 𝐾)
11	10	r19.21bi 3256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
12	3	3ad2ant1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14		simp2 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		gsummonply1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16		gsummonply1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17		gsummonply1.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
19		gsummonply1.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
20	15, 4, 16, 17, 18, 19, 1	ply1tmcl 22444	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
21	12, 13, 14, 20	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
22	11, 21	mpd3an3 1490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
23	22	fmpttd 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
24	4	ply1lmod 22422	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
25	3, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
26	4	ply1sca 22423	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
27	3, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	4, 16, 18, 19, 1	ply1moncl 22443	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29	3, 28	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
30		gsummonply1.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31		gsummonply1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
32	9, 25, 27, 1, 11, 29, 2, 30, 17, 31	mptscmfsupp0 21059	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
33	1, 2, 7, 9, 23, 32	gsumcl 19991	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9319  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  0_gc0g 17498   Σ_g cgsu 17499  ._gcmg 19139  CMndccmn 19856  mulGrpcmgp 20222  Ringcrg 20321  LModclmod 20992  var₁cv1 22347  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353

This theorem is used by:  gsumply1eq  22480  cayleyhamilton1  23060