MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsmonply1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumsmonply1 22200
Description: A finite group sum of scaled monomials is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummonply1.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
gsummonply1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
gsummonply1.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
gsummonply1.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
gsummonply1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
gsummonply1.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
gsummonply1.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsummonply1.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 𝐴 ∈ 𝐾)
gsummonply1.f (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumsmonply1 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐾   πœ‘,π‘˜   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑃(π‘˜)   𝑅(π‘˜)   ↑ (π‘˜)   𝑋(π‘˜)   0 (π‘˜)
Proof of Theorem gsumsmonply1
StepHypRef Expression
1 gsummonply1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2727 . 2 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
3 gsummonply1.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 gsummonply1.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
54ply1ring 22140 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6 ringcmn 20200 . . 3 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
73, 5, 63syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8 nn0ex 12494 . . 3 β„•0 ∈ V
98a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
10 gsummonply1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 𝐴 ∈ 𝐾)
1110r19.21bi 3243 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1233ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 simp3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
14 simp2 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
15 gsummonply1.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
16 gsummonply1.x . . . . . 6 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
17 gsummonply1.m . . . . . 6 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
18 eqid 2727 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
19 gsummonply1.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
2015, 4, 16, 17, 18, 19, 1ply1tmcl 22165 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
2112, 13, 14, 20syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
2211, 21mpd3an3 1459 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
2322fmpttd 7119 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐡)
244ply1lmod 22144 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
253, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
264ply1sca 22145 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
273, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
284, 16, 18, 19, 1ply1moncl 22164 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
293, 28sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
30 gsummonply1.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
31 gsummonply1.f . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ 𝐴) finSupp 0 )
329, 25, 27, 1, 11, 29, 2, 30, 17, 31mptscmfsupp0 20792 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
331, 2, 7, 9, 23, 32gsumcl 19854 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9375  β„•0cn0 12488  Basecbs 17165  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222  0gc0g 17406   Ξ£g cgsu 17407  .gcmg 19007  CMndccmn 19719  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  LModclmod 20725  var1cv1 22069  Poly1cpl1 22070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075
This theorem is referenced by:  gsumply1eq  22202  cayleyhamilton1  22768
  Copyright terms: Public domain W3C validator